基于Bootstrap原理的立靶密集度估計

彭峰生，舒林森，寧瑋

(陜西理工學(xué)院 機械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

[摘要]闡明了Bootstrap抽樣的理論和方法，著重對該方法的置信區(qū)間等參數(shù)估計作了詳細(xì)研究，應(yīng)用該方法進行了火炮射擊立靶密集度估計實例分析，結(jié)果表明該方法對小樣本參數(shù)估計問題有較高的實用價值。

[關(guān)鍵詞]統(tǒng)計與概率；Bootstrap理論；Monte Carlo抽樣；參數(shù)估計；立靶密集度

[文章編號]1673-2944(2015)05-0066-04

[中圖分類號]O212.2

收稿日期：2015-03-19

基金項目：陜西省教育廳科學(xué)研究計劃項目(15JK1142)

作者簡介：彭峰生(1972—)，男，陜西省漢中市人，陜西理工學(xué)院高級工程師，博士，主要研究方向為復(fù)雜機電系統(tǒng)分析。

長期以來，小子樣參數(shù)估計和統(tǒng)計分析問題困擾著許多工程實踐工作，一些重大項目的試驗樣機數(shù)量很少，一般只有有限的幾個，甚至只有唯一的一件樣機。這種情況下，通過現(xiàn)場試驗測試的數(shù)據(jù)十分寶貴而有限。如何在少量測試數(shù)據(jù)的條件下，找出數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性和規(guī)律，為樣機的改進提供指導(dǎo)依據(jù)，給工程試驗數(shù)據(jù)分析人員帶來挑戰(zhàn)。

Bootstrap方法[1-2]由美國統(tǒng)計學(xué)家Efron首次系統(tǒng)地提出，該方法并不需要對總體分布作假設(shè)或事先推導(dǎo)估計量的解析式，它要做的僅僅是重構(gòu)樣本并不斷計算估計值，本質(zhì)上是一種非參數(shù)方法[3]。在分布類型未知的情況下，Bootstrap方法為我們提供了解決此類問題的另一種有效思路。

本文通過研究Bootstrap方法和有關(guān)統(tǒng)計參數(shù)估計的理論，采用樣本數(shù)據(jù)重復(fù)抽樣的方法增大研究對象的數(shù)據(jù)樣本容量，在此基礎(chǔ)上提出參數(shù)估計的方法和步驟，并給出參數(shù)估計的誤差分析與估計辦法。最后通過一個工程實例的小樣本條件下數(shù)據(jù)參數(shù)估計計算，初步驗證了所提出的方法。

1Bootstrap方法參數(shù)估計原理

樣本參數(shù)θ是分布函數(shù)F的函數(shù)，記作θ=θ(F)。當(dāng)我們將樣本看作總體來處理時，樣本分布函數(shù)的估計參數(shù)應(yīng)該是總體參數(shù)的一個良好估計。參數(shù)估計的步驟如下[6]：

(2)重復(fù)(1)中的過程B次，B是一個足夠大的整數(shù)，由此獲得了B個容量為n的Bootstrap樣本；

2Bootstrap抽樣的置信區(qū)間

大多數(shù)統(tǒng)計推斷涉及到分布參數(shù)的估計。最常見的是近似置信區(qū)間估計，就是使用樣本參數(shù)確定特殊區(qū)間的一種方法[7]。理想的區(qū)間有如下兩個特性：(1)該區(qū)間包含了參數(shù)θ；(2)區(qū)間相對來說是較窄的。區(qū)間的兩個端點稱作上、下置信限，它們是隨機樣本的函數(shù)，因而也是隨機變量。因此，由一個樣本計算出的區(qū)間不一定包含θ。當(dāng)然，如果采用一種合適的區(qū)間估計法，不斷地重復(fù)取樣，那么將從每個隨機產(chǎn)生的估計區(qū)間之中，確定得到以概率C包含參數(shù)θ的估計區(qū)間。置信度C定義為置信區(qū)間包含θ的近似概率。因此，如果C很大(接近于1)，則我們完全可以確信由單個樣本計算出的置信區(qū)間包含參數(shù)θ。

2.1　標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間

(1)

(2)

(3)

(4)

這里η～N(0，1)，當(dāng)樣本容量n→+∞時，稱之為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間是根據(jù)η～N(0，1)分布推導(dǎo)出來的。

還可得到另一個更好的近似估計，設(shè)

(5)

式(5)表明η服從于n-1個自由度的t分布。定義置信度為100(1-α)%的標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間為

(6)

這里α=1-C稱為顯著性水平。

2.2　百分位置信區(qū)間

3應(yīng)用Bootstrap方法分析火炮射擊密集度

火炮用相同的射擊諸元對立靶進行多發(fā)射擊，靶平面上彈著點的分布稱為彈著散布。大量統(tǒng)計試驗表明：單管火炮的射彈立靶散布服從正態(tài)分布[6]。

