魯志兵　王成勇　張心怡　張　鵬　王思艷　王　源

合肥工業(yè)大學(xué),合肥,230009

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筒形件冷擠壓凹模強(qiáng)度設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化

魯志兵王成勇張心怡張鵬王思艷王源

合肥工業(yè)大學(xué),合肥,230009

摘要：基于厚壁圓筒理論,分析了整體式凹模工作載荷特點(diǎn)，討論了單純通過增加壁厚來提高模具強(qiáng)度的局限性。為提高承載能力，探討了多層預(yù)應(yīng)力組合凹模方案。基于第四強(qiáng)度理論，推導(dǎo)了n層組合凹模承受內(nèi)壓的數(shù)學(xué)表達(dá)式。采用Lagrange乘子法對(duì)組合凹模參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì),推導(dǎo)了n層組合凹模各層最佳徑比分配、凹模極限內(nèi)壓、套縮界面殘余壓力及最優(yōu)過盈量等設(shè)計(jì)變量的計(jì)算式。以三層組合凹模為算例，運(yùn)用理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，對(duì)上述n層組合凹模的各設(shè)計(jì)變量計(jì)算式進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明兩者的結(jié)果吻合較好。

關(guān)鍵詞：擠壓凹模；強(qiáng)度設(shè)計(jì)；結(jié)構(gòu)優(yōu)化；Lagrange乘子法

0引言

在金屬擠壓過程中,凹模起著容納金屬坯料和控制金屬流動(dòng)的雙重作用，型腔內(nèi)壁承受較大的擠壓力，容易開裂失效。為提高凹模強(qiáng)度，常采用預(yù)應(yīng)力組合凹模結(jié)構(gòu)。如何合理選擇組合凹模層數(shù)，如何合理設(shè)計(jì)組合凹模的分層半徑以及層間過盈量，是預(yù)應(yīng)力組合凹模設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，目前尚缺少成熟的理論。

羅中華等[1]采用疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)理論和最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法探討了三層壓配組合凹模的設(shè)計(jì)方法。李燕等[2]以彈塑性力學(xué)理論為基礎(chǔ)通過保角變換對(duì)組合式扁擠壓筒的應(yīng)力及位移分布進(jìn)行了計(jì)算并對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。Hur等[3]采用理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法,研究了雙層、三層組合凹模的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。然而，現(xiàn)有組合凹模的研究局限于三層及三層以內(nèi)，未涉及更多層的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文基于厚壁圓筒理論，分析了整體式凹模承載能力的局限性，采用拉格朗日乘子法，對(duì)多層組合凹模結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最后通過一個(gè)算例，對(duì)所推導(dǎo)的公式進(jìn)行了驗(yàn)證，并分析了各層應(yīng)力沿徑向的分布情況。

1筒形件冷擠壓凹模工作載荷失效分析

圓筒的外內(nèi)徑之比Rb/Ra>1.2時(shí)稱為厚壁圓筒，工程中可將筒形件冷擠壓凹模簡(jiǎn)化為內(nèi)外受壓的厚壁圓筒模型來進(jìn)行受力分析[4],如圖1所示。

圖1　內(nèi)外受壓的厚壁圓筒模型

凹模沿軸向應(yīng)變較小,可以忽略,故可將其視為平面應(yīng)變問題來處理。在進(jìn)行受力分析時(shí)，所有分量均采用極坐標(biāo)(r,θ)表示。當(dāng)厚壁圓筒同時(shí)承受內(nèi)壓pi和外壓pj作用時(shí),在彈性范圍內(nèi)，環(huán)形截面上任意半徑r處產(chǎn)生的徑向應(yīng)力σr和周向應(yīng)力σθ由Lame公式[4]得出：

(1)

(2)

式中，σz為軸向應(yīng)力。

2整體式擠壓凹模受力分析

當(dāng)擠壓凹模為整體式時(shí)，有pj=0,假設(shè)整體式凹模產(chǎn)生屈服時(shí)的最大承載能力pemax=pi，K=Rb/Ra。在內(nèi)壁處(r= Ra),σθ-σr有最大值,由式(1)可知:

(3)

由式(2)有

進(jìn)而得到整體式凹模產(chǎn)生屈服時(shí)的最大承載能力：

(4)

