第一作者崔玉國男，教授,博士生導師，1971年5月生

壓電微動平臺的定位控制

崔玉國, 朱耀祥, 馬劍強, 方凡

(1. 寧波大學機械工程與力學學院，浙江寧波315211;2.浙江省零件軋制成型技術(shù)研究重點實驗室，浙江寧波315211)

摘要：為使壓電微動平臺定位速度快、定位精度高，采用復合控制方法來對其進行定位控制?；诒ＷC模型精度并使精度在整個閾值區(qū)間變化盡量均勻的要求，來使閾值最優(yōu)化，進而建立了壓電微動平臺的遲滯模型。基于所建平臺遲滯模型，設(shè)計了其前饋控制器；為抑制平臺的超調(diào)，在常規(guī)數(shù)字增量式PID中引入濾波器設(shè)計了其反饋控制器；將前饋控制與PID反饋控制相結(jié)合，設(shè)計了平臺的復合控制器。實驗結(jié)果表明：所建平臺遲滯模型僅有7個算子，且均為有效算子，在16.3 μm的最大實測位移下，模型最大誤差為0.208 μm；在復合控制作用下，平臺達到5 μm目標值的響應時間為0.173 s，雖慢于前饋控制，但明顯快于PID反饋控制；在最大位移為17.155 μm的參考輸入作用下，若不考慮傳感器噪聲，平臺的定位誤差幾乎為零。

關(guān)鍵詞：壓電微動平臺；遲滯模型；前饋控制；PID反饋控制；復合控制

基金項目：國家自然科學基金項目(51175271)；教育部留學回國人員科研啟動基金資助項目；浙江省高等學校中青年學科帶頭人學術(shù)攀登項目(Pd2013091);浙江省自然科學基金(LY12E09001)

收稿日期：2014-12-03修改稿收到日期：2015-03-11

中圖分類號:TH212；TH213.3

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.011

Abstract:To achieve high positioning speed and high positioning accuracy for a piezoelectric micro-positioning stage, a compound position control method was investigated. A hysteresis model of the micro-positioning stage was established. The threshold value was optimized by ensuring the model accuracy and the uniformity of the threshold interval changes. Then a feedforward controller based on the hysteresis model was developed. In order to suppress the overshoot of the stage, a filter was introduced in a PID feedback controller based on the conventional digital incremental PID. Further, a compound controller combining the feedforward controller with the PID feedback controller was developed. The experimental results showed that the developed model has only 7 effective operators; the model’s maximum error is 0.208 μm; under the maximum measured displacement of 16.3 μm; under the compound control, the response time of the micro-positioning stage to reach the traget value of 5 μm is 0.173 s, it is slower than that under feedforward control, but significantly faster than that under PID feedback control; regardless of the sensor noise, the position error of the stage is almost zero under the reference input action with the maximum displacement of 17.155 μm.

Position control for a piezoelectric micro-positioning stage

CUIYu-guo,ZHUYao-xiang,MAJian-qiang,FANGFan(1. College of Mechanical Engineering and Mechanics, Ningbo University, Ningbo 315211, China;2.Zhejiang Provincial Key Lab of Part Rolling Technology, Ningbo University, Ningbo 315211, China)

Key words:micro-positioning stage; hysteresis model; feedforward control; PID feedback control; compound control

微動平臺是一種高精度、高分辨率以及小行程的微位移機構(gòu)，被用于實現(xiàn)精密加工中的微進給及誤差補償、精密測試中的微調(diào)節(jié)、光纖對接中的微對準等[1]。壓電微動平臺采用壓電陶瓷執(zhí)行器驅(qū)動，體積小、剛度高、頻響快、分辨力高，從而獲得了更加廣泛的應用。

