安徽省蚌埠市第五中學(xué)

支 軍 (郵編：233000)

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從一道習(xí)題談起

安徽省蚌埠市第五中學(xué)

支 軍 (郵編：233000)

先看一道習(xí)題：

若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：

(i)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切;(ii)曲線C在P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點P處“切過”曲線C.

下列命題正確的是______(寫出所有正確命題的編號)

以下是筆者對本題的研究和思考：

本題實質(zhì)是中心對稱函數(shù)的一個性質(zhì)，即：如果函數(shù)y=f(x)關(guān)于點P(x0,y0)對稱且在點P(x0,y0)處連續(xù)且可導(dǎo)，則函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(x0,y0)處的切線一定“切過”y=f(x)的圖象.由此性質(zhì)易知本題選①③④.

但進一步引起筆者思考的是如何快速找到一些中心對稱函數(shù)的對稱中心.為此筆者進行了如下探究：

首先，我們來探究，原函數(shù)對稱時，導(dǎo)函數(shù)的對稱性如何？

若函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱且可導(dǎo)，則f(x)=f(2a-x).

根據(jù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)易得：f′(x)=-f′(2a-x)，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于點(a,0)對稱.

同理可得：若函數(shù)f(x)關(guān)于點(h,k)對稱且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線x=h對稱.

因此，我們得到如下結(jié)論：

定理1 若函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于點(a,0)對稱.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(h,k)對稱且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線x=h對稱.

推論 若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)為奇函數(shù)；若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù).

下面我們來探究導(dǎo)函數(shù)對稱時，原函數(shù)的對稱性如何.

若導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線x=a對稱，則f′(x)=f′(2a-x).所以

∫f′(x)dx=∫f′(2a-x)dx，

故f(x)+c=-f(2a-x)+d.

而當(dāng)f′(x)關(guān)于點(h,k)對稱時，有

f′(x)=2k-f′(2h-x)，

故∫f′(x)dx=∫[2k-f′(2h-x)]dx，

所以f(x)+c=2kx+f(2h-x)+d.

可見，此時原函數(shù)f(x)不一定關(guān)于直線對稱.例如，三次函數(shù)都是中心對稱的，而四次函數(shù)中f(x)=x4是關(guān)于x=0對稱的；f(x)=x4-3x3+2x卻不是軸對稱的(如圖).

因此，我們得到如下結(jié)論：

利用上述結(jié)論我們可以得到對三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的對稱中心的新求法.

2016-09-21)