當(dāng)K由小到大取不同值時(shí),繪得凹模pemax/σs與K值的關(guān)系曲線,如圖2所示。

圖2　凹模pemax/σs與K值的關(guān)系曲線

由圖2可知:

(1)對(duì)于選定凹模材料，σs為定值,pemax的值與Ra無關(guān),僅與K值有關(guān),當(dāng)K值增大時(shí)，pemax增大；

(2)對(duì)于整體式凹模,K為4~6較為合理。當(dāng)K>6時(shí),隨著K的增加,pemax增加不明顯；

由式(1)，可得整體式冷擠壓凹模在彈性范圍內(nèi)沿壁厚方向任意一點(diǎn)處的周向應(yīng)力σθ和徑向應(yīng)力σr的表達(dá)式：

(5)

由式(5)得,在內(nèi)壁處(r= Ra)處,周向應(yīng)力取最大值。最大周向應(yīng)力σθmax與K的關(guān)系式如下：

(6)

將式(5)代入式(2)得環(huán)截面上任意半徑r處產(chǎn)生的等效應(yīng)力表達(dá):

(7)

(8)

圖3　σθmax/pi及與K值的關(guān)系曲線

由圖3可知:

(2)當(dāng)K<4時(shí)，隨著K值的增大，σθmax和

綜上所述,在實(shí)際生產(chǎn)中,考慮到材質(zhì)的影響，一般取總徑比K為4~6為宜。當(dāng)擠壓凹模承受的單位擠壓力超過1100MPa時(shí)，為了提高凹模強(qiáng)度，防止縱向裂紋產(chǎn)生，生產(chǎn)中普遍使用預(yù)應(yīng)力組合凹模。

3多層冷擠壓組合凹模受力分析

3.1多層組合凹模結(jié)構(gòu)及彈性解

多層組合凹模是利用過盈裝配將兩個(gè)或多個(gè)不同直徑的同軸筒體縮套在一起,形成多層筒體,套合后外層筒體收縮使內(nèi)層筒壁產(chǎn)生壓縮殘余應(yīng)力，以提高凹模在工作時(shí)的彈性承載能力[6]。同軸套縮多層組合凹模結(jié)構(gòu)示意圖[7]見圖4。

圖4　同軸套縮多層組合凹模結(jié)構(gòu)

根據(jù)式(1),第m層圓筒彈性解的周向應(yīng)力(σθ)m和徑向應(yīng)力(σr)m的表達(dá)式如下[9]：

(9)

3.2多層組合凹模優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

在組合凹模的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，要求最大限度地發(fā)揮材料性能。本文以內(nèi)層凹模和預(yù)應(yīng)力圈在工作內(nèi)壓下同時(shí)屈服為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，以第四強(qiáng)度理論為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，當(dāng)每層筒體內(nèi)壁處的等效應(yīng)力同時(shí)達(dá)到材料的屈服極限時(shí)即組合凹模失效。

根據(jù)上述要求及式(9),在極限狀態(tài)下,第m層內(nèi)壁屈服時(shí)的應(yīng)力表達(dá)式為

(10)

將式(10)改寫成如下形式：

(11)

則有

(12)

將式(12)中各式疊加,得

(13)

按照假設(shè),K為常數(shù),則多層組合凹模中存在的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

(14)

(15)

對(duì)式(15)求偏導(dǎo)并令偏微分均等于0,有

(16)

于是，可得到

(17)

式(17)構(gòu)成了一個(gè)非線性方程組。

3.3多層組合凹模優(yōu)化結(jié)果及其分析

3.3.1總徑比K的最佳分配

求解式(17),得各層徑比Km的最優(yōu)解表達(dá)式為

(18)

3.3.2組合凹模所能承受的極限工作內(nèi)壓分析

將式(18)代入式(13)可得多層組合凹模的極限工作內(nèi)壓pimax表達(dá)式:

(19)

由式(19)可知,當(dāng)組合凹?？倧奖菿和總層數(shù)n確定后,組合凹模極限工作壓力pimax的大小與層的順序無關(guān)，與各層材料的屈服應(yīng)力有關(guān)。此式也適用于各層材料相同的組合凹模，根據(jù)式(4)和式(19),繪出了10層以下相同材質(zhì)的組合凹模pimax/σs1與總徑比K之間的關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖5　組合凹模pimax/σs1與總徑比K之間的關(guān)系曲線

