第一作者歐陽山男，博士生，1985年生

通信作者隋富生男，研究員，1970年生

列車白車身損耗因子試驗研究

歐陽山1,2，魯帆2，伍先俊2，隋富生2

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100190；2.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所噪聲與振動重點實驗室，北京100190)

摘要：對7 m長高鐵車廂白車身劃分子系統(tǒng)，根據(jù)能量平衡方程確立子系統(tǒng)總損耗因子、內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的關(guān)系，通過測量總損耗因子和能量比可以直接計算內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。為了準(zhǔn)確測量總損耗因子，計算中采用Hilbert變換求瞬態(tài)信號對數(shù)衰減率的方法，其創(chuàng)新點在于不需要測量輸入功率就可以得到完整方程并獲得統(tǒng)計能量分析參數(shù)。內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的計算結(jié)果可以為建立車廂能量統(tǒng)計模型提供數(shù)據(jù)參考。

關(guān)鍵詞：白車身；統(tǒng)計能量分析；總損耗因子；內(nèi)損耗因子；耦合損耗因子；Hilbert變換

基金項目：國家973計劃(2013CB632900);國家863計劃(2011AA11A103)資助項目

收稿日期：2014-01-26修改稿收到日期：2014-03-27

中圖分類號:TB535.1;U271.91文獻標(biāo)志碼：A

Experimental study on loss factors for train carriage body in white

OUYANGShan1,2，LUFan2,WUXian-jun2,SUIFu-sheng2(1. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;2. Key Laboratory of Noise and Vibration Research, Institute of Acoustics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Abstract:The train carriage body in white (BIW), with the length of 7 meters, was divided into 6 subsystems. Based on the energy balance equation, the interrelation among total loss factor, internal loss factor and coupling loss factor of subsystems was determined. Internal loss factor and coupling loss factor can be calculated by using experimental results of total loss factor and the energy ratio. In order to improve the accuracy of experimental results of total loss factor, a method of Hilbert transform, without need of measuring input power, was introduced to calculate the logarithmic decrement of transient response. The results of loss factors can be used for building up the statistical energy analysis(SEA) model of high speed railway carriage.

Key words:body in white (BIW); statistical energy analysis(SEA); total loss factor; internal loss factor; coupling loss factor; Hilbert transform

采用仿真分析方法研究大型結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能問題、結(jié)構(gòu)減振降噪預(yù)設(shè)計問題是一種簡便有效的手段，根據(jù)分析頻帶的側(cè)重點可以采用低頻有限元分析或者中高頻統(tǒng)計能量分析。無論是有限元分析還是統(tǒng)計能量分析，建立準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)模型是必要前提。對統(tǒng)計能量模型而言，除了合理劃分子系統(tǒng)外，最重要的參數(shù)就是子系統(tǒng)間內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。裝配體部件內(nèi)損耗因子包含結(jié)構(gòu)損耗因子、邊界損耗因子和聲輻射損耗因子。同一種材料組成的不同形式的結(jié)構(gòu)部件，內(nèi)損耗因子一般是不一樣的，而耦合損耗因子不僅和結(jié)構(gòu)形式有關(guān)，還跟結(jié)構(gòu)裝配形式密切相關(guān)，因而針對不同的裝配系統(tǒng)都需要獲取相應(yīng)的損耗因子。

確定損耗因子的方法可以通過理論計算[1]、有限元建模分析[2]和實驗方法得到。由于高鐵車廂白車身尺寸大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，理論計算是不可實現(xiàn)的，而在寬頻范圍內(nèi)通過有限元分析獲取損耗因子的方法則耗時耗力，因為有限元分析本身需要準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)模型，其準(zhǔn)確性驗證仍然需要實驗得到模態(tài)參數(shù)。白車身子系統(tǒng)損耗因子的有效識別方法是實驗測試。