由于壓電陶瓷執(zhí)行器具有遲滯非線性，從而使其驅(qū)動的微動平臺產(chǎn)生定位誤差，不利于微動平臺整體性能的發(fā)揮，這就需要建立壓電執(zhí)行器或壓電微動平臺的遲滯模型，采用相應的控制方法來消除其遲滯誤差，提高其定位精度。描述壓電執(zhí)行器或壓電微動平臺遲滯非線性的模型有Preisach模型[2-5]、PI(Prandtl-Ishilinskii)模型[6-9]、廣義Maxwell滑動模型[10]、變形狀增益因子模型[11]、變比模型[12]、坐標變換模型[13]等。Preisach模型通過多個遲滯算子的線性迭加來描述對象的遲滯特性，精度較高，但需要進行積分運算，不利于模型參數(shù)的辨識。PI模型是Preisach模型的改進，它將Preaisach模型離散化，并將遲滯算子改為斜坡函數(shù)，從而使模型算法簡單、運算量小、精度更高、便于求逆。廣義Maxwell滑動模型用多對無質(zhì)量的線性彈簧-滑塊的輸入輸出特性來描述對象的遲滯特性，物理概念清晰，但算法復雜，模型參數(shù)辨識困難。變形狀增益因子模型需要時刻改變形狀增益因子的大小，給其應用帶來了不便。變比模型相對簡單、比較實用，但若第二升回程及其后的遲滯環(huán)不完全位于第一升回程的遲滯環(huán)內(nèi)時，便無法描述對象在整個運動范圍內(nèi)的遲滯特性。坐標變換模型表達式簡單、參數(shù)個數(shù)少、只用第一個升回程的實測值便可實現(xiàn)對任意升回程各點的跟蹤，但求擬運算相對復雜。

關(guān)于壓電微動平臺的定位控制方法，目前常用的有前饋控制[14]、PID控制[15]、模糊控制[16]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[17]、魯棒控制[18]、自適應控制[19]、獨立模態(tài)控制[20]等，以及將這些方法相結(jié)合的復合控制[5, 21]。前饋控制屬于開環(huán)控制，它先預估可能出現(xiàn)的偏差，并進行相應的補償，從而使被控對象的響應更及時，但它不能完全消除穩(wěn)態(tài)誤差，且控制精度取決于模型精度。PID控制屬于反饋控制，它通過對系統(tǒng)偏差的比例、積分與微分的組合來糾正系統(tǒng)偏差，可完全消除穩(wěn)態(tài)誤差，參數(shù)少、技術(shù)成熟、易于實現(xiàn)。模糊控制是基于模糊推理的一類控制方法，適用于不確定參數(shù)系統(tǒng)和復雜系統(tǒng)的控制。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制是類似于動物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的、并行處理信息的控制方法，具有很強的容錯性。魯棒控制是在變參數(shù)情況下仍保持系統(tǒng)某些特性的一種控制方法。自適應控制是在運行過程中不斷提取模型信息，自動使模型逐漸完善，從而使控制效果接近最優(yōu)的一種控制方法。獨立模態(tài)控制針對被控對象的各階模態(tài)分別設(shè)計控制算法，對抑制被控對象的振動具有不錯的效果。在上述這些控制方法中，單一控制方法簡單，但難以獲得良好的綜合控制性能；復合控制方法略為復雜，但可獲得良好的綜合控制效果。

本文在對傳統(tǒng)PI模型進行改進并建立壓電微動平臺遲滯模型的基礎(chǔ)上，將具有較快響應速度的前饋控制與可完全消除穩(wěn)態(tài)誤差的反饋控制相結(jié)合來設(shè)計壓電微動平臺的復合定位控制器，以使其具有良好的定位性能，即定位速度快、定位精度高。

1微動平臺定位控制器設(shè)計

1.1前饋控制器設(shè)計

前饋控制是基于模型的控制，下面在建立壓電微動平臺遲滯模型的基礎(chǔ)上來設(shè)計其前饋控制器。

1.1.1微動平臺遲滯建模

圖1　Backlash算子 Fig.1 Backlash operator

由于PI模型表達式簡單、參數(shù)少、求逆容易，故本文采用PI模型來建立壓電微動平臺的遲滯模型。PI模型的基本運算單元為Backlash算子，見圖1，Backlash算子的函數(shù)表達式為：

式中:y、x分別為Backlash算子的輸出、輸入，r、w分別為Backlash算子的閾值、權(quán)重。

為運算方便，Backlash算子函數(shù)常用數(shù)值迭代的形式來描述[6]，即：

y(t)=Hr,w[x(t),y(0)]=wmax{x(t)-r,

min[x(t)+r,y(t-T)]}

(2)

