安徽省寧國(guó)中學(xué)

陳曉明 (郵編：242399)

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對(duì)一道直線(xiàn)方程試題的探究

安徽省寧國(guó)中學(xué)

陳曉明 (郵編：242399)

這是筆者所在學(xué)校(省級(jí)示范高中)一道高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題，這是一道填空題，考場(chǎng)上此題一部分同學(xué)答案是3，而另一部分同學(xué)答案是4．于是在試卷講評(píng)課上筆者帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)該題解法一探究竟，以求找到不同答案產(chǎn)生的原因，掌握此類(lèi)問(wèn)題解題策略．結(jié)果同學(xué)們爭(zhēng)論不休，課堂上精彩紛呈，生成不斷，帶來(lái)好多意外收獲！

為了保持課堂的原汁原味，還是先回到課堂．

1 課堂實(shí)錄

首先在黑板上展示題目：

接下來(lái)教師讓學(xué)生充分思考，動(dòng)筆去解，老師在學(xué)生中巡視……

教師：誰(shuí)來(lái)談?wù)勀愕目捶ǎ?/p>

平時(shí)一直是心直口快的張同學(xué)首當(dāng)其沖．

學(xué)生1(解法1：幾何法)：我的答案是4．我是通過(guò)畫(huà)圖來(lái)獲得答案的．我覺(jué)得作為填空題用代數(shù)法太耗時(shí)了，不劃算．

圖1

圖2

令直線(xiàn)l的斜率為k(顯然直線(xiàn)l的斜率存在)，

如圖1，當(dāng)k<0時(shí)，有兩種可能．

如圖2，當(dāng)k>0時(shí)，有兩種可能．

因此共有4種可能，即這樣的直線(xiàn)有4條．

許多學(xué)生表示支持，說(shuō)自己當(dāng)時(shí)也是這么做的．

就在這時(shí)，數(shù)學(xué)課代表說(shuō)話(huà)了．

學(xué)生2(解法2：代數(shù)法)：我用的是代數(shù)法，答案是3．

所以關(guān)于k的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根．

由(1)，(2)可知，k只有3個(gè)值，因此滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)應(yīng)該有3條．

教師：兩位同學(xué)分別用幾何法和代數(shù)法獲得了答案，很好！數(shù)學(xué)家華羅庚告訴我們“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微”，這句話(huà)充分肯定了數(shù)形結(jié)合的完備性，可是，今天“數(shù)”和“形”要“打架”了！問(wèn)題出在哪兒呢？答案到底是3條還是4條？

“一石激起千層浪”，班上像炸開(kāi)了鍋，同學(xué)們陷入一片迷茫！分不清“哪個(gè)是孫悟空，哪個(gè)是六耳獼猴”？大家議論紛紛，爭(zhēng)論不休……

過(guò)了好一會(huì)兒，班長(zhǎng)站起來(lái)主持“公道”了．

學(xué)生3：我覺(jué)得答案應(yīng)該是3條．

當(dāng)k>0時(shí)，應(yīng)該有2條，這個(gè)沒(méi)有爭(zhēng)議．

教師：厲害！那如果我們把4改為其它正數(shù)，答案又怎樣？

班上同學(xué)們馬上投入積極思考、計(jì)算中……課堂一片安靜！

這時(shí)，平時(shí)不太愛(ài)說(shuō)話(huà)的劉同學(xué)也被課堂氣氛感染了，他也舉手了．

學(xué)生4：我想起了我們前不久做過(guò)的一道題．

圖3

我們當(dāng)時(shí)還用了兩種方法解．

因此k<0時(shí)，因?yàn)楸绢}中△AOB的面積的值為最小值4，故只有一條．k<0時(shí)，若△AOB的面積為小于4的正數(shù)時(shí)直線(xiàn)就沒(méi)有，面積為大于4的正數(shù)時(shí)直線(xiàn)就有2條．

(對(duì)于該引例的進(jìn)一步研究請(qǐng)參閱筆者發(fā)表在《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》2015年第11期上的文章《關(guān)注新問(wèn)題的生成，反思試卷講評(píng)課的有效性》)

教師：你太聰明了！你真是不鳴則已，一鳴驚人！

內(nèi)斂的劉同學(xué)高興極了．

看到別人的成功，其余同學(xué)也都躍躍欲試．

班上有名的數(shù)學(xué)王子好像有了發(fā)現(xiàn)．

學(xué)生5：這題與課本上的一道題幾乎完全相同，只是數(shù)字改變而已．

教師：縱觀(guān)幾十年的高考試題，信手可得到許多高考試題也來(lái)源于課本教材．教材中的例題習(xí)題具有典型性，示范性，同時(shí)也滲透著一些數(shù)學(xué)思想方法或提供某些結(jié)論．因此，以本為本，重視對(duì)教材中的例題習(xí)題的深入探究，是提高高考復(fù)習(xí)有效性的最佳捷徑．另外，錯(cuò)解是寶，我們對(duì)錯(cuò)解仔細(xì)研究，就會(huì)撥開(kāi)云霧見(jiàn)天日，洞察真相，認(rèn)清本質(zhì)．

學(xué)生心中的疑團(tuán)解開(kāi)了，個(gè)個(gè)露出滿(mǎn)意的笑容，眼前豁然開(kāi)朗起來(lái)！

就在我準(zhǔn)備鳴鑼收兵時(shí)，平時(shí)一向喜歡動(dòng)腦的小朱同學(xué)舉手了．

學(xué)生6：當(dāng)k>0時(shí)一定有2條嗎？

教師：提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要．那大家看看，誰(shuí)能從理論上證明這個(gè)結(jié)論嗎？