實驗獲取內(nèi)損耗因子的經(jīng)典方法是功率輸入法和瞬態(tài)衰減法，Bies等[3-4]研究了功率輸入法獲取內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的問題，張宏亮等[5]研究發(fā)現(xiàn)該方法在低頻范圍不準(zhǔn)確。在實際應(yīng)用中，功率輸入法有很大的局限性。該方法一般以激振器作為激勵源對子系統(tǒng)注入穩(wěn)態(tài)隨機激勵，但對如車廂側(cè)壁及車頂?shù)确强拷孛娴淖酉到y(tǒng)，激振器難以安裝，因而該方法不可用。瞬態(tài)衰減法測內(nèi)損耗因子受到許多研究者的青睞[5-10]，但是該方法要求子系統(tǒng)與其他子系統(tǒng)分離，當(dāng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)之間裝配在一起且不可分離時，內(nèi)損耗因子無法通過該方法直接獲得。耦合損耗因子一般通過計算得到，對于簡單的點、線連接結(jié)構(gòu)，有相應(yīng)的理論計算公式[11]，復(fù)雜結(jié)構(gòu)耦合損耗因子只能通過能量平衡方程計算得到[12]。對已經(jīng)裝配好、難以直接獲取內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的結(jié)構(gòu)，孫進才[13]提出改進的方法，即通過測試子系統(tǒng)總損耗因子，根據(jù)總損耗因子和內(nèi)損耗因子的關(guān)系求出內(nèi)損耗因子，進而由內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的關(guān)系計算耦合損耗因子。然而該方法在計算內(nèi)損耗因子的能量平衡方程中忽略了非保守耦合因素的影響，沒有考慮子系統(tǒng)間的非保守耦合損耗效應(yīng)，對復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)損耗因子計算有失全面。

針對復(fù)雜的火車車廂裝配系統(tǒng)，以上的測試方法難以適用，本文采用另一種思路，即直接從原始能量平衡方程出發(fā)，得到子系統(tǒng)總損耗因子和內(nèi)損耗因子以及耦合損耗因子的關(guān)系式，通過測量白車身子系統(tǒng)總損耗因子以及子系統(tǒng)間的能量比，直接求出內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。該方法在滿足子系統(tǒng)能量平均分布的假設(shè)下沒有作任何的條件簡化，因而計算結(jié)果更加合理。該方法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確的測量總損耗因子和子系統(tǒng)能量，本文采用基于Hilbert變換的方法測量總損耗因子。

1理論基礎(chǔ)

1.1總損耗因子

裝配體的某個子系統(tǒng)受到脈沖激勵時，會產(chǎn)生隨時間迅速衰減的振動信號，該衰減信號是子系統(tǒng)自身損耗和相鄰子系統(tǒng)間損耗的綜合作用結(jié)果。單位激勵加速度響應(yīng)信號可以表示為：

(1)

式中:ηt是總損耗因子，它等于單位圓頻率輸入功率和受激子系統(tǒng)的能量之比：

(2)

由于損耗因子ηt一般和頻率有關(guān)，在寬頻帶范圍，沒有必要得到每個頻率的損耗因子ηt。寬頻帶分析振動和噪聲一般采用1/3倍頻程頻域，因而可以只計算1/3倍頻程中心頻率處的ηt。假設(shè)響應(yīng)信號經(jīng)過中心頻率為ωn，帶寬為ωd的帶通濾波器濾波后，響應(yīng)信號變?yōu)閇12]：

(3)

式中:A是幅值，ηs是帶寬內(nèi)總損耗因子。對信號濾波可以采用巴特沃斯帶通濾波器，選擇合適的階數(shù)可以獲得較好的結(jié)果。下面給出通過Hilbert變換求信號包絡(luò)，進而計算中心頻率處總損耗因子ηs的方法。

濾波后信號an(t)的Hilbert變換表示為[10]：

(4)

響應(yīng)信號的解析信號為：

(5)

解析信號的幅值A(chǔ)(t)就是響應(yīng)信號的包絡(luò)，表示為：

(6)

將包絡(luò)取對數(shù)得到衰減曲線，由衰減曲線可識別出對數(shù)衰減率δ，進而得到損耗因子ηs：

(7)

(8)

本文通過圖1展示了計算1/3倍頻程1 000 Hz總損耗因子的過程，其中濾波信號的對數(shù)包絡(luò)經(jīng)常出現(xiàn)衰減快和衰減慢的斜率。有研究指出[5-6]衰減率應(yīng)取衰減較快的初始斜率1作為對數(shù)衰減率，本文直接通過觀察原始信號迅速衰減的時間段選取衰減快的斜率進行計算。

