基于響應(yīng)面法的印制電路板組件有限元模型修正

王開山，李傳日，龐月嬋，郭恒暉

(北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191)

摘要：在將印制電路板及元器件材料視為正交各向異性前提下，提出基于響應(yīng)面法的印制電路板組件(Printed Circuit Board Assembly，PCBA)有限元模型修正法。利用相關(guān)性分析篩選出對PCBA模態(tài)頻率影響較大參數(shù)作為修正參數(shù)；據(jù)修正參數(shù)數(shù)目選擇合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲取樣本點(diǎn)，構(gòu)造多項(xiàng)式響應(yīng)面模型；通過最小二乘法確定多項(xiàng)式系數(shù)并檢驗(yàn)響應(yīng)面擬合精度；用響應(yīng)面計(jì)算結(jié)果與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果誤差絕對值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)；通過多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)迭代計(jì)算獲得優(yōu)化修正參數(shù)并代入有限元模型獲得修正模型。以某航空電子產(chǎn)品某PCBA為案例，對比修正前后各階模態(tài)頻率與試驗(yàn)值誤差。結(jié)果表明，修正后模型各階模態(tài)頻率與試驗(yàn)值相對誤差均明顯減小，驗(yàn)證該方法對PCBA模型修正的有效性。

關(guān)鍵詞：各向異性；印制電路板組件；模型修正；相關(guān)性分析；響應(yīng)面法；優(yōu)化求解

中圖分類號:V414；TB330.1；TH113文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175086)；福建省自然科學(xué)

收稿日期：2014-08-19修改稿收到日期：2014-10-23

Finite element model updating of printed circuit board assembly based on response surface methodology

WANGKai-shan,LIChuan-ri,PANGYue-chan,GUOHeng-hui(Beijing University of Aeronautics and Astronautics, School of Reliability and Systems Engineering，Beijing 100191, China)

Abstract:On the premise of taking the materials of the printed circuit board and its components as orthotropic, a method based on response surface was proposed to update the finite element model(FEM) of printed circuit board assembly(PCBA). The parameters which have great influence on the modal frequencies of PCBA were screened out and taken as the updating parameters by correlation analysis. The sample points were acquired by using an appropriate experimental design according to the number of the updating parameters to construct a polynomial response surface model. The least squares method was used to determine the polynomial coefficients and then to test the fitting accuracy of response surface. The absolute value of error between the result of the calculated response surface and that of an actual test was taken as an objective function. The optimized parameters were obtained taking advantage of the iterative calculation of the multiple objectives genetic algorithm (MOGA). The updated model was then obtained by substituting the optimized parameters into the non-updated FEM. Taking the PCBA of an aircraft electronic product as an example, the comparison between the modal frequencies of non-updated and updated FEM shows that the relative error of modal frequencies of the updated FEM to the actual test is obviously reduced and thus verifies the effectiveness of the model updating methodology suggested.

Key words:orthotropic; printed circuit board assembly(PCBA); model updating; correlation analysis; response surface methodology; optimization

振動會造成電子產(chǎn)品發(fā)生故障，尤其對機(jī)載電子產(chǎn)品，在壽命周期內(nèi)需經(jīng)受嚴(yán)酷的動力學(xué)環(huán)境，致故障更嚴(yán)重。為提高電子產(chǎn)品可靠性，須增強(qiáng)其抗振能力。有限元仿真因周期短、成本低等優(yōu)勢已成為產(chǎn)品動力學(xué)分析的重要方法。對產(chǎn)品進(jìn)行有限元仿真前需進(jìn)行實(shí)物模態(tài)試驗(yàn)作為仿真結(jié)果檢驗(yàn)及模型修正標(biāo)準(zhǔn)。模態(tài)試驗(yàn)時(shí)通常無法將PCB與元器件分開，只能對裝配體即PCBA進(jìn)行整體試驗(yàn)，使對應(yīng)的PCBA有限元模型精度非常重要。

