陳俊霖, 趙曉波, 王小劼

( 1． 中央財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100081; 2． 清華大學(xué)工業(yè)工程系, 北京 100084)

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一類考慮反S型概率權(quán)重的供貨中斷庫存模型①

陳俊霖1, 趙曉波2, 王小劼2

( 1． 中央財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100081; 2． 清華大學(xué)工業(yè)工程系, 北京 100084)

在連續(xù)盤點(diǎn)庫存系統(tǒng)中應(yīng)用零點(diǎn)訂貨庫存(ZIO)策略,假設(shè)供應(yīng)商工作和中斷的持續(xù)時間分別服從獨(dú)立的指數(shù)分布.首先,引入反S型權(quán)重函數(shù)刻畫風(fēng)險厭惡型決策者主觀高估補(bǔ)貨點(diǎn)供應(yīng)商處于中斷的小概率關(guān)鍵事件的行為偏好.其次,利用兩個狀態(tài)連續(xù)時間Markov鏈和更新報酬定理構(gòu)建了長程平均成本模型,證明了成本函數(shù)的單峰性, 對比討論了結(jié)合數(shù)值算例與風(fēng)險中性模型結(jié)論.最后,設(shè)計了近似條件得出最優(yōu)訂貨量的解析表達(dá)式及成本的近似誤差上界,配合基準(zhǔn)集和隨機(jī)數(shù)據(jù)集分別計算了160組和10 000組數(shù)值實(shí)驗(yàn)樣本,驗(yàn)證了近似方法的有效性.

供貨風(fēng)險; 風(fēng)險厭惡; 反S型權(quán)重; 庫存

0 引 言

行為運(yùn)作管理作為新興學(xué)科近年來已成為學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)[13]. 一些學(xué)者將決策者的風(fēng)險態(tài)度引入經(jīng)典的庫存模型, 并論證修正的庫存模型可更好地指導(dǎo)決策. Merzifonluoglu[14]采用均值-方差效用函數(shù)構(gòu)建了風(fēng)險厭惡偏好下的報童模型，并分析了它對最優(yōu)訂貨量的影響. Giri[15]采用指數(shù)效用函數(shù)刻畫零售商的風(fēng)險態(tài)度, 在雙渠道單期庫存系統(tǒng)中分析零售商的最優(yōu)常規(guī)訂貨量和最優(yōu)應(yīng)急預(yù)定量. Chen等[16]基于周期性盤點(diǎn)庫存系統(tǒng), 刻畫了指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)庫存(定價)結(jié)構(gòu)策略. 簡惠云和許民利[17]通過設(shè)計實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)論證了零售商具有顯著的風(fēng)險規(guī)避或風(fēng)險尋求特征, 風(fēng)險態(tài)度可用CVaR效用函數(shù)進(jìn)行刻畫. 代建生等[18]分析了銷售商的風(fēng)險規(guī)避偏好對回購契約實(shí)施的影響. 王麗梅等[19]采用均值-方差效用函數(shù)分析現(xiàn)貨供應(yīng)不確定條件下, 風(fēng)險厭惡型的銷售商的庫存優(yōu)化策略. 于輝等[20]建立了CVaR下的供應(yīng)商-零售商收益共享契約以分析供應(yīng)鏈應(yīng)急恢復(fù)優(yōu)化策略. 以上均為從量級(magnitude)的角度構(gòu)建引入風(fēng)險態(tài)度的庫存管理模型.

另一方面, 風(fēng)險發(fā)生的概率(probability)也是隨機(jī)中斷環(huán)境的關(guān)鍵要素. 如Ellis等[21]在調(diào)查了223名買方后所指出, 供貨中斷風(fēng)險的量級與發(fā)生概率均為買方衡量賣方總體可靠性的兩個重要方面. Kahneman和Tversky[22]的研究表明決策者的風(fēng)險態(tài)度在發(fā)生概率上亦有明顯的表現(xiàn). 損失發(fā)生的小概率事件通常被主觀高估, 大概率事件被主觀低估, 因此權(quán)重函數(shù)曲線呈現(xiàn)反S型的特點(diǎn)(圖1). 從風(fēng)險發(fā)生概率的角度研究風(fēng)險態(tài)度下的庫存管理問題并不多見. Ranjan和Shogren[23]發(fā)現(xiàn)主觀放大的損失概率將導(dǎo)致水資源供給大打折扣. 陳俊霖和趙曉波[24]指在供需雙方或一方具有反S權(quán)重風(fēng)險態(tài)度時, 批發(fā)價格合同可使供應(yīng)鏈在雙方均有激勵動機(jī)下達(dá)到協(xié)調(diào). Chen等[25]通過仿真實(shí)驗(yàn)討論了反S權(quán)重函數(shù)在連續(xù)盤點(diǎn)庫存系統(tǒng)中的應(yīng)用.