圖1　響應(yīng)信號求對數(shù)包絡(luò)衰減率過程 Fig.1 The procedure example for identifying logarithmic decrement of signal envelope

1.2內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子計算

統(tǒng)計能量分析要求子系統(tǒng)滿足能量平均的假定，在定量上要求分析頻帶內(nèi)模態(tài)數(shù)Nf≥5。在滿足該要求的情況下，根據(jù)SEA傳統(tǒng)理論，當(dāng)由N個子系統(tǒng)裝配的耦合系統(tǒng)中子系統(tǒng)m有輸入功率Pm時，有能量平衡方程[13]：

m=1,…,N

(9)

i=1,…,N且i≠m

(10)

將式(9),(10)兩邊分別除以ωEm，得到總損耗因子、內(nèi)損耗因子、耦合損耗因子的關(guān)系式：

m=1,…,N

(11)

i=1,…,N且i≠m

(12)

式中:Ei，i=1,2,…,N表示的是子系統(tǒng)的時空平均振動能量。假設(shè)子系統(tǒng)j有M個響應(yīng)點，子系統(tǒng)i有N個激勵點，依次在子系統(tǒng)i的N個位置上激勵，得到子系統(tǒng)j的時空均方速度為：

(13)

Θs=ΕΘ

(14)

式中:Θs=[ηs1,0,ηs2,0,ηs3,0,ηs4,0,ηs5,0,ηs6,0]T，

Θ=[η11,…,η16,η21,…,η26,…,η61,…,η66]T，Θs中0分量為0=[0,0,0,0,0]；Ε為由相應(yīng)能量比組成的36×36矩陣。由此得到內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子組成的向量

Θ=Ε-1Θs

(15)

由測試獲得的總損耗因子ηsm和平均能量Ej，根據(jù)式(11),式(12)可計算內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。

2實驗?zāi)Ｐ?/p>

從一節(jié)高鐵車廂骨架中截取靠近車門的7 m作為白車身模型，在截斷面上安裝車門，形成一個“完整”的模型，模型如圖2所示。白車身置于半消聲室，底部用橡膠彈簧支撐。為了研究鋁型材車體自身的振動能量耗散特性，車體未安裝玻璃和封閉門。由于白車身結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，車廂底板外側(cè)包含大量的梁結(jié)構(gòu)，車端門筋、梁、板混合，在實際建立統(tǒng)計能量計算模型時，需充分考慮壁面與壁面之間以及壁面內(nèi)各種梁之間的連接關(guān)系，合理劃分子系統(tǒng)。子系統(tǒng)劃分得越精細，所需獲取的損耗因子參數(shù)就越多，這對實驗測試本身就是一大挑戰(zhàn)。本文的側(cè)重點不是測試所有連接部件的損耗因子，而是集中于研究車底、車頂、側(cè)墻、車門大塊完整部件之間的能量流傳遞特性，因而只考慮大塊板之間內(nèi)損耗和耦合損耗。根據(jù)車體結(jié)構(gòu)大板塊裝配的特點，可以將車廂劃分為截斷門、左右側(cè)壁、車頂、車底6個子系統(tǒng)，如圖3所示。

圖2　白車身實驗?zāi)Ｐ?Fig.2 Experimental model of the carriage BIW

圖3　白車身子系統(tǒng)劃分示意圖 Fig.3 Subsystem division of the carriage BIW

實驗需得到子系統(tǒng)總損耗因子和平均能量。對于小型簡單結(jié)構(gòu)，子系統(tǒng)平均能量可以通過一次性布置足夠數(shù)量的加速度計和少量激勵點得到；但對于大型裝配系統(tǒng)，一般來說缺乏足夠的加速度計一次性布滿所有的子系統(tǒng)。這種情況下平均能量可以通過增加激勵點、減少響應(yīng)點的方法獲取。該方法具體描述為在子系統(tǒng)的非振動節(jié)點位置布置M個(少量)加速度測點，而在子系統(tǒng)其他區(qū)域均勻分配N個(N遠大于M)激勵點，通過力錘分別激勵各個激勵點，可以獲得足夠的速度響應(yīng)信息，由此得到平均振動能量。