工程實(shí)踐中通常按各向同性給出PCB及元器件材料參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)值[1-2]，但其仿真結(jié)果往往與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果相差較多。因不同PCB板鋪層、工藝不同材料參數(shù)有差異；元器件材料參數(shù)因器件種類、封裝不同存在較大不同。即使同一塊PCB板也會因不同位置電路、通孔分布表現(xiàn)出材料參數(shù)的各向異性。為提高仿真精度，需將PCB及元器件材料視為各向異性對PCBA模型進(jìn)行修正。

響應(yīng)面法因具有易于迭代、優(yōu)化特點(diǎn)廣泛用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。因此利用該方法進(jìn)行動力學(xué)模型修正的研究成為熱點(diǎn)。鮑諾等[3]利用響應(yīng)面法對歐洲航空科技組織的基準(zhǔn)GARTEUR飛機(jī)模型進(jìn)行修正。費(fèi)慶國等[4]在響應(yīng)面方法基礎(chǔ)上結(jié)合軟件MATLAB與ANSYS的集成實(shí)現(xiàn)鋼架結(jié)構(gòu)模型修正。常濤等[5]利用響應(yīng)面法對PCB裸板進(jìn)行模型修正。而對工程遇到最多的PCBA模型修正研究尚處空白。本文在響應(yīng)面方法基礎(chǔ)上，結(jié)合相關(guān)性分析及優(yōu)化算法給出PCBA模型修正的一般流程及方法原理，并以某航空電子產(chǎn)品某PCBA為算例，驗(yàn)證該方法的合理性及有效性。

1PCBA模型修正流程

PCBA有限元模型修正的一般流程見圖1。包括參數(shù)篩選、響應(yīng)面模型構(gòu)建及優(yōu)化求解三大模塊。所涉關(guān)鍵技術(shù)方法有相關(guān)性分析、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面擬合、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)及遺傳算法等。

圖1　PCBA模型修正流程 Fig.1 The model updatingprocess of the PCBA

2修正參數(shù)篩選

2.1參數(shù)初始篩選

對輸出響應(yīng)量，因模態(tài)頻率易測量、精度高，故本文選前三階模態(tài)頻率作為響應(yīng)特征量。影響PCBA模態(tài)頻率因素有模型的幾何尺寸參數(shù)、密度及材料參數(shù)[6]。幾何參數(shù)、密度易控制及測量，波動性不大；材料參數(shù)由鋪層、工藝、電路分布、通孔分布等不同導(dǎo)致的不確定性較大為造成PCBA動力學(xué)仿真結(jié)果不準(zhǔn)確的主要因素[7-8]。據(jù)此將PCB及元器件材料參數(shù)作為初始篩選參數(shù)，包括PCB、元器件各自三個軸向彈性模量、平面泊松比及平面剪切模量計(jì)18個參數(shù)。并將其視為正交各向異性；對元器件，封裝種類不同其材料參數(shù)亦不同。本文為簡化僅考慮器件均塑料封裝情況，將所有元器件視為同種材料進(jìn)行處理。

2.2相關(guān)性分析

初始篩選的18個參數(shù)均波動性較大，但并非所有參數(shù)均對輸出參數(shù)(前三階模態(tài)頻率)產(chǎn)生較大影響，需定量相關(guān)性分析,篩選對模態(tài)頻率影響大的參數(shù)。Speraman等級相關(guān)系數(shù)可從全局角度考量輸入對輸出的相關(guān)性，計(jì)算式為

(1)

式中：R(xi)為將不確定參數(shù)抽樣值(x1,x2,…,xn)按升序或降序排列時(shí)xi的排序號；R(yi)為將響應(yīng)計(jì)算值(y1,y2,…,yn)按升序或降序排列時(shí)yi的排序號；n為抽樣次數(shù)。

