何學習,李士明*,陸家鳳

(1湖北理工學院 機電工程學院,湖北 黃石 435003;2湖北理工學院 數(shù)理學院,湖北 黃石 435003)

數(shù)學中的超級導數(shù)

何學習1,李士明1*,陸家鳳2

(1湖北理工學院 機電工程學院,湖北 黃石 435003;2湖北理工學院 數(shù)理學院,湖北 黃石 435003)

摘要：運用類比的思想定義了一種新的運算法則——超級導數(shù)。通過超導可以使具有某種特征的多項式擁有多米諾骨牌效應，從而快速簡便地解決一些目前存在的難題,同時運用類比思想對超導進行了延伸拓展。

關(guān)鍵詞：超導;超積分;單次項;超導思想

收稿日期：2014-04-17

作者簡介：何學習(1994—)，男，本科生。

通訊作者：*李士明(1983—)，男，講師，碩士。

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2015.05.014

中圖分類號：O29

文獻標識碼：碼：A

文章編號：號：2095-4565(2015)05-0056-04

Abstract：This paper defines a new kind of algorithm--super derivative by using the idea of analogy.The polynomial with certain features can have a Domino effect with super derivative,and it can solve some existing problems in a qucik and easy way.Furthermore this paper has expanded it by analogy.

Super Derivative in Math

HeXuexi1,Lishiming1*,LuJiafeng2

(1School of Mechanical and Electronic Engineering,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003;

2School of Mathematics and Physics,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Key words：super derivative;super integral;a single item;the thought to super derivative

對于多項式1a+2a+…+na(注：本文涉及到的n和a均為正整數(shù)),一般是利用高階等差數(shù)列的性質(zhì)來求解[2]，如逐差法、待定系數(shù)法等。這些方法各有其巧妙之處，然而它們也有一個共同點，就是隨著a值的增大，計算量會急劇增加，使用起來很不方便。針對這一問題，通過定義一種新的運算法則讓多項式1a+2a+…+na擁有了多米諾骨牌效應：若已知多項式1a+2a+…+na的值，便可以快速地求出多項式1a+1+2a+1+…+na+1的值。

1超導的定義

2超導的應用

根據(jù)“超導”和“超積分”的定義，可以輕易地對常數(shù)na進行“升冪”或“降冪”，也就是說對于多項式1a+2a+…+na，“超導”與“超積分”可以讓其在a與a+1之間產(chǎn)生關(guān)系。那么，如何讓它擁有多米諾骨牌效應呢？先來看一下函數(shù)。易知：

f(x)=g(x)?f'(x)=g'(x)

f'(x)=g'(x)?f(x)=g(x)+C

(1)

因為求導的對象為函數(shù)(包括常函數(shù))“超導”的對象為常數(shù)(為了與一般形式的常數(shù)區(qū)分開來，不妨稱常數(shù)na為“函常數(shù)”)，所以對于式(1)中的等式，令x=n時，

f(n)=g(n)?f'(n)=g'(n)

f'(n)=g'(n)?f(n)=g(n)+C

(2)

式(2)也完全成立。不同的是這里的常數(shù)C是關(guān)于n的“單次項”即“An”，也就是說，對于:

1a+2a+…+na=f(a);

1a+1+2a+1+…+na+1=f(a+1)

(3)

若已知f(a)的值，可通過如下步驟求解f(a+1)的值：

1)對f(a+1)“超導”得:

f'(a+1)=(a+1)(1a+2a+…+na)=(a+1)f(a)

(4)

2)對式(4)“超積分”得f(a+1)=(a+1)∫f(a)+An

(5)

即:1a+1+2a+1+…+na+1=(a+1)∫f(a)+An

(6)

3)通過給定一個n值(為了方便，不妨令n=1)，求出A，將A的值代入式(6)即可得出f(a+1)的值。

在式(2)中，對f'(a+1)“超積分”的結(jié)果為f(a+1)，對(a+1)f(a)“超積分”的結(jié)果為(a+1)∫f(a)，由式(2)的結(jié)論可得出式(6)，為了方便，可以直接寫成由式(5)得出式(6)。