本文基于隨機(jī)供貨中斷環(huán)境下的連續(xù)盤點(diǎn)庫存系統(tǒng), 考察在補(bǔ)貨點(diǎn)發(fā)生供貨中斷的小概率關(guān)鍵事件對最優(yōu)定貨決策以及庫存系統(tǒng)運(yùn)行的影響. 本文采用Prelec[26]反S型權(quán)重函數(shù)刻畫決策者風(fēng)險厭惡偏好, 構(gòu)建零點(diǎn)訂貨庫存策略下的成本優(yōu)化模型, 證明了最優(yōu)訂貨決策的惟一性并提出了其近似解析解. 通過與風(fēng)險中性模型進(jìn)行對比分析, 描述了風(fēng)險厭惡行為偏好下系統(tǒng)最優(yōu)訂貨量以及成本的偏差情況.

圖1 反S型權(quán)重函數(shù)示意圖

1 模型構(gòu)建與分析

考慮一個連續(xù)盤點(diǎn)庫存系統(tǒng). 生產(chǎn)商從供應(yīng)商處訂貨并供給需求客戶. 供應(yīng)商面臨供貨中斷風(fēng)險, 其正常工作(狀態(tài)0)和供貨中斷(狀態(tài)1)的持續(xù)時間分別服從參數(shù)為λ和μ的指數(shù)分布. 以Xi為第i-1次中斷結(jié)束后直到第i次中斷發(fā)生時, 供應(yīng)商已持續(xù)工作的時間, 則Xi的密度函數(shù)為f1(xi)=λe-λxi; 以Si為第i次中斷持續(xù)的時間, 則Si的密度函數(shù)為f0(si)=μe-μsi. 采用兩狀態(tài)連續(xù)時間馬爾科夫鏈描述供應(yīng)商的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程. 設(shè)βij(t)為供應(yīng)商從狀態(tài)i經(jīng)過時間t(≥0)后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率,i,j=0或1, 則根據(jù)Kolmogorov Forward 等式[27], 有

(1)

(2)

設(shè)生產(chǎn)商單次訂貨成本為K,單位產(chǎn)品單位時間的持貨成本為h. 當(dāng)系統(tǒng)庫存水平不為0時, 按速率D滿足用戶需求, 一旦庫存水平降到0, 生產(chǎn)商則訂取批量為Q的產(chǎn)品. 若供應(yīng)商處于工作狀態(tài), 貨物瞬時到達(dá),提前期為0; 若供應(yīng)商處于中斷狀態(tài), 則訂單要待供應(yīng)商處于工作狀態(tài)時才可完成, 在此等待期間, 未滿足的用戶每單位產(chǎn)品需求損失成本為π. 據(jù)上述描述可知, 生產(chǎn)商庫存的變化過程是隨訂貨重復(fù)進(jìn)行的, 將庫存到達(dá)Q的兩次相鄰訂貨期視為1個周期, 用T表示.圖2描述了供應(yīng)商的狀態(tài)和庫存水平隨時間變化的樣本過程.

圖2 供應(yīng)商狀態(tài)和庫存水平隨時間變化示意圖

在1個周期內(nèi), 庫存水平從期初(t=0)Q逐漸以D速率下降, 在時刻點(diǎn)t=Q/D到達(dá)0點(diǎn). 根據(jù)周期的定義,期初t=0供應(yīng)商均為正常工作狀態(tài), 當(dāng)t=Q/D時, 供應(yīng)商無法供貨的概率為β01(t=Q/D). 因供應(yīng)商工作和中斷時間服從獨(dú)立的指數(shù)分布, 故單個周期長度T的概率密度函數(shù)[5-6]為

(3)

通常, 供應(yīng)商發(fā)生中斷為小概率事件, 供應(yīng)商正常工作持續(xù)的時間比其供貨中斷的時間更長, 因此可假設(shè)λ<μ, 并且, 可假設(shè)訂貨時刻點(diǎn)供應(yīng)商無法供貨概率β01(t=Q/D)<1/e. 這里, 1/e為Prelec[26]提出的單參數(shù)概率權(quán)重函數(shù)不動點(diǎn). 如圖1所示, 風(fēng)險厭惡型決策者主觀高估小于1/e的小概率損失，對于大于1/e的大概率事件則主觀低估. 由于本文討論風(fēng)險厭惡型決策者對訂貨時刻點(diǎn)供應(yīng)商無法供貨的小概率主觀放大的行為,因此僅考慮β01≤1/e的部分. Prelec[26]單參數(shù)權(quán)重函數(shù)形式為

w01(β01)=e-(-lnβ01)γ, 0<γ≤1

(4)

式中參數(shù)γ描述決策者風(fēng)險厭惡程度,γ越大, 風(fēng)險厭惡程度越低,γ=1表示決策者風(fēng)險中性,即w01=β01.

