吳 宏

（喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844006）

數(shù)學因其符號化、邏輯性和抽象性等特征，成為學生課程學習最畏懼的學科之一。那么怎樣才能實現(xiàn)學生數(shù)學素養(yǎng)養(yǎng)成目標？對此我們要理性、全面地分析數(shù)學知識的教學問題，摒棄靜態(tài)的知識觀，注重揭示知識的多重屬性，把握“知識的不確定性”和知識的結(jié)構(gòu)整體關(guān)聯(lián)性，特別是“知識的文化性和價值性”。[1]從而豐富數(shù)學知識的內(nèi)涵，拓展知識的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)作為規(guī)律系統(tǒng)和價值系統(tǒng)的知識意義，最終達成學習意義和目的的主體性回歸。但是，什么是數(shù)學文化？數(shù)學文化的價值及表現(xiàn)形式是什么？在厘清上述問題的基礎(chǔ)上，本文聚焦數(shù)學文化課程資源開發(fā)的重點問題，遵循相應的開發(fā)原則，選擇課程資源融入教學的有效路徑，落實文化視野的數(shù)學課程和教學改革；同時以數(shù)學文化視角，為認識數(shù)學知識的本質(zhì)提供系統(tǒng)方法，有利于落實文化視野下的數(shù)學課程和教學改革。

一、數(shù)學文化的界定

1.數(shù)學是一種文化現(xiàn)象

數(shù)學作為文化現(xiàn)象，取決于三個特性：首先，數(shù)學具有文化的本質(zhì)屬性，是人類實踐活動中創(chuàng)造的精神財富與物質(zhì)財富；其次，數(shù)學存在于符號行為的文化傳統(tǒng)之中，由外部進入個人意識，假如脫離文化傳統(tǒng)，就失去了存在意義；最后，數(shù)學文化形成和塑造了人們的生活并以各種不同方式作用于人，為其生活規(guī)定內(nèi)容和指引方向。20世紀下半葉，美國數(shù)學史學家克萊因（M.Kline）從數(shù)學與文化發(fā)展的角度，闡述了數(shù)學在人類文化中的作用，標志“數(shù)學文化”學科的勃興。1981年，懷爾德（R.L.Wilder）在《作為一種文化系統(tǒng)的數(shù)學》（Mathematics as a Culture System）一書中認為，“數(shù)學文化的發(fā)展已經(jīng)達到了一個較高的水平”，“構(gòu)成了一個相對獨立的文化系統(tǒng)”。[2]

2.數(shù)學是相對獨立的文化系統(tǒng)

數(shù)學作為相對獨立的文化系統(tǒng)，取決于數(shù)學抽象的內(nèi)容、量度與方法，以及數(shù)學共同體遵循的數(shù)學傳統(tǒng)。數(shù)學對象的形式抽象性是數(shù)學對象由“主觀思維創(chuàng)造”向“客觀獨立存在”轉(zhuǎn)化的合理解釋，表現(xiàn)出層次性和秩序性，有別于文學創(chuàng)作和自然科學等文化特性；數(shù)學對象“可能量化模式”決定了數(shù)學的抽象程度遠超自然科學達到的特殊高度；數(shù)學借助抽象方法，遵循直覺主義邏輯規(guī)則進行形式建構(gòu)，決定了結(jié)論具有超越個體的普遍性、確定性和意義性，為數(shù)學的自由創(chuàng)造提供可能性，實現(xiàn)了數(shù)學世界的無限豐富性。數(shù)學傳統(tǒng)是數(shù)學成為相對獨立文化系統(tǒng)的必要條件，作為共同體在數(shù)學的本質(zhì)和從事數(shù)學研究的基本問題上達成的共同認識——表現(xiàn)為總的觀念或信念，對數(shù)學共同體各成員研究活動重要的規(guī)范和啟示，包括核心思想、規(guī)范性成分和啟發(fā)性成分。隨著數(shù)學自身與人類文化的發(fā)展與進步，數(shù)學傳統(tǒng)必然有發(fā)展演變的過程，包含一定差異的高度一致性和不同于一般文化的多樣性。