很快有人舉手了．

所以關(guān)于k的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根．所以此時(shí)直線(xiàn)有2條．

教師：很好，又是一個(gè)數(shù)形結(jié)合．同學(xué)們?cè)谡n后去研究一下k<0時(shí)的理論證明．

大家還能提出什么問(wèn)題？

學(xué)生8：k<0時(shí)△AOB的面積的最小值應(yīng)該與M點(diǎn)位置有關(guān)，有什么關(guān)系呢？

教師：對(duì)呀．這個(gè)問(wèn)題很好，△AOB的面積的最小值能用M點(diǎn)坐標(biāo)表示嗎？

在此結(jié)論留給讀者探究，不再贅述．(同樣可參閱前面提到的筆者的那篇論文)

教師：以后出現(xiàn)類(lèi)似題目，當(dāng)給出M點(diǎn)坐標(biāo)，我們就可判斷當(dāng)k<0，時(shí)△AOB的面積的最小值，從而可根據(jù)給的面積的值推斷直線(xiàn)有幾條了．當(dāng)然也可用前面的代數(shù)法．不能就通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)圖而輕易下結(jié)論，否則容易出錯(cuò)．

就在我話(huà)剛講完，學(xué)習(xí)委員迫不及待地舉手了．

學(xué)生9：老師，您說(shuō)的有些不對(duì)．上述結(jié)論只有當(dāng)M點(diǎn)位于第I，III象限時(shí)成立，此時(shí)只有當(dāng)k<0時(shí)，△AOB的面積能取最小值．如果當(dāng)M點(diǎn)位于第II，IV象限時(shí)，只有k>0時(shí)，△AOB的面積能取最小值．

教師：高手！你比老師我還強(qiáng)！真是“青出于藍(lán)勝于藍(lán)”，我還真沒(méi)想到．(此時(shí)課堂響起了掌聲！)

接下來(lái)又有同學(xué)提出了一些問(wèn)題，大家一同進(jìn)行了研究．

教師：大家由此題的研究得到什么啟示？

學(xué)生七嘴八舌，概括起來(lái)主要是下面幾點(diǎn)：

①所研究問(wèn)題與以前的哪些問(wèn)題相類(lèi)似，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是什么？

②解題的關(guān)鍵在哪里？是如何化歸的？

③本題是否有別的解法？有無(wú)更好的解法？

④哪一種方法最基本、最典型？哪一種最簡(jiǎn)便？哪一種最巧妙?

⑤解題結(jié)果是否正確、圓滿(mǎn)？有無(wú)增、漏、錯(cuò)等情況？

⑥命題的逆命題是否成立？此命題能否進(jìn)行變式、引申和拓展？

⑦解題中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？以前是否運(yùn)用過(guò)這些數(shù)學(xué)思想方法？有何聯(lián)系與區(qū)別？是否具有規(guī)律性？

此時(shí)下課鈴聲響起！

我看到了學(xué)生臉上的表情：驚嘆之余，有些不舍和遺憾！

2 教學(xué)思考

“燈不挑不明，理不辯不清”，我們教師要充分利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，給學(xué)生多一些思考，多一些爭(zhēng)論．要充分相信學(xué)生，不能只按照自己事先想好的思路來(lái)教學(xué)，否則就會(huì)限制學(xué)生的思維，強(qiáng)扭學(xué)生的思維.題目剛出來(lái)就先進(jìn)行提示或分析，那樣做會(huì)扼殺學(xué)生的自主思維能力，剝奪學(xué)生的自由創(chuàng)造空間．在學(xué)生還沒(méi)來(lái)得及思考的時(shí)候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對(duì)他們思維能力的形成是個(gè)不小的打擊．

離開(kāi)了學(xué)生的“自主活動(dòng)”、“智力參與”、“個(gè)人體驗(yàn)”就沒(méi)有真正的學(xué)習(xí)了．把課堂還給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生積極思維，讓每位學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的世界里自由地翱翔，向習(xí)題課教學(xué)要效益，通過(guò)問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，讓每位學(xué)生主動(dòng)、積極地參與教學(xué)．當(dāng)然，要做到這點(diǎn)，首先教師對(duì)習(xí)題的本身要有深入的研究；其次，對(duì)學(xué)生的課堂參與要給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo)．把課堂還給學(xué)生，注意傾聽(tīng)他們的聲音，點(diǎn)燃他們思維之火．

到這里，我想起葉瀾教授曾說(shuō)：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線(xiàn)而沒(méi)有激情行程．”

3 結(jié)束語(yǔ)

陶哲軒在《解題·成長(zhǎng) ·快樂(lè)》序言中引用古希臘哲學(xué)家普羅克洛斯的話(huà)：“這，就是數(shù)學(xué)：她提醒你靈魂有不可見(jiàn)的形態(tài)；她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命；她喚醒悟性,澄清思維；她照亮了我們內(nèi)心的思想；她滌盡我們有生以來(lái)的蒙昧與無(wú)知……” .筆者以此與各位同仁共勉！在數(shù)學(xué)中讓我們永遠(yuǎn)帶著探尋的目光審視眼前的一切，一定會(huì)有驚喜出現(xiàn)！

1 劉飛．2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第16題的探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(4)：43

2 陳曉明．我教書(shū)，我寫(xiě)作，我快樂(lè)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2016(5)：39

3 張曉東．說(shuō)題與數(shù)學(xué)青年教師的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(3)：67

2016-10-09)