根據(jù)等級依賴效用理論(rank-dependent expected utility theory)[28], 可得風(fēng)險厭惡型決策者的主觀概率為

w01(Q/D)=e-(-lnβ01(Q/D))γ

(5)

w00(Q/D)=1-e-(-lnβ01(Q/D))γ

(6)

以下為了簡化表述,將β01(Q/D),w01(Q/D)分別簡稱為β0(Q),w0(Q).

以E(C)表示1個周期內(nèi)生產(chǎn)商發(fā)生的庫存總成本期望的主觀效用值, 包括1次訂貨成本K、庫存持貨成本hQ2/(2D)、以及可能發(fā)生缺貨成本πDw0(Q)/μ, 因此

1個周期T期望時間為總的工作時間加等待時間的期望. 總的工作時間為Q/D, 等待時間期望可由單個周期長度T的概率密度函數(shù)加權(quán)平均求得. 由式(3)知,周期長度T的概率密度函數(shù)依賴于決策者對t=Q/D時刻供應(yīng)商無法供貨的概率判斷, 因此, 引入主觀周期長度T′,易得T′的概率密度函數(shù)為

(7)

據(jù)此, 周期長度T′期望值E(T′)=Q/D+w0(Q)/μ. 根據(jù)更新報酬定理可知, 系統(tǒng)長期運(yùn)行平均成本等于單個周期的期望成本與單個周期期望時間長度之比. 令gs為系統(tǒng)長期運(yùn)行平均成本函數(shù), 則

(8)

考慮極端的情況. 若供應(yīng)商十分可靠, 參數(shù)λ<<μ, 或λ/μ→0; 此時式(8)中成本函數(shù)gs(Q),收斂為經(jīng)典的EOQ成本函數(shù), 記為gE(Q), 如命題1所示.

證明略.

命題2 在β0(Q)∈[0,1/e條件下,w0(Q)是關(guān)于Q(>0)的增凹函數(shù); 給定Q(>0), 以參數(shù)γ(0<γ≤1)為變量, 則w0是關(guān)于γ(0<γ≤1)的減函數(shù).

命題3 在Q>0,gE(Q)<πD的條件下,gs(Q)是關(guān)于w0(Q)的增函數(shù); 給定Q(>0), 以參數(shù)γ(0<γ≤1)為變量,則gs是關(guān)于γ(0<γ≤1)的減函數(shù).

參數(shù)γ描述決策者風(fēng)險厭惡程度,γ越大, 風(fēng)險厭惡程度越低. 因此, 由命題2, 命題3可知, 在同等訂貨量Q(>0)的條件下,風(fēng)險厭惡程度越高(γ越小)的決策者認(rèn)為訂貨時刻點(diǎn)供應(yīng)商無法供貨的概率w0(Q)越大, 從而感知的成本gs(Q)越高. 這一結(jié)論是符合直觀的.

2 模型近似

令g(Q)表示近似條件下的系統(tǒng)長期運(yùn)行平均成本函數(shù), 則

(9)

在近似條件下, 系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨量以及系統(tǒng)最小成本如命題5所示.

近似成本函數(shù)g(Q)的凸性為求取最優(yōu)訂貨量Q*的解析表達(dá)式提供了便利.化簡Q*可得

近似方法可以在一定程度上提供滿意的優(yōu)化決策, 其近似解的精確性對決策效果的影響也是不容忽視的. 進(jìn)一步探討最優(yōu)訂貨量以及系統(tǒng)成本的近似誤差.采用近似成本函數(shù)與原成本函數(shù)之差, 除以原成本函數(shù)歸一化得到近似誤差比值. 通過近似誤差比值分析成本函數(shù)近似的精確程度, 分析結(jié)論如命題6所示.

(b)在Q>0,gs(Q)<πD的條件下, 有

g(Q)≥gs(Q);

3 數(shù)值分析

圖關(guān)于γ的變化趨勢

參數(shù)1/λ表示1個周期內(nèi)供應(yīng)商正常供貨期望時間,μ/λ表示1個周期內(nèi)正常供貨期望時間與供貨中斷期望時間的比值. 可以認(rèn)為, 較大的λ表示供應(yīng)商更易發(fā)生中斷; 在給定λ的條件下, 較大的μ/λ表示供應(yīng)商的恢復(fù)能力更強(qiáng). 也即是,λ表示供應(yīng)商的可靠性,λ越大, 可靠性越差,μ/λ表示供應(yīng)商的敏捷性,μ/λ越大, 敏捷性越強(qiáng), 可靠性和敏捷性從兩個角度綜合反映了供應(yīng)商的供貨能力.