為了驗證這種方法的正確性，給出以下幾個例子。

例1令M=1+2+…+n;

N=12+22+…+n2;

對N“超導”得N'=2M=n2+n;

(7)

例2令M= 12+22+…+n2;

N= 13+23+…+n3;

(8)

例3令M=13+23+…+n3;

N= 14+24+…+n4;

對N“超導”得N'=4M=n4+2n3+n2;

(9)

顯然式(7)～(9)都是正確的。運用這種方法繼續(xù)算下去，得到的等式經(jīng)驗證都是成立的(驗證方法：多次賦予n不同的值，判斷等式兩邊的值是否相等)。于是，運用“超導”與“超積分”便可以輕易地讓多項式1a+2a+…+na擁有“多米諾骨牌效應”，而且當a為偶數(shù)時,“超積分”后求得的值就是1a+1+2a+1+…+na+1的值，即單次項的系數(shù)A為0。

3超導思想

同樣，對于函數(shù)的各種求導法則[3]，在“函常數(shù)”中也幾乎全部可以應用于“超導”。下面是“函常數(shù)”的和、差、積、商的“超導”法則：

[a±b]'=a'±b'

(10)

(ab)'=a'b+ab'

(11)

(12)

式(10)和式(11)可推廣到任意有限個“函常數(shù)”的情形，如：

(a+b+c)'=a'+b'+c'

(abc)'=a'bc+ab'c+abc'

(13)

下面是對其推廣后的應用舉例。

B=ln1+ln2+ln3+…+lnn;

由“超導”原理知B'=A;

B=ln1+ln2+…+lnn=ln(1×2×…×n);

(14)

由式(13)可知式(14)是成立的。

還有很多種類的函數(shù)求導，本文沒有給出其相應的“超導”定義及“超積分”定義(因為沒有找到相應的應用實例，只有有了應用實例，“超導”及“超積分”才有其存在的意義)。在“超導”方面，還有很多領域等待我們?nèi)ヌ剿骱烷_辟。

4結(jié)束語

1)由于本文的主要結(jié)論一般是通過類比得到，讀者也需用類比的思想去理解。對于超導和超積分的定義，本文均是采用類比的方法得到。在數(shù)學中導數(shù)的概念是用物理意義和極限思想給出，而不定積分是用導數(shù)的逆運算的方法給出。因超導和超積分的對象是常數(shù)，也給不出其幾何意義，所以只能從形式和計算方法上進行類比。掌握這種方法的重點是如何區(qū)分或是規(guī)定函常數(shù)與普通常數(shù)。在函數(shù)里面，根據(jù)函數(shù)形式的不同，有多種求導運算，而在常數(shù)里面，一種形式的常數(shù)有時可以看作是多種形式的函數(shù)，這時就需要對其進行規(guī)定，如：常數(shù)mn只能看作是xa而不能當作是ax。這也是超導的局限所在。本文只規(guī)定了3種形式的超導，在“超導思想”中已作出說明。若要推廣還需進一步的探索。

2)在超導的第2步都有1個An(并將An看作是關(guān)于n的單次項)，這是經(jīng)過大量驗算得出的結(jié)論。在這里將An與函數(shù)積分后添加的常數(shù)C聯(lián)系起來，只是為了方便記憶。

參 考 文 獻

[1]葉其孝，沈永歡.實用數(shù)學手冊[M].北京：科學出版社，2006:9-10.

[2]鄧俊謙.應用數(shù)學基礎[M].上海：華東師范大學出版社，2001:3-21.

[3]朱長青，王紅.微積分[M].上海：同濟大學出版社，2014:53-63.

[4]馬來煥.高等應用數(shù)學[M].北京：北京理工大學出版社，2010:34.

[5]李國瑩.應用數(shù)學基礎[M].上海：復旦大學出版社，2003：106.

(責任編輯高嵩)