式中:T為采樣周期。

式(2)的初始條件為：

y(0)=wmax{x0-r,min(x0+r,y0)}

(3)

式中:x0=x(0)，y0為Backlash算子的初始值，通常取為0。

n個閾值不同、權(quán)重不同的Backlash算子線性疊加即可構(gòu)成被描述對象的遲滯模型，即：

min[x(t)+ri,yi(t-T)]}=WTHr[x,y0]

(4)

式中:0=r0

式(4)中的ri、wi確定后，便可求得被描述對象的PI遲滯模型。而ri、wi的求解過程如下：

圖2　初載曲線的示意圖 Fig.2 Schematic of initial loading curve

首先，通過實驗獲得被描述對象的初載曲線(對壓電微動平臺而言，就是驅(qū)動電壓從零施加到壓電執(zhí)行器所能承受的最高驅(qū)動電壓這一過程的實測升程曲線)后，見圖2，將其用足夠多的閾值r來劃分，從而將其描述為分段線性函數(shù)，即：

(5)

(6)

由式(5)可知，用PI模型來擬合被描述對象的實測曲線時，擬合精度的高低取決于閾值的劃分及權(quán)重的大小。通常，將閾值區(qū)間劃分得很小，以使劃分后初載曲線的各段接近于直線，以保證所建遲滯模型的精度，但這就使得算子數(shù)過多，且其中多數(shù)是權(quán)重為零的無效算子。而由式(4)可知，隨著遲滯算子數(shù)的增大，求解PI遲滯模型的運算量也隨之增大，從而在控制時就會降低被控對象的響應速度?？梢姡绾魏侠韯澐珠撝导慈绾问归撝底顑?yōu)化是至關(guān)重要的。

由式(6)可知，用PI模型來擬合被描述對象的實測曲線時，初載曲線在各閾值點處的斜率是用該點處遲滯算子的權(quán)重和來表達的，可見遲滯算子在各閾值點處的權(quán)重和越接近于該點初載曲線的斜率，模型的精度就越高。這樣，就可在保證模型精度滿足要求并使其在整個閾值區(qū)間變化盡量均勻的情況下，根據(jù)權(quán)重和的大小來劃分閾值。本文便基于該思想來劃分閾值，具體如下：

(1)用多項式函數(shù)擬合實測初載曲線；

(2)求出多項式函數(shù)在各采樣點處的導數(shù)(即斜率，該斜率可認為遲滯算子在相應采樣點處的權(quán)重)以及所有斜率和；

(3)將斜率和分為n等分，其中n為算子個數(shù)；

(4)求取各等分斜率和(該斜率和可認為在各閾值區(qū)間遲滯算子的權(quán)重和)處所對應的閾值。

圖3　不同算子數(shù)下實測初載曲線與模型曲線的誤差 Fig.3 Error of measured initial loading curve and model curve under different number of operators

圖3給出了在0～75～0 V三角波驅(qū)動電壓作用時不同算子數(shù)下實測初載曲線(為提高模型精度，圖示實測值為10次平均)和模型曲線之間的誤差。由該圖可知，當算子數(shù)≥7后，模型誤差漸趨穩(wěn)定，減小已不明顯，故本文選擇算子數(shù)為7。圖4給出了算子數(shù)為7時的模型曲線及誤差曲線。由該圖可知，當算子數(shù)為7時，在16.3 μm的最大實測位移下，模型曲線同實測曲線的最大擬合誤差為0.208 μm，且誤差曲線波動較均勻。表1給出了算子數(shù)為7時所建模型的閾值及權(quán)重。由該表可知，所建模型中不含權(quán)重為零的無效算子。

圖4　微動平臺位移的實測曲線與模型曲線 Fig.4 Measured curve and model curve of displacement of micro-positioning stage

iriwi100.150160213.7820.069841324.9300.025238435.064-0.057557544.9950.058218654.926-0.009704765.060-0.020715

1.1.2微動平臺前饋控制器設(shè)計

壓電微動平臺的前饋控制器通過對所建遲滯模型求逆來獲得。由式(4)可知，PI模型的逆模型為：

(7)