圖4　側(cè)壁加速度計測點分布示意圖 Fig.4 Positions of accelerometers on the flank side of the carriage

本文采用這種簡便的方法，在車廂內(nèi)的每個面布置25個力錘激勵點和8個加速度響應(yīng)點，獲取傳遞函數(shù)作為單位激勵響應(yīng)，有效帶寬0-3 200 Hz。測點的布置根據(jù)子系統(tǒng)的具體形式而有所調(diào)整，以側(cè)壁子系統(tǒng)為例，8個加速度測點分布如圖4，而25個力錘激點平均分布在側(cè)壁其余位置。其中，力錘激振方向和加速度計拾振方向均為所在面板的法向。如此即可以保證側(cè)壁被充分激勵，又能得到平均意義上的振動速度。每完成一個面的激勵，每個子系統(tǒng)都將得到25×8的單位響應(yīng)，通過式(13)計算均方速度，便可得到6個子系統(tǒng)的平均能量。在測量總損耗因子時，在激勵面上選取離激勵點最近的響應(yīng)點時域信號進行分析，計算多個激勵點響應(yīng)信號的總損耗因子，求平均值作為該子系統(tǒng)的總損耗因子，從而獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果。

3結(jié)果分析

3.1能量比

測試中分別敲擊車廂內(nèi)6個子系統(tǒng)，每激勵一個

子系統(tǒng)可獲得所有子系統(tǒng)的振動能量，以被激勵的子系統(tǒng)振動能量為參考，則可以得到其他子系統(tǒng)與參考子系統(tǒng)的能量比。敲擊不同子系統(tǒng)時能量比見圖5。

圖5中曲線標(biāo)記Eij=Ei/Ej表示無激勵子系統(tǒng)與受激勵子系統(tǒng)能量比。從能量比曲線來看，在分析頻段范圍內(nèi)，基本上是無源子系統(tǒng)能量小于有源子系統(tǒng)的能量，即能量從有源結(jié)構(gòu)傳遞到無源結(jié)構(gòu)，從而形成整體振動。但是在特定情況下，無源子系統(tǒng)振動能量接近甚至大于有源子系統(tǒng)能量。激勵質(zhì)量大的子系統(tǒng)如左、右側(cè)壁以及頂板、底板時(見圖5(a)-(d))，在50 Hz-100 Hz范圍內(nèi)無源子系統(tǒng)與有源子系統(tǒng)能量比較接近，甚至超過有源子系統(tǒng)能量，而激勵質(zhì)量小的子系統(tǒng)時能量比遠小于1(見圖5(e) (f))。出現(xiàn)這種現(xiàn)象說明在50 Hz-100 Hz范圍內(nèi)，激勵質(zhì)量大的子系統(tǒng)容易引起整個系統(tǒng)的全局共振，使得各子系統(tǒng)間能量較均衡，而低頻共振模態(tài)分布的差異導(dǎo)致個別無源子系統(tǒng)能量大于有源子系統(tǒng)。由此產(chǎn)生的結(jié)果是，相關(guān)頻率范圍內(nèi)，式(14)的矩陣方程中能量比系數(shù)矩陣非對角線元素接近或者大于對角線元素，從而耦合損耗因子計算結(jié)果可能比內(nèi)損耗因子大，甚至出現(xiàn)負值。因而在計算損耗因子時100 Hz以下的結(jié)果可靠性值得懷疑，本文3.3節(jié)將從頻帶模態(tài)數(shù)角度進一步驗證。

3.2總損耗因子

各子系統(tǒng)總損耗因子見圖6。

圖5　激勵不同子系統(tǒng)時的能量比 Fig.5 Curves of the energy ratio of subsystems

圖6　鋁型材車體各子系統(tǒng)總損耗因子 Fig.6 Curves of total loss factor of 6 subsystems

圖中顯示，各壁面總損耗因子大小比較接近，變化趨勢也一樣。模態(tài)測試結(jié)果表明，車廂結(jié)構(gòu)前6-7階整體彎曲模態(tài)出現(xiàn)在10 Hz-100 Hz，該頻段受脈沖激勵時容易引起整體共振，總的能量傳播/耗散能力較強。因而100Hz以下，總損耗因子較大，隨頻率變化小，基本上在0.1范圍內(nèi)；100 Hz以上，總損耗因子隨著頻率增加而逐漸衰減，3 000 Hz總損耗因子約為5×10-3。

