第一作者趙曉丹男，博士，教授，1963年7月生

利用分段積分識別阻尼比研究

趙曉丹，徐俊杰，王西富

(江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

摘要：提出利用分段積分列方程識別阻尼比方法。用快速傅里葉變換加連續(xù)傅里葉變換(Fast Fourier Transform plus Continuous Fourier Transform，F(xiàn)FT-FT)識別響應(yīng)信號固有頻率，并據(jù)此構(gòu)造復(fù)指數(shù)函數(shù)；與響應(yīng)信號進(jìn)行兩次時間不同的內(nèi)積運(yùn)算，控制運(yùn)算時間為響應(yīng)信號半周期整數(shù)倍；推導(dǎo)衰減系數(shù)計算公式，識別阻尼比。該方法具有控制內(nèi)積運(yùn)算時間消除負(fù)頻率項影響特點(diǎn)，不受阻尼大小、采樣長度限制，識別精度高，結(jié)合迭代運(yùn)算能識別密集模態(tài)阻尼。仿真計算、實驗表明，在曲軸阻尼實驗中，該方法能準(zhǔn)確識別阻尼的微小變化，具有工程實用性。

關(guān)鍵詞：分段積分；衰減系數(shù)；阻尼比；曲軸

基金項目：江蘇大學(xué)高級專業(yè)人才科研基金資助項目(11JDG096)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程基金資助項目(蘇政辦發(fā)[2011]6號)

收稿日期：2014-05-26修改稿收到日期：2014-09-30

中圖分類號:TB123

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.019

Abstract:A method using piecewise integral to identify damping ratios was proposed. The natural frequency was calculated based on a response signal by the application of Fast Fourier Transform plus Continuous Fourier Transform (FFT-FT). A complex exponential function was constructed with the calculated natural frequency, two inner products with different integral time were conducted between the response signal and the constructed exponential function, the operation time of inner products was controlled to be integer times of semi-period of the response signal, and then the formula of attenuation coefficient was derived. As a result, the damping ratio was determined. The feature of the method is that the interference by negative frequency item is eliminated by controlling the operation time of inner products. The method is not restricted by the size of damping ratios and the length of sample, and it has high precision. Damping ratios of closely spaced modes can be also identified by the method combined with iterative algorithm. Digital simulations and experiments show that the method is effective. In crankshaft experiments, small changes of damping ratios were identified. The method is practical in engineering.

Method for damping identification using piecewise integral

ZHAOXiao-dan,XUJun-jie,WANGXi-fu(School of Automobile and Traffic Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

Key words:piecewise integral; attenuation coefficient; damping ratio; crankshaft

阻尼在結(jié)構(gòu)故障診斷、振動實時監(jiān)控、荷載識別、噪聲控制及動力響應(yīng)等研究中有重要意義[1-2]；但阻尼的識別精度一直不高，受測量方法影響較大，提高阻尼比識別精度成為主要研究目標(biāo)[3]。測量阻尼主要有時、頻域識別方法，時域識別方法包括自由衰減法、ITD法、STD法、ARMA方法衍生及隨機(jī)減量技術(shù)等；頻域識別方法最經(jīng)典的為半功率帶寬法；另外有小波變換[4-5]、EMD-HT[6]等方法。小波變換存在端點(diǎn)效應(yīng)等[7-8]；而EMD-HT方法需用模態(tài)經(jīng)驗分解(EMD)，但EMD包絡(luò)線計算存在過沖、欠沖，數(shù)據(jù)端點(diǎn)處理困難，存在提取模態(tài)不完整及出現(xiàn)虛假模態(tài)問題[9]。實際工程應(yīng)用中最多的為半功率帶寬法[10]。該法因受頻率分辨率影響，識別精度受系統(tǒng)阻尼值大小限制。半功率帶寬改進(jìn)方法雖通過頻譜細(xì)化后阻尼比估計精度有較大提高，但由于小阻尼下時域截斷造成能量泄漏產(chǎn)生截斷誤差，受采樣長度影響較大。為此，本文提出利用分段積分列方程求解阻尼方法，精度高，不受阻尼大小及采樣長度限制。仿真計算及曲軸實驗結(jié)果均表明本文方法的有效性。

1利用分段積分計算阻尼比

推導(dǎo)利用分段積分計算阻尼比公式，忽略負(fù)頻率項的積分結(jié)果，簡化過程；在此基礎(chǔ)上通過控制積分時間消除負(fù)頻率項影響，提高阻尼識別精度。并推廣到多自由度系統(tǒng)進(jìn)行阻尼識別。

1.1忽略負(fù)頻率項影響的分段積分法

線性單自由度有阻尼系統(tǒng)的振動微分方程為

(1)

該系統(tǒng)自由衰減振動響應(yīng)可表示為

x(t)=Ae-ntcos(ωdt+φ)=

(2)

對響應(yīng)信號x(t)用連續(xù)傅里葉變換計算FFT譜局部區(qū)間頻率細(xì)化計算方法(FFT-FT)[11-12]識別出共振頻率ω≈ωd。由ω構(gòu)造指數(shù)函數(shù)e-jωt并與響應(yīng)信號x(t)乘積作積分運(yùn)算，積分區(qū)間[0,T1]，令積分結(jié)果為C1，得