式中：

(8)

將求得的PI模型參數(shù)代入式(8)，便可求得逆模型參數(shù)，然后將逆模型參數(shù)代入式(7)，則可求得逆模型，即壓電微動平臺的前饋控制器。

1.2反饋控制器設(shè)計

鑒于PID結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)易于整定、魯棒性強、技術(shù)成熟，本文采用PID對壓電微動平臺進行反饋控制。常規(guī)數(shù)字PID控制算法為[22]：

u(k)=

(9)

式中:k為采樣時刻，T為采樣周期，u(k)為k時刻PID控制器的輸出，e(k)、e(k-1)分別為k和k-1時刻的偏差。

由式(9)所給出的PID為絕對式PID，其輸出受所有歷史狀態(tài)的影響，計算過程占用內(nèi)存量大、耗時長，不利于實時控制。為此，本文采用占用內(nèi)存、便于實時控制的增量式PID。由式(9)可得，PID控制器在k-1時刻的輸出為：

(10)

用式(9)減式(10)，可得PID控制器的遞推公式即增量式PID為：

Δu(k)=u(k)-u(k-1)=

g0e(k)+g1e(k-1)+g2e(k-2)

(11)

對式(11)兩端同時進行z變換，可得增量式PID控制器的離散脈沖傳遞函數(shù)為：

(12)

作者所在實驗室在以往采用PID對壓電微動平臺進行控制時，很容易產(chǎn)生超調(diào)[23]。超調(diào)可被看作是一種干擾，而濾波是抑制干擾的有效手段。為此，本文在常規(guī)數(shù)字增量式PID中引入濾波器，于是式(12)可表示為：

(13)

式中:1-f1z-1為濾波器，f1為濾波器參數(shù)，0

在式(13)中，令：

G(z-1)=g0+g1z-1+g2z-2

F(z-1)=(1-z-1)(1-f1z-1)

于是，可得：

F(z-1)U(z)=G(z-1)E(z)

(14)

進一步可表示為：

F(z-1)u(k)=G(z-1)e(k)

(15)

而由e(k)=r(k)-y(k)，可得：

F(z-1)u(k)=G(z-1)[r(k)-y(k)]

(16)

式(16)便是考慮了抑制超調(diào)的壓電微動平臺PID控制規(guī)律。

1.3復合控制器設(shè)計

根據(jù)式(7)與式(16)，將前饋控制與PID反饋控制相結(jié)合的壓電微動平臺復合控制規(guī)律為：

(17)

圖5給出了上述復合控制規(guī)律的框圖。

圖5　壓電微動平臺PID反饋控制系統(tǒng)框圖 Fig.5 Block diagram of PID feedback control of piezoelectric micro-positional stage

2微動平臺定位控制的實驗驗證

2.1微動平臺運動原理

圖6(a)給出了本文所設(shè)計的x、y兩自由度微動平臺的實物照片，其動平臺與臺體之間通過能夠發(fā)生彈性變形的圓弧形柔性薄板相連接，整個平臺有效工作臺面大、結(jié)構(gòu)簡單緊湊、固有頻率高、集中應力小、便于傳感器集成。見圖6(b)，微動平臺運動的實現(xiàn)過程如下：在x方向壓電執(zhí)行器驅(qū)動力Fx作用下，圓弧形柔性薄板發(fā)生彈性變形，使動平臺沿x方向產(chǎn)生微小位移，撤去Fx后動平臺在彈性恢復力作用下回到原始位置；y方向的運動過程與x方向相同。

圖6　微動平臺的運動原理 Fig.6 Motion principle of micro-positional stage

2.2復合控制實驗驗證

圖7為測量壓電微動平臺輸出位移的實驗系統(tǒng)。它由計算機、包含A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的多功能數(shù)據(jù)卡、驅(qū)動電源、壓電執(zhí)行器、微動平臺和電渦流位移傳感器構(gòu)成，其工作過程如下：計算機生成一定的數(shù)據(jù)波形，經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器輸出到壓電執(zhí)行器驅(qū)動電源，驅(qū)動電源的輸出電壓作用于壓電執(zhí)行器，驅(qū)動微動平臺產(chǎn)生微位移，該位移由電渦流位移傳感器測得，經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器輸出到計算機。