3.數(shù)學文化的內(nèi)涵

關(guān)于數(shù)學文化的內(nèi)涵，辨析學界類似表述方式“數(shù)學的文化（Mathematical Culture）”至關(guān)重要?！皵?shù)學的文化”是偏正結(jié)構(gòu)，可理解與數(shù)學有關(guān)的文化，這種關(guān)于數(shù)學文化認識的表述有兩個偏差：一是將數(shù)學文化視為數(shù)學的精彩歷史花絮和點綴形式，是一種知識之外的有鑒賞價值的展品；二是將數(shù)學文化當作具有神秘色彩、民間或民族色彩的數(shù)學歷史片段。兩種認識都不能正確表現(xiàn)數(shù)學文化宏觀和概括的本質(zhì)屬性，即數(shù)學文化是以文化的角度對數(shù)學的研究，而不是研究作為文化的數(shù)學，數(shù)學文化呈現(xiàn)數(shù)學與文化相互影響與促進的關(guān)系，表明數(shù)學文化構(gòu)成數(shù)學發(fā)展“動力”和“規(guī)律”的相對獨立、動態(tài)和多元開放的文化系統(tǒng)。數(shù)學文化的“相對獨立性”源于“數(shù)學傳統(tǒng)”的核心地位；“動態(tài)”源于數(shù)學活動中人類精神創(chuàng)造過程以及諸因素相互作用的結(jié)果；“多元開放性”源于數(shù)學發(fā)展受到社會和文化因素影響。其中，數(shù)學文化內(nèi)涵中動態(tài)開放的屬性區(qū)別于數(shù)學知識體系的確定性和不變性。建構(gòu)這些知識體系的思維方式、思維結(jié)構(gòu)是多元開放的，“數(shù)學文化主要研究這些特點各異的思維結(jié)構(gòu)、認知方式，而不是知識體系”[3]。數(shù)學文化的外延不包括數(shù)學知識，但包括知識體系背后隱形存在的觀念；“數(shù)學文化探究的中心是數(shù)學規(guī)律和理論結(jié)構(gòu)形成過程中的文化背景及數(shù)學演化定型時對文明所施加的影響”[4]。

二、數(shù)學文化的價值

1.教育價值

數(shù)學文化的教育價值強調(diào)了教育的社會功能。“文化活動的目的是將數(shù)學學習者社會化到數(shù)學文化這一意義網(wǎng)絡(luò)之中，社會化的結(jié)果是學生能運用數(shù)學語言、數(shù)學方法及數(shù)學思維與數(shù)學的科學態(tài)度，在數(shù)學文化的意義網(wǎng)絡(luò)中自由交往，從而逐漸使數(shù)學文化所承載的文化精神根植于學習者的頭腦和社會整體文化中?！盵5]數(shù)學文化“整體性”的文化傳統(tǒng)特質(zhì)和文化傳統(tǒng)的自覺反思與批判，彰顯了數(shù)學文化的教育價值，即：“培養(yǎng)學生理性批判能力”的重要性；數(shù)學教育是“數(shù)學教育共同體”和“學習共同體”的自覺行動；培養(yǎng)學生溝通能力、容忍他人和欣賞別人的“多元文化”觀念；養(yǎng)成主動學習的精神和終身學習的理念；明確不同文化社群都可發(fā)展自己的數(shù)學形式，確立數(shù)學教育“平等性原則”。

2.教學價值

數(shù)學文化表達了廣泛意義下的數(shù)學觀念，超越了把數(shù)學視為科學知識和理論體系的單純科學主義觀念，“從數(shù)學的單純的科學性理解中擺脫出來，超越數(shù)學作為以本體論、認識論、方法論為主線的數(shù)學哲學觀念，把數(shù)學置于真實的歷史情境、文本語境、數(shù)學共同體，以及迅猛變革的現(xiàn)實社會文化背景之中，超越數(shù)學分支過度的專業(yè)化藩籬，從更為廣闊的視角去透視數(shù)學，領(lǐng)悟數(shù)學的社會意義和文化意義”[6]。數(shù)學文化促進了數(shù)學觀的轉(zhuǎn)變，對數(shù)學本質(zhì)的認識由靜態(tài)的絕對主義數(shù)學觀，轉(zhuǎn)向動態(tài)的經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學觀。教師的數(shù)學觀促進了數(shù)學教學觀的轉(zhuǎn)變，將“數(shù)學知識看成可以傳遞給學生的純客觀的東西，任何問題都必定存在唯一的正確解答和合理解題途徑，其正確與合理性取決于教師的裁決”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皠?chuàng)造性地使用教材，大力提倡學生的參與，對學生在學習過程中產(chǎn)生的錯誤采取較為容忍的態(tài)度，以師生的共同努力消除錯誤”。