(3)

(4)

同理,將響應(yīng)信號x(t)與指數(shù)函數(shù)e-jωt的乘積作第二段積分運(yùn)算，積分區(qū)間[0,T2]，令T2=2T1，用C2表示該時間段積分，有

(5)

C1，C2的計算結(jié)果為同相位復(fù)數(shù)，由于式(4)、(5)忽略負(fù)頻率項影響，實際計算中存在細(xì)微相位偏差，故C1，C2分別取絕對值。令e-nT1=x，由式(4)、(5)可得關(guān)系式為

(6)

由于e-nT1=x，由式(6)解得

(7)

式中：ln(·)表示取自然對數(shù)。

據(jù)識別的固有頻率ω(ω≈ωd)及衰減系數(shù)n可得阻尼比為

(8)

在識別出阻尼比基礎(chǔ)上可利用本文方法識別響應(yīng)信號幅值及初相位以識別模態(tài)信號。據(jù)識別的ω及n構(gòu)造函數(shù)f(t)=e-ntejωt+e-nte-jωt，將其與e-jωt的乘積作積分運(yùn)算，積分區(qū)間[0,T1]，積分結(jié)果C3可表示為

(9)

對比式(9)，與式(3)同理，C3可表示為

(10)

由式(4)、(10)得

(11)

式(11)計算結(jié)果為復(fù)數(shù)，由此可識別振幅A及初始相位φ，即

(12)

1.2消除負(fù)頻率項影響

以上推導(dǎo)忽略負(fù)頻率項的積分結(jié)果理論上存在不完善性，但為進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)，故研究如何消除負(fù)頻率項影響完善分析。令式(3)中負(fù)頻率項積分結(jié)果為D1，得

(13)

利用分部積分法計算D1，即

(14)

由式(14)得D1的積分結(jié)果為

(15)

將式(15)代入式(13)，得C1完整表達(dá)式

(16)

第二段積分同理，T2=2T1得C2完整表達(dá)式

(17)

分析式(16)、(17)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)T1=mπ/ω(m為正整數(shù))即T1為響應(yīng)信號半周期的整數(shù)倍時，cos(2ωT1)=cos(4ωT1)=1，sin(2ωT1)=sin(4ωT1)=0。進(jìn)一步化簡得

(18)

(19)

式(18)、(19)為由控制積分運(yùn)算時間獲得C1、C2完整表達(dá)式，推導(dǎo)中未限制阻尼值大小及時間長短，通過控制積分運(yùn)算時間為響應(yīng)信號半周期整數(shù)倍可消除原負(fù)頻率項積分對計算影響，使識別精度更高。通過二式仍可獲得式(6)～式(8)，求出阻尼比。

1.3多自由度系統(tǒng)阻尼識別

解決單自由度系統(tǒng)的阻尼識別遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，實際工程中多為多自由度情況，故討論利用分段積分法對多自由度下的阻尼進(jìn)行識別。

多自由度系統(tǒng)分為非密集模態(tài)、密集模態(tài)。非密集模態(tài)間干擾作用較弱，可視為多個獨(dú)立的單自由度信號，用分段積分法直接識別。而密集模態(tài)間干擾作用強(qiáng)，視為由N階模態(tài)相互干涉構(gòu)成，即

(20)

2仿真計算

2.1單自由度系統(tǒng)仿真算例

表1　三種方法阻尼比計算結(jié)果比較

考察采樣時間長度對本文方法影響。模擬信號取表1阻尼比0.004的響應(yīng)信號，改變積分時間長度，用考慮、不考慮負(fù)頻率項影響分段積分法進(jìn)行阻尼識別。不考慮負(fù)頻率項影響分段積分法積分時間自由選取，即T1分別取0.2 s、0.4 s、0.5 s；考慮負(fù)頻率項影響的分段積分法積分時間需控制選取響應(yīng)信號半周期的整數(shù)倍，T1分別取0.066 48 s、0.265 87 s、0.465 27 s(即為10、40、70個響應(yīng)信號周期)，識別結(jié)果見表2。由表2看出，不考慮負(fù)頻率項影響的分段積分法采用不同積分時間，相對誤差有一定波動，計算結(jié)果受積分時間影響；考慮負(fù)頻率項影響的分段積分法用不同積分時間，計算結(jié)果穩(wěn)定，相對誤差變化較小約0.09%，說明其不受采樣長度限制。