圖7　微動平臺位移特試系統(tǒng) Fig.7 System for measuring displacement of micro-positioning stage

由于微動平臺在x和y方向結(jié)構(gòu)完全相同，故下面僅給出一個方向的控制結(jié)果。

2.2.1階躍響應

圖8為5 μm階躍輸入作用下無控制及經(jīng)前饋、PID反饋、復合控制后壓電微動平臺的響應。由圖7(a)可知，無控制及經(jīng)前饋、PID反饋、復合控制后壓電微動平臺達到5 μm目標值的響應時間分別為0.014 s、0.022 s、0.286 s、0.173 s；另外，PID反饋與復合控制均無超調(diào)，這表明所設(shè)計的PID控制器能夠抑制超調(diào)。由圖8(b)可知，在穩(wěn)態(tài)情況下，無控制的穩(wěn)態(tài)誤差最大，誤差中線近似為從0.5 μm到0.6 μm的上升直線(之所以上升，是由壓電執(zhí)行器的蠕變特性所造成的)；前饋控制的穩(wěn)態(tài)誤差較無控制明顯減小，誤差中線近似為從0.25 μm到0.4 μm的上升直線；PID反饋與復合控制的穩(wěn)態(tài)誤差均較無控制及前饋控制顯著減小，若不考慮傳感器噪聲，它們的穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零。可見，所設(shè)計的復合控制器既可使壓電微動平臺具有較快的響應速度，響應時間為0.173 s，又可提高其定位精度，穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零。

圖8　不同控制下壓電微動平臺的階躍響應 Fig.8 Step responses of piezoelectric micro- positioning stage in different control

圖9　不同控制下壓電微動平臺的三角波跟蹤 Fig.9 Triangle wave track of piezoelectric micro- positioning stage in different control

2.2.2三角波跟蹤

圖9為變幅值三角波作用下經(jīng)前饋、PID反饋、復合控制后壓電微動平臺的響應。由該圖可知，在最大位移為17.155 μm的變幅值三角波作用下，前饋控制的誤差中線在-0.6 μm～0.2 μm之間變化，而PID反饋與復合控制的誤差中線則幾乎為零線。這表明即使對三角波輸入，所設(shè)計的復合控制器也能使微動平臺的穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零。而根據(jù)圖8(a)的結(jié)果可知，復合控制的響應時間比PID反饋快，這進一步表明設(shè)計的復合控制器可使微動平臺具有良好的定位效果，即定位時間快、定位精度高。

2.2.3任意信號跟蹤

圖10為任意波形信號作用下經(jīng)前饋、PID反饋、復合控制后壓電微動平臺的響應。由該圖可知，在最大位移為16.430 μm的任意波形信號作用下，前饋控制的誤差中線在-1.15 μm～0.22 μm之間變化，而PID反饋與復合控制的誤差中線同樣幾乎為零線。這表明所提出的復合控制方法不僅對階躍信號、三角波信號等典型輸入信號具有很好的跟蹤效果，即使對任意輸入信號，也具有良好的跟蹤效果。

圖10　不同控制下壓電微動平臺的任意信號的跟蹤 Fig. 10 Arbitrary signal of piezoelectric micro-positioning stage in different control

3結(jié)論

為使壓電微動平臺具有較快的定位速度及較高的定位精度，在對傳統(tǒng)PI模型改進的基礎(chǔ)上建立了壓電微動平臺遲滯模型，所建遲滯模型僅有7個算子，且均為有效算子，在16.3 μm的最大實測位移下，模型最大誤差為0.208 μm；設(shè)計了將前饋同PID反饋相結(jié)合的壓電微動平臺復合控制器，實驗驗證了其有效性，結(jié)果表明：在復合控制作用下，壓電微動平臺達到5 μm目標值的響應時間為0.173 s，雖慢于前饋控制，但明顯快于PID反饋控制；在最大位移為17.155 μm的參考輸入作用下，若不考慮傳感器噪聲，微動平臺的定位誤差幾乎為零。

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