從可靠性的角度, 如圖4所示, 在μ/λ=5的條件下,隨著λ的增加, 風(fēng)險中性決策者(risk neutral, 以下簡稱N)的最優(yōu)訂貨量先增加后下降, 風(fēng)險厭惡型決策者(risk averse, 以下簡稱A)則訂貨量保持下降趨勢, 由此可見, 系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨量大小與系統(tǒng)的可靠性無單調(diào)關(guān)系, 可靠性越差的系統(tǒng)1個周期內(nèi)的最優(yōu)訂貨量水平可能會越低. 兩類決策者的最優(yōu)訂貨量偏差在λ較小的區(qū)域差異較大, 而隨著λ的增加, 差異逐漸縮小, 表明決策者的風(fēng)險態(tài)度在供貨中斷發(fā)生不太頻繁的系統(tǒng)下對最優(yōu)庫存決策影響較大, 與理性最優(yōu)決策出現(xiàn)較大偏差.

圖4 最優(yōu)訂貨量與系統(tǒng)成本關(guān)于可靠性λ的變化趨勢(μ/λ=5)

圖5 最優(yōu)訂貨量與系統(tǒng)成本關(guān)于敏捷性μ/λ的變化趨勢

結(jié)合圖4與圖5, A型決策者與N型決策者最優(yōu)訂貨量差異比隨著λ增大而減小, 隨著μ/λ增大而增大. 決策者的風(fēng)險態(tài)度對其最優(yōu)決策以及系統(tǒng)的運(yùn)行成本有顯著影響. 因此, 在構(gòu)建庫存優(yōu)化模型時, 尤其針對供應(yīng)商供貨中斷風(fēng)險發(fā)生頻率較低, 但恢復(fù)正常工作較強(qiáng)的這類系統(tǒng), 需對決策者的風(fēng)險態(tài)度進(jìn)行著重區(qū)別分析.

進(jìn)一步討論缺貨成本π對最優(yōu)訂貨量以及系統(tǒng)成本的影響. 如圖6所示, A型與N型決策者的系統(tǒng)成本均隨著缺貨成本的增加而增加. 從最優(yōu)訂貨量的角度, N型決策者最優(yōu)訂貨量決策對缺貨成本的變化較為敏感. A型決策者最優(yōu)訂貨量在缺貨成本較小時增加速度較快, 而后逐漸趨于平穩(wěn), A型決策者最優(yōu)訂貨量僅在缺貨成本較小的區(qū)域較為敏感, 而在較大的區(qū)域范圍內(nèi)不敏感.

圖6 最優(yōu)訂貨量與系統(tǒng)成本關(guān)于缺貨成本π的變化趨勢

圖7描述了持貨成本h的變化對最優(yōu)決策和系統(tǒng)成本的影響. A型決策者與N型決策者的最優(yōu)訂貨量和成本關(guān)于h的變化趨勢相似. 隨著持貨成本的增加, 最優(yōu)訂貨量逐漸減小, 系統(tǒng)成本逐漸增加. 在較小的h范圍內(nèi), 減小或增加的速度較快, 而在較大的h范圍內(nèi), 變化速度較慢. 表明最優(yōu)訂貨量與系統(tǒng)成本對于持貨成本h較小時較為敏感.

圖7 最優(yōu)訂貨量與系統(tǒng)成本關(guān)于持貨成本h的變化趨勢

圖8 系統(tǒng)近似成本g與精確成本函數(shù)gs

圖及其上界關(guān)于Q的變化趨勢圖

表1 成本函數(shù)近似誤差

表2 最優(yōu)訂貨量近似誤差

進(jìn)一步設(shè)計大規(guī)模數(shù)值實(shí)驗(yàn)考察近似方法的精確性, 設(shè)置基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集和隨機(jī)數(shù)據(jù)集兩類仿真數(shù)據(jù)集. 基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集在給定數(shù)據(jù)下進(jìn)行組合計算, 隨機(jī)數(shù)據(jù)集為在一定范圍內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)取值計算. 基準(zhǔn)集和隨機(jī)數(shù)據(jù)的配合有效地增加了樣本量并保證了樣本取值范圍的廣度. 兩類數(shù)據(jù)樣本量分別為160組和10 000組. 基準(zhǔn)集參數(shù)h,K,π,和D的取值如表3所示,λ=(0.5,1,2,4),μ=(2λ, 4λ, 8λ, 16λ). 在隨機(jī)組中,設(shè)D=100,K～[0, 10 000],h～[0,100]. 為保證缺貨成本大于持貨成本(π≥h), 設(shè)置π～[h,1 000]. 計算通過MATLAB模塊進(jìn)行.