所有彈著點的平均坐標(biāo)稱為散布中心。以散布中心為坐標(biāo)原點O，鉛直向上為Y坐標(biāo)，水平向右為Z坐標(biāo)，建立直角坐標(biāo)系ZOY。假設(shè)射彈散布在Z和Y軸相互獨立，則射彈散布服從獨立二維正態(tài)分布，其分布密度為f(z,y)，即：

(7)

式中z和y分別為彈著點在Z和Y軸上的坐標(biāo)，σz和σy分別為彈著點在Z和Y軸上散布的均方差。

通過坐標(biāo)變換可得

(8)

r和θ仍然為獨立隨機變量，且有

(9)

稱r為彈著點的瑞利半徑，一定的半徑表示一條等概率密度橢圓線。式(8)和(9)就是用瑞利半徑表示的彈著散布概率密度的數(shù)學(xué)表達式[8]。

某型自動炮通過靶場射擊試驗，取得一組立靶密集度數(shù)據(jù)(單位：m)：0.732，0.864，0.627，0.563，0.926，0.684，0.981。假設(shè)系統(tǒng)誤差為0，則由式(2)得標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.840 m，彈丸落入瑞利半徑R為1.5 m的圓內(nèi)的概率可由下式求出：

(10)

采用基于Bootstrap方法的蒙特卡洛仿真方法，通過仿真得到一組立靶密集度數(shù)據(jù)(單位：m)：0.685，0.669，0.673，0.907，0.589，0.801，0.602，0.724，0.826，0.705。將仿真數(shù)據(jù)與靶場測試試驗數(shù)據(jù)組合，得到一組新的試驗數(shù)據(jù)：0.732，0.864，0.627，0.563，0.926，0.684，0.981，0.685，0.669，0.673，0.907，0.589，0.801，0.602，0.724，0.826，0.705。

同理，假定系統(tǒng)誤差為0，則由式(2)得σ=0.770 m，彈丸落入瑞利半徑R為1.5 m的圓內(nèi)的概率可由下式求出：

(11)

顯然，通過基于Bootstrap方法的蒙特卡洛仿真方法增加試驗數(shù)據(jù)后，可以明顯提高參數(shù)評估的置信度水平。

4結(jié)束語

Bootstrap抽樣分析方法對于解決小樣本問題參數(shù)估計有獨特的優(yōu)勢。其方法簡單，可操作性強，只要對初始樣本多次重復(fù)隨機抽樣，就可構(gòu)成容量大的分析樣本，從而便于構(gòu)成統(tǒng)計量。該方法分析精度高，收斂快。

需指出的是，該方法估計參數(shù)對初始樣本有較強的依賴性。Bootstrap方法是一個復(fù)雜的過程，若重復(fù)這個過程，每次得到的結(jié)果會有輕微的差別。該方法的優(yōu)點是無需任何樣本總體的分布假定，即可獲得某一感興趣的分布參數(shù)估計。

[參考文獻]

[1]BRADLEY E.Bootstrap methods:another look at the jackknife[J].The Annals of Statistics,1979,7(1):1-26.

[2]BRADLEY E,ROBERT T.An introduction to the Bootstrap[M].New York:Chapman & Hall Ltd,1993.

[3]MOONEY C Z,DUVAL R D.Bootstrapping:A Nonparametric approach to statistical inference[J].Journal of the American Statistical Association,1993(2):427.

[4]BERGES J O.Statistical Decision Theory[M].New York：Springer-Verlay Press，1986.

[5]SHALIZI C.The Bootstrap[J].American Scientist,2010,98(3):186-190.

[6]唐雪梅,張金槐,邵鳳昌,等.武器裝備小子樣試驗分析與評估[M].北京:國防工業(yè)出版社,2001:7-11,221-224.

[7]金星,洪延姬,沈懷榮,等.可靠性數(shù)據(jù)計算及應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社，2003.

[8]彭峰生,廖震強,王濤.有脫靶彈時自動火炮立靶密集度估計[J].彈道學(xué)報,2008,20(1):66-70.

[責(zé)任編輯：張存鳳]

Crowding level of vertical target parameters estimation based on Bootstrap sampling

PENG Feng-sheng,SHU Lin-sen,NING Wei

(School of Mechanical Engineering, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract:The paper concentrates on developing the using of Bootstrap sampling methods and relative theories. The crowding level of vertical target of an automatic gun is studied carefully as a real example to explain the usage of the methods. It proves that Bootstrap sampling method is of great value in parameters estimation of small sampling problems.

Key words:statistics and probability;Bootstrap theory;Monte Carlo sampling;parameters estimating;crowding level of the vertical target