3.3內(nèi)損耗因子

3.1節(jié)和3.2節(jié)分析能量比和總損耗因子時分析頻帶為8 Hz-3 200 Hz，幾乎涵蓋了測試全部有效帶寬范圍，由于計算結(jié)果是直接從測試數(shù)據(jù)得到的，因而有效性可以保證。然而內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子需要通過式(11),式(12)求得，其計算頻率范圍需要滿足帶寬內(nèi)模態(tài)數(shù)Nf≥5的條件。在激振器隨機激勵下得到白車身各壁面測點的傳遞函數(shù)，導(dǎo)入模態(tài)分析軟件ME’scopeVES進行模態(tài)分析，通過模態(tài)計數(shù)法識別出1/3倍頻程250 Hz以下的模態(tài)數(shù)，中心頻率表示的模態(tài)數(shù)見表1。

表1　車廂白車身250 Hz以內(nèi)各子結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)

表1中顯示在100 Hz以上帶寬內(nèi)模態(tài)數(shù)滿足 的條件，因此通過式(11),式(12)計算內(nèi)損耗因子應(yīng)在100 Hz以上才較可靠。

車廂骨架結(jié)構(gòu)有6個子系統(tǒng)，根據(jù)式(11),式(12)，脈沖激勵每個子系統(tǒng)都會產(chǎn)生6個方程，激勵6個子系統(tǒng)將產(chǎn)生36個方程，寫成矩陣方程的形式就是式(14)，再由3.1節(jié)和3.2節(jié)計算的總損耗因子和能量比，可得到內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。各子系統(tǒng)100 Hz以上內(nèi)損耗因子如圖7所示。

圖7　白車身各子系統(tǒng)內(nèi)損耗因子 Fig.7 Internal loss factor of different subsystems

圖7顯示車端門和底板內(nèi)損耗因子η3、η6大小接近，在800 Hz-1 000 Hz內(nèi)數(shù)值最小，接近0.001。其他子系統(tǒng)內(nèi)損耗因子隨頻率增加逐漸降低，但數(shù)值一般在0.004以上。子系統(tǒng)內(nèi)損耗因子遠比鋁材料的結(jié)構(gòu)損耗因子10-4大，這是因為子系統(tǒng)裝配形式復(fù)雜，裝配體形成的空腔混響效果明顯，聲輻射損耗和邊界損耗效應(yīng)遠大于結(jié)構(gòu)損耗，因而產(chǎn)生較大的內(nèi)損耗因子。

3.4耦合損耗因子

耦合損耗因子隨頻率的變化比較復(fù)雜， 100 Hz以上耦合損耗因子變化曲線見圖8。從曲線看出，耦合損耗因子在500 Hz以內(nèi)數(shù)值較大，跟內(nèi)損耗因子在同一數(shù)量級，表明該頻段子系統(tǒng)間功率流傳遞能力非常強。500 Hz以上所有耦合損耗因子基本很小，在10-6~2×10-4范圍內(nèi)，比內(nèi)損耗因子小得多，這是符合統(tǒng)計能量法在工程應(yīng)用中的測量經(jīng)驗的。圖8可以看出車廂結(jié)構(gòu)是非保守耦合結(jié)構(gòu)，從耦合損耗因子來看，ηij≠ηji。

4結(jié)論

直接利用能量平衡方程得到子系統(tǒng)總損耗因子、內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的關(guān)系，通過測量總損耗因子和能量比直接計算內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。該方法的優(yōu)點是無需做任何條件簡化，計算結(jié)果能更全面反應(yīng)子系統(tǒng)的損耗特性。不足之處是方程數(shù)多，能量比系數(shù)矩陣大，編寫程序較繁瑣。

圖8　各子系統(tǒng)與相鄰子系統(tǒng)間耦合損耗因子 Fig 8. Coupling loss factors between adjacent subsystems

