摘 要:函數(shù)思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一,其主要是通過運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)以及概念,去轉(zhuǎn)化、分析和解決問題。高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容就是函數(shù),近幾年來,函數(shù)也成為各省歷年的高考重點(diǎn)。將函數(shù)思想應(yīng)用于解方程、不等式、化簡求值和應(yīng)用試題,從而拓寬學(xué)生解題思路,促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升。
關(guān)鍵詞:函數(shù)思想;解題;應(yīng)用
函數(shù)思想的本質(zhì)是提出數(shù)學(xué)對象,將數(shù)量特征抽象化,從而建立函數(shù)關(guān)系。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最值、方程和不等式等問題,都需要運(yùn)用函數(shù)思想,通過使用函數(shù)思想構(gòu)建中間函數(shù),建立函數(shù)關(guān)系式,從而有效地解決數(shù)學(xué)相關(guān)問題。函數(shù)思想的應(yīng)用,不僅能夠起到化繁為簡的作用,還可達(dá)到化難為易的目的。
一、解決方程式問題
雖然函數(shù)和方程是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念,但兩者間又有緊密的聯(lián)系。如果函數(shù)可用解析式表達(dá),那么表達(dá)式可看成是一個(gè)方程。如果二元方程的兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系為對應(yīng)關(guān)系,且對應(yīng)關(guān)系是單值的,則可將方程看成函數(shù)。由此可見,解決方程式問題時(shí),可運(yùn)用函數(shù)思想。
例1.已知實(shí)數(shù)a,b,且滿足方程lg(lg3a)=lg(2-b)+lg(b+1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析:可以把a(bǔ)看成是b的函數(shù),原方程就變成函數(shù)式,從而將該問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域。
解:因?yàn)閘g(3a)=(2-b)(b+1)
所以a=3(2-b)(b+1)(-1
所以b∈(1,)
例2.若關(guān)于a的方程25-| a+1|-4×5-| a+1|-x=0有實(shí)根,求x的取值范圍。
分析:將方程中的變量a看成自變量,常數(shù)x作為自變量a的函數(shù),方程就變成函數(shù)式,從而將該問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域。
解:設(shè)m=5-|a+1|,則x=m2-4m,其中m∈(0,1]
所以,x=(m-2)2-4∈[-3,0)。
二、解決不等式問題
例1.若f(a)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),對一切p,q∈(0,+∞)都有f()=f(p)-f(q),且f(4)=1.解不等式f(a+6)-f()>2。
解:因?yàn)閒()=f(p)-f(q),且f(4)=1,
所以f(a+6)-f()推出f(a+6)-f()>2f(4)推出f(a2+6a)-f(4)
推出f()>f(4)。
又由于f(a)是(0,+∞)上的減函數(shù),因此
所以原不等式解集為(0,2)
例2.設(shè)f(a)是定義在(-∞,3]上的減函數(shù),已知f(m2-sina)≤
f(m+1+cos2a)對于a∈R恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
解:原式等價(jià)于m+1+cos2a≤m2-sina≤4對a∈R恒成立,等價(jià)于m2≤3+sina,①,m2-m≥1+cos2a+sina,②,對a∈R恒成立。
令x(a)=3+sina,則①對a∈R恒成立,就等價(jià)于m2≤x(a)的最小值是2,③
令P(a)=1+cos2a+sina=-(sina-)2+≤。
則②對a∈R恒成立,等價(jià)于m2-m≤。④
由③、④可知,所有實(shí)數(shù)m的取值范圍為[一,]。
三、解決化簡求值問題
例1.若p,q是實(shí)數(shù),且x>+2+,化簡|1-2x|++.
解:因?yàn)閒(y)++2+的定義域?yàn)閧1},
所以,x>。
所以,原式=2x-1+x+1+x+2=4x+2。
例2.已知(p+2q)5+p5+2p+2q=0,求p+q的值。
解:原方程可變?yōu)椋╬+2q)5+(p+2q)=-(p5+p),①
設(shè)f(x)=p5+p,那么f(x)在R上是奇函數(shù)且為增函數(shù)。
①式可變成f(p+2q)=-f(p),即f(p+2q)=f(-p)
所以,p+2q=-p,
所以,p+q=0。
四、解決應(yīng)用試題
例1.在aOb平面上給以曲線b2-2a=0,設(shè)點(diǎn)Z坐標(biāo)為(,0),求曲線上距點(diǎn)Z最近點(diǎn)W的坐標(biāo)和相應(yīng)距離WZ。
解:設(shè)W(a,b)為曲線上任意一點(diǎn),則b2=2a(a≥0),
則WZ2=(a-)2+b2=(a+)2+.
因?yàn)閍≥0
所以a=0時(shí),WZ有最小值,此時(shí)W點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)。
【總結(jié)】
通過上述幾類數(shù)學(xué)問題的解答來看,函數(shù)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用十分廣泛,解方程、不等式、化簡求值和應(yīng)用試題等均用到了函數(shù)思想,由此可見,函數(shù)思想是數(shù)學(xué)最常見也是最重要的一種思想。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,要認(rèn)認(rèn)真真地掌握函數(shù)思想的相關(guān)知識(shí),并能夠運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題,不斷總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn),提高自身解決問題的能力。
參考文獻(xiàn):
[1]馬驥.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用[J].教育界:基礎(chǔ)教育研究,2015(02):119-120.
[2]穆中華.例談高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用[J].課程教育研究,2015(18):147.
[3]丁亞萍.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析[J].高中數(shù)理化,2014(24):13.
作者簡介:趙遠(yuǎn)揚(yáng),男,高中數(shù)學(xué)教師,單位:豐縣廣宇中英文學(xué)校。
編輯 張珍珍