3.課程價值

數(shù)學文化的課程價值表現(xiàn)在：課程目標的確立；課程主體內(nèi)容的拓展；課程形式的多樣化；課程評價的文化標準。首先，數(shù)學課程目標是學生數(shù)學知識和技能的習得，包括學會數(shù)學思維，培養(yǎng)獨立判斷能力，獲得豐富情感體驗，擁有高雅生活和審美情趣，培養(yǎng)健全人格。我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準》與《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》對數(shù)學文化內(nèi)涵的解讀，強調(diào)了數(shù)學文化的價值，以及對數(shù)學文化的關(guān)照。其次，數(shù)學文化增強數(shù)學課程的普及性與應用性。數(shù)學文化由物質(zhì)產(chǎn)品（數(shù)學命題、數(shù)學方法、數(shù)學問題和數(shù)學語言等）知識性成分和精神產(chǎn)品（數(shù)學思想、數(shù)學意識、數(shù)學精神和數(shù)學美等）觀念性成分組成。作為“物質(zhì)產(chǎn)品”的知識成分是數(shù)學課程內(nèi)容的主要來源，構(gòu)成課程的顯性成分，但忽視“精神產(chǎn)品”中與數(shù)學有關(guān)的文化現(xiàn)象。課程內(nèi)容的選擇，需要關(guān)照數(shù)學符號化、邏輯形式化背后的精神、思想等觀念的隱性成分。再次，數(shù)學課程重視學生的文化背景，將整個文化環(huán)境和日常生活用作課程的出發(fā)點。最后，課程主體內(nèi)容的拓展涉及課程從數(shù)學文化的“學術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化“教育形態(tài)”問題，考慮課程組織結(jié)構(gòu)、形式以及評價的多樣化。

三、數(shù)學文化的表現(xiàn)形式

1.數(shù)學與文化的互動

數(shù)學具備“模式科學”的高度抽象性，決定了數(shù)學應用涉及廣泛的社會生活；數(shù)學方法影響了經(jīng)濟學、社會學和教育學等研究與發(fā)展。運用數(shù)學對于客觀世界的研究，在定性基礎(chǔ)上，定量地描述客觀事物，準確地刻畫客觀事物及其變化。兩千多年前，古希臘人認為科學乃至文化的本質(zhì)就是數(shù)學，數(shù)學“量化”和“科學化”取向，增強了科學預見的可靠性和精確度，一些劃時代的科學理論成就，無一不借助數(shù)學的力量。數(shù)學與文化間的互動，使數(shù)學成為社會發(fā)展不可或缺的動力。

2.數(shù)學知識的來龍去脈

數(shù)學概念、命題和問題都有其產(chǎn)生發(fā)展的歷程。概念產(chǎn)生的背景和發(fā)展的歷史，概念性的經(jīng)驗和對感性經(jīng)驗的單純變化，新舊概念的關(guān)系和定位，錯綜復雜概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成構(gòu)成概念的文化形式。命題的猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證、證明和應用的產(chǎn)生發(fā)展背景，以及命題與概念、命題之間的關(guān)系，構(gòu)成概念和命題的文化形式。數(shù)學發(fā)展中數(shù)學問題的提出和解決，包括解決現(xiàn)實生活和自然科學提出的問題；已有數(shù)學理論不能解釋數(shù)學新事實，舊問題已得到解決又產(chǎn)生新數(shù)學問題；數(shù)學發(fā)展史中每個數(shù)學分支，每個時代獨特的基本問題的緣起和發(fā)展構(gòu)成問題的文化表現(xiàn)形式。

3.數(shù)學的理性精神

數(shù)學在數(shù)量和邏輯思維形式的表現(xiàn)，決定其作為一種理性因素在人類活動中發(fā)揮的重要作用?？巳R因（M.Kline）認為，“數(shù)學是一種精神，一種理性的精神”[7]。數(shù)學理性精神的內(nèi)涵是“主客體的嚴格區(qū)分；研究方法是精確、定量的，而非含糊和直覺的；批判的精神和開放的頭腦；抽象的、超驗的思維取向”[8]。其精髓是努力超越直觀經(jīng)驗，以抽象思維達到對事物本質(zhì)和普遍規(guī)律的認識，以及數(shù)學在批判精神形成發(fā)展中發(fā)揮作用。

4.數(shù)學的人文精神

數(shù)學的人文精神表現(xiàn)在：第一，數(shù)學是人類理性的活動，展示人性追求自由和真理的本質(zhì)；第二，數(shù)學研究成果是創(chuàng)造性的藝術(shù)，具備簡單美、對稱美、奇異美和統(tǒng)一美的特征，陶冶人的美感，增進人的審美能力和直覺力，體現(xiàn)人的人文關(guān)懷；第三，數(shù)學家的創(chuàng)造需要直覺、想象和幻想。“數(shù)學是創(chuàng)造的藝術(shù)，因為數(shù)學家像藝術(shù)家一樣的生活，一樣的工作，一樣的思索”[9]，“數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷能否成功的標準，主要是美學原則……判斷數(shù)學家能否成功，或者他的努力是否有價值的主觀標準，都是非常自足的和美學的”[10]。無論是直覺主義流派的代表人物龐加萊、布勞威爾，還是形式主義流派代表希爾伯特都十分重視直覺和想象在數(shù)學創(chuàng)造中的作用。直覺和想象無論理解“按時間順序出現(xiàn)的感覺”，還是“對若干可能的公式或理論的選擇”，抑或“對數(shù)學事實的有益的組合”，都遵循“有和諧秩序和規(guī)律”的審美標準：一種簡潔概括的形式表達某種本質(zhì)的深刻的規(guī)律性的美作為標準引導數(shù)學直覺思維。