表2　積分時間對阻尼比計算結(jié)果的影響

2.2多自由度系統(tǒng)仿真算例

圖1　非密集模態(tài)頻域圖 Fig.1 Frequency spectrum ofnon-closely spaced modes

二自由度有阻尼系統(tǒng)自由衰減響應(yīng)見式(20)，其中i=2，A1=13，φ1=π，A2=12，φ2=π/6，ζ1=0.008，ζ2=0.005。非密集模態(tài)令信號頻率f1= 160 Hz,f2=200 Hz；密集模態(tài)令f1=196 Hz，f2=200 Hz。采樣頻率2 000 Hz，取分析點(diǎn)數(shù)2 000用于診斷信號頻率，積分時間T1取40個信號周期。非密集、密集模態(tài)頻域圖見圖1、圖2，識別結(jié)果見表3、表4。由表3看出，由于非密集模態(tài)間相互影響不大，內(nèi)積運(yùn)算具有一定濾波作用，用分段積分法可直接識別非密集模態(tài)阻尼，識別精度較高。由表4看出，密集模態(tài)間干擾作用強(qiáng)，用分段積分法直接進(jìn)行識別誤差較大；分段積分法結(jié)合迭代運(yùn)算能有效消除模態(tài)間干擾；而經(jīng)5次迭代的計算結(jié)果識別精度較高，控制在1%以下。因此結(jié)合迭代分段積分法也能對密集模態(tài)阻尼進(jìn)行識別。

圖2　密集模態(tài)頻域圖 Fig.2 Frequency spectrum of closely spaced modes

阻尼比/%計算值/%相對誤差/%0.80.799330.0840.50.502740.548

表4　密集模態(tài)阻尼識別結(jié)果

3模擬曲軸阻尼微小變化實驗

阻尼對裂紋的敏感性較強(qiáng)[14]，能準(zhǔn)確診斷不同時期阻尼，有助于識別曲軸裂紋。將本文方法用于曲軸阻尼診斷，改變曲軸阻尼模擬裂紋出現(xiàn)。實驗選某型號六缸發(fā)動機(jī)曲軸，兩端通過橡皮繩水平懸空吊起，用型號B&K 8848的銅質(zhì)力錘敲擊曲軸第三缸連桿曲頸處，用曲軸臂上型號B&K 4321的加速度傳感器記錄曲軸振動信號。曲軸產(chǎn)生裂紋損傷時引起剛度、阻尼變化。實驗在曲軸連接第三缸連桿軸頸及主軸頸曲軸臂上粘貼質(zhì)量輕的阻尼片，引起阻尼變化，模擬曲軸在該處出現(xiàn)裂紋，此處應(yīng)力集中[15]易產(chǎn)生裂紋。依次增加阻尼片數(shù)量，共進(jìn)行4組實驗，實驗照片見圖3。

圖3　曲軸實驗照片 Fig.3 The photo of crankshaft experiment

設(shè)采樣頻率10 000 Hz，分析點(diǎn)數(shù)20 000，采集信號的時、頻域圖見4、圖5。由圖5看出，信號在頻率2 500 Hz附近有個最明顯譜峰，約700 Hz?？蓪⒋祟l率對應(yīng)的模態(tài)設(shè)為特征模態(tài)。

圖4 曲軸響應(yīng)信號時域圖Fig.4Timedomainspectrumofcrankshaftsresponsesignal圖5 曲軸響應(yīng)信號頻域圖Fig.5Frequencyspectrumofcrankshaftsresponsesignal圖6 剩余信號頻域圖Fig.6Frequencyspectrumoftheremainingsignal

用本文方法對特征模態(tài)進(jìn)行阻尼識別，且診斷出幅值、相位角，提取特征模態(tài)信號，積分時間T1取300個信號周期；從總信號中減去識別的模態(tài)信號獲得剩余信號頻域圖，見圖6。由圖6看出，在2 500 Hz左右特征頻率處模態(tài)幾乎被完全消減，消減后幅值低于10，遠(yuǎn)小于圖5中原信號在特征頻率處幅值，表明本文方法識別結(jié)果準(zhǔn)確。

用消除負(fù)頻率項影響的分段積分法對曲軸產(chǎn)生裂紋即粘貼阻尼片時特征模態(tài)進(jìn)行阻尼識別。診斷結(jié)果見表5。由表5看出，考慮負(fù)頻率項影響的分段積分法三次識別值變化符合粘貼輕質(zhì)阻尼片使曲軸阻尼增大規(guī)律，說明本文方法可識別出阻尼的微小變化，有助于識別裂紋。

表5　曲軸阻尼比識別結(jié)果

4結(jié)論

(1)本文提出的利用分段積分列方程識別阻尼比方法通過兩次時間不同內(nèi)積運(yùn)算識別阻尼比，控制內(nèi)積運(yùn)算的時間可消除負(fù)頻率項影響，且不受系統(tǒng)阻尼值大小限制，可準(zhǔn)確識別高、中、低3種不同阻尼值。

(2)利用分段積分列方程識別阻尼方法不受采樣長度影響，計算結(jié)果穩(wěn)定。識別過程中進(jìn)行兩段積分時間不同的內(nèi)積運(yùn)算，無需像半功率帶寬法搜索半功率帶寬點(diǎn)，計算過程簡便，且識別精度高。

(3)結(jié)合迭代分段積分法亦能識別密集模態(tài)阻尼。在識別曲軸阻尼實驗中，準(zhǔn)確識別出阻尼的微小變化，有助于識別曲軸裂紋，具有工程實用性。

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