3響應(yīng)面模型構(gòu)建

多項(xiàng)式響應(yīng)面為用統(tǒng)計(jì)學(xué)回歸分析進(jìn)行函數(shù)擬合的近似方法，通過確定性試驗(yàn)設(shè)計(jì)擬合出響應(yīng)面函數(shù)近似模擬真實(shí)輸入、輸出間隱式關(guān)系，使系統(tǒng)分析可建立在響應(yīng)面函數(shù)上。與一次、高次(三次及以上)響應(yīng)面相比，二次響應(yīng)面能較權(quán)衡近似精度與計(jì)算量間的矛盾，故工程中應(yīng)用較廣[11-13]。

3.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)

基于多元線性回歸的多項(xiàng)式響應(yīng)面需數(shù)據(jù)樣本，構(gòu)造的樣本試驗(yàn)點(diǎn)在修正參數(shù)區(qū)間內(nèi)分布對響應(yīng)面近似精度影響較大。全因子設(shè)計(jì)將每個因素的不同水平組合均進(jìn)行一次試驗(yàn)，因該方法為因子與水平的完全組合，結(jié)果真實(shí)可靠；但計(jì)算量過大只適合因素較少情況[14]。因素較多時(shí)常采用中心點(diǎn)復(fù)合設(shè)計(jì)、Box-Behnken Design及D-最優(yōu)設(shè)計(jì)等，均能用最少試驗(yàn)樣本點(diǎn)獲得理想的響應(yīng)面模型[15]。

3.2響應(yīng)面擬合

PCBA前n階仿真模態(tài)頻率y為因變量，xi(i=1,2,…,k，k)為修正參數(shù)個數(shù)。多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)表示為

(2)

式中：xi∈[xil,xiu]，xil,xiu分別為修正參數(shù)xi取值上下限；β0,βi,βij,βii為待定系數(shù)[16-17]。

可將試驗(yàn)樣本點(diǎn)代入函數(shù)方程用最小二乘法估計(jì)多項(xiàng)式系數(shù)β0,βi,βij,βii。

3.3擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

利用相對均方根誤差RMSF及R2判斷系數(shù)法可定量檢驗(yàn)響應(yīng)面精度，計(jì)算式為

(3)

4優(yōu)化求解

模型修正問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題，即

(4)

采用多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)對構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算獲得修正后參數(shù)，代入有限元模型計(jì)算可得修正后模型。

5案例分析

所選案例為某航空電子產(chǎn)品中某PCBA，實(shí)物見圖2(a)。在不影響產(chǎn)品動力學(xué)特性前提下，在CAD軟件中按原則對該P(yáng)CBA的數(shù)字樣機(jī)進(jìn)行必要簡化，見圖2(b)。遵循原則為，①去掉尺寸較小的孔；②去掉尺寸較小的凸臺；③去掉尺寸較小的圓角；④去掉不必要的倒角；⑤適當(dāng)省略對整體PCBA模態(tài)特性影響較小的小體積及小質(zhì)量器件。

圖2　PCBA實(shí)物及有限元模型 Fig.2 The physical model and finite element modelof the PCBA

5.1模態(tài)試驗(yàn)及初始仿真

對PCBA進(jìn)行自由狀態(tài)模態(tài)試驗(yàn)，提取前三階頻率；在ANSYS中按各向同性給出PCB及元器件材料參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)值，邊界條件設(shè)為自由狀態(tài)，選擇合適的網(wǎng)格劃分形式劃分網(wǎng)格后進(jìn)行初始仿真，初始材料參數(shù)見表1。初始仿真與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果對比見表2。由表2看出，初始仿真與試驗(yàn)結(jié)果誤差較大，需進(jìn)一步修正。

表1　初始材料參數(shù)

表2　初始仿真與試驗(yàn)結(jié)果對比

5.2參數(shù)篩選

將PCB與元器件材料視為正交各向異性，計(jì)算前三階模態(tài)頻率與18個參數(shù)的Speraman等級相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見圖3。由圖3看出，前三階模態(tài)頻率與印制電路板Y向彈性模量P-Ey、印制電路板XY平面的剪切模量P-σxy及元器件XY平面剪切模量C-σxy的相關(guān)性超過0.3，因此將其確定為修正參數(shù)。