從圖5可知：

(1)當(dāng)K和σs1一定時(shí),組合凹模的層數(shù)越多，組合凹模極限工作內(nèi)壓pimax越大。即當(dāng)凹模安裝尺寸一定的情況下,采用m層組合凹模比m-1層組合凹模能承受更高的工作內(nèi)壓；

(3)在凹模安裝空間尺寸允許的情況下,當(dāng)組合凹模的總徑比K>6時(shí),在一定范圍內(nèi)仍能明顯提高組合凹模的極限工作壓力。

3.3.3組合凹模界面套縮殘余壓力分析

(20)

將pimax代入式(12)疊加，得極限工作壓力下第m與第m+1層間分界面處的接觸壓力為

(21)

將套縮后的多層組合凹模視為整體筒體進(jìn)行分析,根據(jù)式(1)可得，在pimax作用下,第m層與第m+1層套縮界面處產(chǎn)生的壓力pm為

(22)

由式(19)~式(22)得

(23)

3.3.4組合凹模最優(yōu)過盈量設(shè)計(jì)

對(duì)于兩層以上的組合凹模而言，套縮壓力并不等于套縮界面殘余壓力，還與其余外層套縮壓力在該界面處產(chǎn)生的徑向壓力有關(guān)。多層組合凹模一般由內(nèi)向外過盈裝配，即先將凹模套縮在第2層預(yù)應(yīng)力圈上，形成雙層組合凹模，然后把雙層凹模視為整體式凹模套縮于第3層預(yù)應(yīng)力圈上，按照此配合順序，將n-1層組合凹模套縮于n層中，形成n層組合凹模。故n-1層與n層配合面處的套縮壓力即為套縮產(chǎn)生的界面殘余壓力。第1層到n-1層間的套縮殘余壓力是本層套縮壓力與其余外層套縮壓力在該套縮界面處產(chǎn)生的徑向壓力的疊加。由式(1)根據(jù)力的疊加原理得，第m層與m+1層間套縮壓力psm表達(dá)式為

i=m+1,m+2，…，n-1

(24)

對(duì)于雙層組合凹模而言,由文獻(xiàn)[10]可知,組合凹模在不承受工作內(nèi)壓時(shí)，套縮壓力ps與層間半徑過盈量δ之間的關(guān)系式如下：

(25)

式中,E為彈性模量;R0為套縮界面半徑;Ri、Rj為雙層組合筒體的內(nèi)外半徑。

將第1層到第m層筒體按照先后順序裝配完成后套縮于第m+1層筒體，此時(shí)可將第1到m層筒體視為內(nèi)筒，第m+1層視為外筒，故在套縮壓力psm作用下,由式(25)得第m與m+1層間半徑過盈量δm為

(26)

3.4三層組合凹模優(yōu)化及應(yīng)力分析

3.4.1最優(yōu)凹模參數(shù)設(shè)計(jì)

本文優(yōu)化的三層組合凹模內(nèi)徑Di=80mm，材料為高速鋼W6Mo5Cr4V2，其屈服強(qiáng)度σs1=1250MPa;中層預(yù)應(yīng)力圈材料為30CrMnSi，其屈服強(qiáng)度σs2=885MPa;外層預(yù)應(yīng)力圈材料為5CrNiMo，其屈服強(qiáng)度σs3=729MPa,各層材料的彈性模量均為E=200GPa，總徑比K=4。由式(19)解得組合凹模的極限承載壓力pimax=1013.8MPa,由式(18)、式(21)、式(23)、式(26)求得組合凹模的優(yōu)化參數(shù)，如表1所示。

3.4.2三層組合凹模應(yīng)力場(chǎng)分析

本文基于ABAQUS軟件，利用表1中的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，對(duì)三層組合凹模裝配過程進(jìn)行有限元仿真分析，得到了凹模在1013.8 MPa工作內(nèi)壓下的周向應(yīng)力、徑向應(yīng)力沿壁厚方向的分布曲線，如圖6所示。

表1　三層組合凹模的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)