由于車廂裝配體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，車廂子系統(tǒng)之間耦合損耗因子尚無公開的測試數(shù)據(jù)，因而本文的實驗研究對此作出初步探討。從結(jié)果分析來看，由鋁型材組成的車身各個子系統(tǒng)內(nèi)損耗因子基本在0.004以上，遠大于結(jié)構(gòu)損耗因子，表明聲輻射損耗和邊界損耗效應(yīng)遠大于結(jié)構(gòu)損耗，此結(jié)論和實驗現(xiàn)場(半消聲室)中車廂內(nèi)混響效應(yīng)明顯以及車身裝配邊界復(fù)雜繁多的現(xiàn)象是一致的。耦合損耗因子在500 Hz以下數(shù)值接近內(nèi)損耗因子，子系統(tǒng)間功率流傳遞能力非常強；500 Hz以上數(shù)值遠小于內(nèi)損耗因子，滿足實際的能量傳遞/耗散情況。本文的損耗因子參數(shù)測試結(jié)果可以為車廂白車身統(tǒng)計能量建模分析提供參考。

參考文獻

[1]Lyon R H, DeJong R G, Heckl M. Theory and application of statistical energy analysis[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1995, 98(6): 3021-3021.

[2]Maxit L, Guyader J L. Estimation of SEA coupling loss factors using a dual formulation and FEM modal information[J]. part I: theory. J Sound Vib, 2001, 239(5): 907-930.

[3]Bies D A, Hamid S. determination of loss and coupling loss factors by the power injection method[J]. J Sound Vib, 1980, 70(2): 187-204.

[4]Liu W, Ewing M S. Experimental and Analytical Estimation of Loss Factors by the Power Input Method[J]. AIAA Journal, 2007, 45(2): 477-484.

[5]張紅亮, 孔憲仁, 劉源等. 寬頻域的內(nèi)損耗因子實驗辨識方法研究. 振動與沖擊[J]. 2013, 32(12): 179-184.

ZHANG Hong-liang, KONG Xian-ren, LIU Yuan,et al. Test identification of damping loss factor in a wider frequency range[J]. Journal of Vibration and Shock,2013, 32(12):179-184.

[6]Wu L, Agren A. Analysis of initial decay rate in relation to estimates of loss factor and equivalent mass in experimental SEA[J]. ISMA 21, 1996: 187-198.

[7]Bloss B C, Rao M D. Estimation of frequency-averaged loss factors by the power injection and the impulse response decay methods[J]. The Journal of the Acoustical Society of America,2005,117: 240-249.

[8]Cabell R, Schiller N, Allen A, et al. Loss factor estimation using the impulse response decay method on a stiffened structure [C]. Inter-Noise 2009, Ottawa, Canada, 2009.

[9]毛伯永, 謝石林, 張希農(nóng). 沖擊載荷識別的瞬態(tài)統(tǒng)計能量分析方法[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(14): 46-51.

MAO Bo-yong, XIE Shi-lin, ZHANG Xi-nong. Identification of impact load based on transient statistical energy analysis method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(14): 46-51.

[10]程廣利, 關(guān)成彬, 胡生亮. 基于 Hilbert 變換的結(jié)構(gòu)內(nèi)損耗因子測試研究[J]. 噪聲與振動控制, 2006, 26(4): 105-107.

CHENG Guang-li, GUAN Cheng-bin, HU Sheng-liang. Study on the Measurement of Structure’s Internal Loss Factor based on Hilbert Transform[J]. Noise and Vibration Copntrol,2006, 26(4): 105-107.

[11]明瑞森, 孫進才. 非保守耦合結(jié)構(gòu)間耦合損耗因子的計算[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 1989, 7(1): 39-46.

MING Rui-sen, SUN Jin-cai. Calculation of coupling loss factor of non-conservatively coupled structures[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 1989, 7(1): 39-46.

[12]姚德源, 王其政. 統(tǒng)計能量分析原理及其應(yīng)用[M]. 北京:北京理工大學(xué)出版社, 1995.

[13]孫進才. 復(fù)雜結(jié)構(gòu)的損耗因子和耦合損耗因子的測量方法. 聲學(xué)學(xué)報[J]. 1995, 20(2): 127-134.

SUN Jin-cai. Measuring method of dissipation and coupling loss factors for complex structures[J]. Acta Acustica, 1995, 20(2): 127-134.