表3 基準(zhǔn)集參數(shù)

表4 成本函數(shù)近似誤差及其誤差上界

6 結(jié)束語

本文在連續(xù)盤點(diǎn)庫存系統(tǒng)中, 討論風(fēng)險厭惡者主觀高估補(bǔ)貨點(diǎn)發(fā)生供貨中斷的小概率關(guān)鍵事件對最優(yōu)決策以及系統(tǒng)成本的影響. 利用兩個狀態(tài)連續(xù)時間Markov鏈和更新報酬定理構(gòu)建了長程平均成本模型, 證明了最優(yōu)訂貨決策的惟一性. 進(jìn)一步, 設(shè)計近似模型并得出最優(yōu)訂貨量的近似解析解, 并分析了近似解的精確度,給出了近似成本誤差理論上界.

與風(fēng)險中性模型進(jìn)行了對比討論，結(jié)果表明, 決策者的風(fēng)險厭惡偏好會增加系統(tǒng)運(yùn)行成本, 但通過提高訂貨量水平并不總是經(jīng)濟(jì)有效的. 對于風(fēng)險厭惡型決策者而言, 選擇比風(fēng)險中性決策者更低的訂貨量水平可能使得系統(tǒng)運(yùn)行成本更低. 此外, 風(fēng)險厭惡型決策者與風(fēng)險中性決策者對系統(tǒng)參數(shù)的敏感程度也體現(xiàn)出顯著差異. 例如, 風(fēng)險中性決策者最優(yōu)訂貨量對缺貨成本的變化較為敏感. 隨著缺貨成本的增加, 最優(yōu)訂貨量也相應(yīng)增加. 而風(fēng)險厭惡型決策者最優(yōu)訂貨量僅在缺貨成本較小的區(qū)域較為敏感, 而在較大的區(qū)域范圍內(nèi)不敏感.特別的, 對于供貨中斷風(fēng)險發(fā)生不頻繁, 但處理中斷敏捷性較差的這類系統(tǒng), 決策者的風(fēng)險厭惡態(tài)度對最優(yōu)訂貨量和系統(tǒng)成本的影響較大.

本文基于缺貨不補(bǔ)的庫存策略討論決策者風(fēng)險態(tài)度, 后續(xù)可進(jìn)一步針對缺貨回補(bǔ)的庫存策略進(jìn)行討論. 另外, 本文聚焦于小概率高量級的風(fēng)險主觀性, 供應(yīng)鏈面臨的風(fēng)險遠(yuǎn)不僅如此, 頻繁發(fā)生或量級低的風(fēng)險對庫存管理的影響也有待考察.

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Inventory model with inverse S-shaped probability weighting in presence of supply disruptions

CHENJun-lin1,ZHAOXiao-bo2,WANGXiao-jie2

1. School of Management Science and Engineering, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China;2. Department of Industrial Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China

This paper considers a continuous-review inventory system which applies zero-inventory-order (ZIO) replenishment policy and which is subject to supply disruption risk. The supplier’s available and disrupted durations are assumed to follow two independent exponential distributions. A risk-averse manager is likely to overweigh the probability that the supplier is unavailable when the inventory level reaches the reorder point. An inverse-S shaped weighting function is used to describe the manager’s risk-aversion behavior. The supplier’s state transition process is modeled by a two-state continuous-time Markov chain, and the long-run average cost function is constructed according to renewal reward theorems. It is proved that the negative cost function is a unimodal function and that there exists a uniquely optimal inventory order quantity. An approximation method along with an upper bound of the approximated cost function error is proposed which can give the analytic expression for the optimal order quantity. Numerical studies are presented to investigate the biases on optimal order quantities and system costs between risk-averse and risk-neutral managers. Also, with a sample size of 160 benchmark sets and 1 000 random sets, the validity of approximation method is illustrated.

supply disruption; inverse-S shaped weighting function; risk aversion; inventory

2014-12-09；

2016-03-07.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71401195； 71031005； 91324203)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金中央財經(jīng)大學(xué)科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計劃資助項(xiàng)目.

陳俊霖(1983—)， 女， 四川巴中人， 博士， 副教授. Email: chenjunlin@cufe.edu.cn

F253.4

A

1007-9807(2016)12-0059-12