關(guān)于正整數(shù)的四次方部分?jǐn)?shù)列的和*

高麗,趙喜燕

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000)

摘要：利用初等和解析的方法研究了Smarandache提出的數(shù)列的求和問題，即研究正整數(shù)的四次方部分?jǐn)?shù)列的和，得出2個有趣的求和公式.

關(guān)鍵詞：Smarandache問題；四次方部分?jǐn)?shù)列；求和公式

文章編號：1007-2985(2015)01-0005-02

中圖分類號：O156．4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.01.002

收稿日期：*2014-06-20

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471007)；陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2013JQ1019)；延安大學(xué)高水平大學(xué)建設(shè)項(xiàng)目(2012SXTS07)；延安大學(xué)2014年科研計(jì)劃項(xiàng)目

作者簡介：高麗(1966—)，女，陜西綏德人，延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)論研究.

Smarandache問題的提出受到了許多數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注,許多專家和學(xué)者對Smarandache問題進(jìn)行了深入研究,并得到了很多重大成果[4-7].

文獻(xiàn)中的第41個問題,是有關(guān)數(shù)列a(n)和b(n)的性質(zhì).張少杰研究了a(n)和b(n)的漸近性質(zhì).郭金保等研究了正整數(shù)的立方數(shù)列求和,得出如下結(jié)論：

若a(n)表示不超過n的最大立方數(shù),則對任意正整數(shù)n,有

若b(n)表示不小于n的最小立方數(shù),則對任意正整數(shù)n,有

國債又被稱作國家公債，即為國家中央政府以自身信用為基礎(chǔ)，按照一般債券的發(fā)行原則，面向社會籌集資本而形成一種債券債務(wù)關(guān)系。國債是政府債券的一種，以政府稅收作為到期償還持有者本息的保證，也是擁有最高信用度、最具公信力、最安全的投資工具。

筆者將利用初等和解析的方法討論正整數(shù)的四次方數(shù)列的求和問題.

對任意的正整數(shù)n,設(shè)a(n)表示不超過n的最大四次方部分,b(n)表示不小于n的最小四次方部分,例如：

a(1)=1,a(2)=1,a(3)=1,a(4)=1,…，a(16)=16,…；

b(1)=1,b(2)=16,b(3)=16,b(4)=16,…，b(16)=16,b(17)=81,….

那么，有如下結(jié)論成立：

定理1對任意的正整數(shù)n,設(shè)k是一固定的正整數(shù),且滿足k4≤n<(k+1)4,則a(n)=k4,

證明對任意的正整數(shù)n,設(shè)k是一固定的正整數(shù),且滿足k4≤n<(k+1)4,由a(n)的定義可知a(n)=k4(k4≤n<(k+1)4)，則有

(1)

(2)

由(1)，(2)式可知

4(1+27+…+(k-1)7)+6(1+26+…+(k-1)6)+

4(1+25+…+(k-1)5)+(1+24+…+(k-1)4)+

k4(n-k4+1).

(3)

由文獻(xiàn)可得：

5(k-1)3-5(k-1)2-2k+4]，

(4)

6(k-1)3-6(k-1)2-k+2]，

(5)

(6)

(7)

所以由(3)—(7)式得

證畢.

定理2對任意的正整數(shù)n,設(shè)k是一固定的正整數(shù),且滿足(k-1)4

證明對任意的正整數(shù)n,設(shè)k是一固定的正整數(shù),且滿足(k-1)4

(8)

(9)

由(8)，(9)式可知

4(1+27+…+(k-1)7)-6(1+26+…+(k-1)6)+

4(1+25+…+(k-1)5)- (1+24+…+

(k-1)4)+k4(n-(k-1)4).

(10)

所以由(10),(4)—(7)式得

證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1]APOSTOL T M.Introduction to Analytic Number Theory.New York:Springer-Verlag,1976.

[2]SMARANDACHE F.Sequences of Number Involving in Unsolved Problem.USA：High American Press,2006.

[3]SMARANDACHE F.Only Problems,Not Solutions .Chicago：Xiquan Publishing House,1993.

[4]ZHANG Wenpeng.Research on Smarandache Problems in Number Theory(Collected Papers).USA:High American Press,2004.

[5]ZHANG Wenpeng.Research on Smarandache Problems in Number Theory(Vol.Ⅱ).USA:High American Press,2005.

[6]YI Yuan,KANG Xiaoyu.Research on Smarandache Problems.USA:High American Press,2006.

[7]LIU Huaning,GAO Jing.Research on Smarandache Problems.USA:High American Press,2011.

[8]張少杰．關(guān)于正整數(shù)的四次方部分?jǐn)?shù)列．價(jià)值工程,2011，29:221-222.

[9]郭金寶,郭永平.正整數(shù)的立方數(shù)數(shù)列的求和.延安大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2005，24(4)：3-4.

Part Summation of 4th Sequences of Positive Integer

GAO Li,ZHAO Xiyan

(School of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000,Shaanxi China)

Abstract：We use the elementary methods and analytic methods to study the part summation of 4th sequences of positive integer,and give two interesting summation formula.

Key words:Smarandache problem;4thsequences;summation formula

(責(zé)任編輯向陽潔)