圖3　相關(guān)性分析結(jié)果 Fig.3 The results of correlation analysis

5.3響應(yīng)面模型構(gòu)建

修正參數(shù)僅3個，用全因子方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。每個因素取3個水平，所選水平值需能覆蓋其整個區(qū)間，3個因素所選3個水平為：P-Ey為6.5E+9、8.75E+9、1.1E+10；P-σxy為1E+9、2.648E+9、4.297E+9；C-σxy為3E+8、2.45E+9、4.6E+9；共進(jìn)行27次有限元仿真試驗(yàn)，每組試驗(yàn)只改變修正參數(shù)值，控制邊界條件及網(wǎng)格劃分等設(shè)置條件與初始仿真一致，即邊界條件均為自由狀態(tài)，網(wǎng)格數(shù)均為8 244；將試驗(yàn)所得樣本點(diǎn)歸一化后代入響應(yīng)面方程，用最小二乘法估計(jì)出多項(xiàng)式系數(shù)。構(gòu)建的前三階響應(yīng)面方程為

(5)

取13個樣本點(diǎn)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，計(jì)算R2判斷系數(shù)及相對均方RMSE，結(jié)果見表3。R2趨近1表明響應(yīng)面與真值之間差異程度??；RMSE趨近0表明響應(yīng)面精度高。

表3　R 2及RMSE檢驗(yàn)

5.4優(yōu)化求解

用前三階模態(tài)頻率與試驗(yàn)值的誤差絕對值構(gòu)造三個目標(biāo)函數(shù)，采用MOGA遺傳算法迭代計(jì)算獲得優(yōu)化修正后參數(shù)，并與初始參數(shù)對比見表4。將修正后參數(shù)代入有限元模型計(jì)算獲得修正后模型，仿真與試驗(yàn)值對比見表5。

表4　模型修正前后參數(shù)對比

表5　模型修正后仿真與試驗(yàn)結(jié)果對比

模型修正前后模態(tài)頻率相對誤差對比見表6，MAC值對比見表7。由表6知，修正后各階仿真模態(tài)頻率與模態(tài)試驗(yàn)各階結(jié)果相對誤差均明顯減小。由表7知，修正后各階MAC值均較修正更接近1，從而驗(yàn)證基于響應(yīng)面法對PCBA模型修正的合理性及有效性。

表6　模型修正前后相對誤差對比

表7　模型修正前后MAC值對比

6結(jié)論

(1)基于相關(guān)性分析、響應(yīng)面擬合及優(yōu)化求解相結(jié)合方法可準(zhǔn)確對PCBA模型進(jìn)行修正，有效提高模型精度；用響應(yīng)面替代真實(shí)模型進(jìn)行動力學(xué)模型修正可避免多次調(diào)用有限元程序，提高分析效率。

(2)本文將所有元器件按同一種材料處理，但實(shí)際上不同種類元器件材料參數(shù)差異較大，可對不同種類元器件分別定義為不同變量進(jìn)行分析修正效果可能更好。

參考文獻(xiàn)

[1]王紅芳，趙玫．基于動態(tài)特性的印制板結(jié)構(gòu)改進(jìn)[J]．振動與沖擊,2000,19(1):49-51.

WANG Hong-fang, ZHAO Mei. The structure improvements based on the dynamic characteristics of the printed circuit board[J]. Journal of Vibration and Shock, 2000, 19(1): 49-51.

[2]楊宇軍,葉松林,游少雄,等．插板式PCB的內(nèi)置式減振設(shè)計(jì)方法及其PSD動力學(xué)仿真[J]．振動與沖擊，2007，26(2)：39-42.

YANG Yu-jun, YE Song-lin, YOU Shao-xiong, et al. The vibration damping design method of PCB and its PSD dynamics simulation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(2): 39-42.