(a)周向應(yīng)力分布

(b)徑向應(yīng)力分布圖6　應(yīng)力沿壁厚方向的分布曲線

從圖6a中可以看出，凹模過盈裝配后，在不承載的情況下，第1層周向殘余應(yīng)力為壓應(yīng)力，第2、3層為拉應(yīng)力，其數(shù)值在各層內(nèi)壁處達(dá)到最大值且沿著壁厚方向減小。凹模承載后，第1層的周向殘余壓力能部分抵消工作應(yīng)力在壁厚方向上產(chǎn)生的拉應(yīng)力，從而降低了凹?？v向開裂的傾向。根據(jù)力的疊加原理，疊加后第1層的周向應(yīng)力部分由壓應(yīng)力轉(zhuǎn)變?yōu)槔瓚?yīng)力，第2、3層的周向拉應(yīng)力值相對(duì)增大。

從圖6b中可以看出，凹模過盈裝配后，徑向殘余應(yīng)力均為壓應(yīng)力，在整個(gè)組合凹模的內(nèi)外壁處應(yīng)力值為0，且沿壁厚方向變化不均勻。凹模承載后，徑向最大壓應(yīng)力值位于第1層凹模的內(nèi)壁處，且沿壁厚方向呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。

為了驗(yàn)證有限元模擬結(jié)果的正確性，將各層內(nèi)外壁處的應(yīng)力值進(jìn)行了對(duì)比分析，如表2所示。從表2中可以看出，優(yōu)化數(shù)值解和理論解比較接近，相對(duì)誤差較小，有限元分析結(jié)果和理論分析結(jié)果得到了相互驗(yàn)證。

表2　三層組合凹模中各層內(nèi)外壁應(yīng)力值對(duì)比

4結(jié)論

(1)整體式凹模的彈性承載能力隨壁厚的增加而提高，凹模總徑比K取4~6為宜，在工作狀態(tài)下內(nèi)壁處的等效應(yīng)力和周向拉應(yīng)力數(shù)值最大，且其最大值隨壁厚的增加而減小，當(dāng)K>6時(shí)承載能力增加不明顯。

(2)本文基于第四強(qiáng)度理論，考慮了中間主應(yīng)力對(duì)材料屈服的影響,能較好地反映材料的屈服特性，接近于工程實(shí)際應(yīng)用。采用Lagrange乘子法對(duì)多層組合凹模進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，推導(dǎo)出各層最佳徑比、凹模極限承載壓力以及最優(yōu)過盈量的計(jì)算公式。

(3)通過對(duì)三層組合凹模的優(yōu)化設(shè)計(jì)，借助有限元建模分析驗(yàn)證了理論推導(dǎo)公式的正確性。

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(編輯袁興玲)

Strength Design and Structural Optimization of Cold Extrusion Die for Cylindrical Workpieces

Lu ZhibingWang ChengyongZhang Xinyi Zhang PengWang SiyanWang Yuan

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Abstract:Based on the theories of thick-walled cylinder, the mechanical characteristics of integral die under working conditions were analyzed and the calculation results show that it is difficult to increase the die strength only by increasing the wall thickness. In order to improve the load supporting capacity of the die, the scheme of prestressed multilayer the die was discussed. Based on the fourth failure criteria,a mathematical expression of n-layer combinatorial die under internal pressure was deduced. Lagrange multiplier method was used to obtain the optimum design parameters of combinatorial die. The design formulas of optimum diameter ratio of each layer, the limit loading pressure，the residual pressure in shrinkage interface and optimum radial magnitude of interference were investigated. Through the optimum design of three-layer combinatorial die, the derived formulas was verified using two methods of theoretical analysis and numerical simulation.The investigation shows that the simulation results are consistent with the theoretical ones.

Key words:extrusion die;strength design; structure optimization; Lagrange multiplier method

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275146)；教育部科學(xué)研究重大項(xiàng)目(311025)；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1208085ME71)；留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目

收稿日期：2015-01-23

中圖分類號(hào)：TB125DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.018

作者簡(jiǎn)介：魯志兵，男,1990年生。合肥工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)樗苄猿尚渭澳＞逤AD。王成勇,男,1972年生。合肥工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院博士、副教授。張心怡，男，1990年生。合肥工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生。張鵬,男,1990年生。合肥工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生。王思艷，女,1990年生。合肥工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生。王源,男,1991年生。合肥工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院本科生。