王　根,黃華平

(1湖北師范學(xué)院 文理學(xué)院,湖北 黃石 435002;2湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石 435002)

閉形式積分定理的完備性延拓

王根1,黃華平2*

(1湖北師范學(xué)院 文理學(xué)院,湖北 黃石 435002;2湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石 435002)

摘要：討論了無論閉形式是否非空，Stokes公式恒等于0的情況，推廣到一般的情形，并且得到了函數(shù)整體穩(wěn)恒分布的必要條件是閉形式dw=0。

關(guān)鍵詞：Stokes 定理;整體穩(wěn)恒;閉形式

作者簡介：王根 (1990—),男,本科。

通訊作者:*黃華平(1978—),男,副教授,碩士,研究方向:復(fù)變函數(shù)論。

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2015.05.013

中圖分類號：O172.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：號：2095-4565(2015)05-0054-02

Abstract：This paper discusses the closed case of Stokes formula equaling to zero without considering the closed form equaling to empty set.The results greatly generalize the usual cases.Furthermore,it is obtained that closed form dw=0 is the necessary condition for function global steady and fixed distribution.

Extensions on Completeness for Closed Integral Theorems

WangGen1,HuangHuaping2*

(1School of Art and Science,Hubei Normal University,Huangshi Hubei 435002;

2School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi Hubei 435002)

Key words：Stokes theorem;gobal steady;closed form

早在Riemann關(guān)于Abel簇的工作中，就已考慮過Riemann曲面上的閉曲線是否為一塊區(qū)域的邊界問題。根據(jù)Stokes定理，閉形式在這類閉曲線上的積分值恒為0，而這類曲線的多寡通常涉及到曲面的拓?fù)湫誀睢?/p>

單連通區(qū)域是一個(gè)完備的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也是勢函數(shù)滿足的條件之一。從定積分的完整性可得到函數(shù)的常數(shù)性，利用Green公式可得到二維勢函數(shù)，討論勢函數(shù)的性質(zhì)一直是學(xué)術(shù)界研究的中心課題之一[1]。目前，一些常用的積分表達(dá)式均可以用外微分意義下的廣義Stokes 公式統(tǒng)一描述[2]，這當(dāng)中也要用到恰當(dāng)方程與同調(diào)論中的知識。為方便讀者，下面首先給出一些預(yù)備知識。

(1)

交換指標(biāo)為k和j，則dxk∧dxj=-dxj∧dxk，于是d2ω=-d2ω,故d2ω=d°dω=0。

若ω=dθ，則稱ω為恰當(dāng)形式；若dω=0，則稱ω為閉形式。因?yàn)閐°dω=0，故恰當(dāng)形式一定是閉形式，這即是龐加萊引理。一般情況下，其逆命題不成立。但是可以證明，在局域單連通鄰域上，閉形式也是恰當(dāng)形式。

微分形式的同調(diào)：若2個(gè)P次閉微分形式ω1與ω2僅僅相差一個(gè)恰當(dāng)微分形式dθ，即ω1=ω2+dθ，則稱這2個(gè)閉形式是同調(diào)的，記作ω1～ω2。例如，球面S2的德拉姆上同調(diào)群H1(S2)=0，即球面上每個(gè)(1次)閉微分形式都是恰當(dāng)微分形式[3]。類似于前面閉曲面“邊緣的邊緣等于0”，即?·?D=0，有d·dθ=0,即恰當(dāng)微分形式dθ上同調(diào)為0，dFp-1(M)是上同調(diào)為0的若干個(gè)p次(恰當(dāng))微分形式構(gòu)成的群。

調(diào)和原理闡述了內(nèi)稟調(diào)和方程:

(2)

由引理1可得到Cauchy-Riemann方程，繼而可以得到Laplace調(diào)和方程 △u=△v=0。

引理2設(shè)k>1，D是n中的一個(gè)定向的k維緊流形，給出?D的誘導(dǎo)定向[5],令ω是一個(gè)在開集D?n上的k-1形式，則當(dāng)?D≠?時(shí)，有∫Ddω=∫?Dω，而當(dāng)?D=?時(shí)，有∫Ddω=0。

1主要結(jié)果

定理1設(shè)k>1，令D是n中的一個(gè)定向的k維緊流形。若?D是單連通的閉形式，給出?D的誘導(dǎo)定向,令ω是開集D?n上定義的k-1次形式，若，則函數(shù)的整體分布性質(zhì)是穩(wěn)恒的，且完備的。

1)對于0-形式ω0=f(x),dω0=f'(x)dx=0可以得到f'(x)=0，即得到穩(wěn)定的極值點(diǎn)。

從而得到:

4) 對于k>3的高維形式，即廣義拓?fù)渫陚湫缘某浞直匾獥l件可以由恰當(dāng)微分形式ω=dθ上同調(diào)為0得到，即閉形式條件:

ω=dθ～0?dω=d°dθ=0。

很顯然，引理2給出了?D≠?的積分一般表達(dá)式為∫Ddω=∫?Dω，

(3)

參 考 文 獻(xiàn)

[1]王根.統(tǒng)一的終極原理:調(diào)和原理[M].石家莊:河北科學(xué)技術(shù)出版社,2013：4-8.

[2]梅向明,黃敬之.微分幾何[M].4版.北京：高等教育出版社,2008：189-202.

[3]黃華平,周惠.一個(gè)常微分方程的新解法[J].湖北理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，29(6)：53-55.

[4]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].3版.北京：高等教育出版社,2004：96-115.

[5]曼克勒斯.謝孔彬,譯.流形上的分析[M].北京：科學(xué)出版社，2012：227-266.

(責(zé)任編輯高嵩)