[3]鮑諾,王春潔,趙軍鵬,等．基于響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型修正[J]．振動與沖擊,2013,32(16):30-34.

BAO Nuo,WANG Chun-jie,ZHAO Jun-peng,et al.The structural dynamics model updating based on response surface methodology[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32(16):30-34.

[4]費(fèi)慶國,韓曉林,蘇鶴玲．響應(yīng)面有限元模型修正的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用[J]．振動、測試與診斷,2010,30(2):132-134.

FEI Qing-guo, HAN Xiao-lin，SU He-ling. The implementation and application of finite element model updating based on response surface[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010, 30(2): 132-134.

[5]常濤,郭勤濤,張保強(qiáng)．應(yīng)用模型修正方法的印制電路板參數(shù)識別[J]．振動、測試與診斷，2013，33(3)：111-116.

CHANG Tao, GUO Qin-tao, ZHANG Bao-qiang. Parameter identification of printed circuit board using model correction method[J]. Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis, 2013,33(3):111-116．

[6]Heinonen O, Pajunen S. Optimal design of stiffened plate using metamodeling techniques[J]. Journal of Structural Mechanics, 2011, 44(3): 218-230.

[7]Friswell M I, Mottershead J E, Ahmadian H. Combining subset selection and parameter constrants in model updating[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1998, 120(4): 854-859.

[8]Friswell M I, Garvey S D, Penny J E T. The convergence of the iterated IRS method[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 211(1): 123-132.

[9]莊楚強(qiáng)．應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)(4版)[M]．廣州:華南理工大學(xué)出版社,1992.

[10]Dougles C. Montgomery design and analysis of experiments [M]. John Wiley & Sons, Tnc, 2008.

[11]郭勤濤,張令彌,費(fèi)慶國．用于確定性計(jì)算仿真的響應(yīng)面法及其試驗(yàn)設(shè)計(jì)研究[J]．航空學(xué)報(bào),2006,27(1): 55-61.

GUO Qin-tao, ZHANG Ling-mi, FEI Qing-guo. Response surface method and its experimental design for deterministic computer simulation[J]. Journal of Aeronautics,2006,27(1):55-61.

[12]宗周紅,高銘霖,夏樟華．基于健康監(jiān)測的連續(xù)剛構(gòu)橋有限元模型確認(rèn)(I)-基于響應(yīng)面法的有限元模型修正[J]．土木工程學(xué)報(bào),2011,44(2)：90-98.

ZONG Zhou-hong, GAO Ming-lin, XIA Zhang-hua. The finite element model validation of continuous rigid frame bridge based on health monitoring(I)-the finite element model updating based on response surface[J]. China Civil Engineering Journal, 2011, 44(2): 90-98.

[13]Kwon J H, Hwang S M, Lee C M, et al. Application of response surface methodology in microspeaker design used in mobile phones[J]. Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Magnetics, 2009, 45(10): 4550-4553.

[14]Montgomery D C. Design and analysis of experiments [M]. John Wiley & Sons, Tnc, 2008.

[15]Montgomery D C．試驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析[M]．北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社,1998:563-575.

[16]費(fèi)慶國,張令彌,李愛群,等．基于統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的有限元模型修正研究[J]．振動與沖擊,2005,24(3):23-26.

FEI Qing-guo, ZHANG Ling-mi, LI Ai-qun, et al. The finite element model updating based on statistical analysis techniques[J]. Journal of Vibration and Shock,2005,24(3): 23-26.

[17]費(fèi)慶國，韓曉林，蘇鶴玲．響應(yīng)面有限元模型修正的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用[J]．振動、測試與診斷,2010,30(2)：132-134.

FEI Qing-guo, HAN Xiao-lin, SU He-ling. The implementation and application of finite element model updating based on response surface[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis,2010,30(2):132-134.

第一作者鄭書河男，博士，副教授，1976年10月生