5.民族與民俗數(shù)學

從數(shù)學發(fā)展的歷史文化層面上，不同民族和地域在不同時期各自生長“民族數(shù)學”的萌芽，甚至有相當精深的發(fā)展。這種固有的與民族文化共興衰的數(shù)學傳統(tǒng)，深刻地折射出不同民族的精神追求、自然觀念和思維旨趣。20世紀80年代，巴西數(shù)學教育家達布羅西歐（U.D’Ambrosio）提出“民族數(shù)學”的概念，用來刻畫各民族特有的數(shù)學活動，其首要論點就是對數(shù)學的“社會—文化”屬性的明確肯定。民俗數(shù)學拓寬了“民族數(shù)學”的研究范圍，各社群都可以發(fā)展自己的數(shù)學形式。民族和民俗數(shù)學使數(shù)學文化擺脫了數(shù)學的歐洲中心主義，依據(jù)多元文化的立場對它們做出公正的評價，尊重不同的數(shù)學形式，并吸取有益成分；數(shù)學教育關(guān)注現(xiàn)實問題、學習者所處的文化環(huán)境，尤其是日常數(shù)學，包括生活中積累的常識性知識和未經(jīng)訓練的數(shù)學知識體驗對數(shù)學學習的影響。

四、基于數(shù)學文化的課程資源開發(fā)

數(shù)學文化明確了影響數(shù)學發(fā)展的諸多因素與知識體系背后隱性存在的精神、意識與思想觀念。數(shù)學文化的“內(nèi)隱性課程資源”[11]開發(fā)可以激活學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，達成數(shù)學符號知識學習自我意義價值的實現(xiàn)。對照“只有當數(shù)學文化的基本內(nèi)容需要內(nèi)化到學習者自己的文化系統(tǒng)中，才可能真正成為一種文化素質(zhì)”，使數(shù)學達到“文化層面”的要求。[12]

1.重點問題

（1）處理數(shù)學文化的數(shù)學史實與數(shù)學史課程的關(guān)系

數(shù)學文化的數(shù)學史實來源于數(shù)學史。本質(zhì)上，數(shù)學史關(guān)注數(shù)學發(fā)展的歷史進程，數(shù)學文化的數(shù)學史實將數(shù)學史作為數(shù)學課程資源，將數(shù)學史的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，在尊重歷史的基礎(chǔ)上，考慮不同學段學生學習認知水平、需求層次和教學知識點。功能上，數(shù)學史實是數(shù)學文化的素材來源。數(shù)學文化引用數(shù)學史實，重在發(fā)掘背后的數(shù)學思想方法、價值觀念的發(fā)展變化和數(shù)學精神。數(shù)學史課程形成個性的課程體系，在深度和廣度上明顯高于數(shù)學史實。

（2）使“有意識”的數(shù)學文化教學產(chǎn)生“潤物細無聲”的效果

有學者提出，將數(shù)學文化納入高考評價，借評價的指揮棒保證數(shù)學文化教學的持續(xù)性和有效性。[13]功利化的評價方式會激起學生的反感，消解學生對數(shù)學文化的興趣，使數(shù)學文化教學跌入“冰冷”的數(shù)學知識學習的深淵，最終破壞數(shù)學文化課程資源開發(fā)的初衷。在有限時間內(nèi)，不增加學生負擔的前提下，合理有效地運用數(shù)學背景知識，整合數(shù)學文化與數(shù)學知識，切合學習者現(xiàn)有的文化系統(tǒng)與數(shù)學文化，形成數(shù)學文化與知識線索的統(tǒng)一；數(shù)學知識與文化的有機整合，將數(shù)學文化“內(nèi)化”到學生文化系統(tǒng)中。其間涉及“數(shù)學文化以一種怎樣的形式加以展現(xiàn)”的問題。假如單設(shè)數(shù)學文化課程，將數(shù)學文化作為“補丁”加入原有的數(shù)學教學體系中，只能是初級階段表現(xiàn)。事實上，數(shù)學文化教學應以閱讀材料、專題或課程板塊形式呈現(xiàn)，實現(xiàn)數(shù)學文化內(nèi)化的自然“融入”——將數(shù)學文化的思想融化到數(shù)學課程的教學。遺憾的是，數(shù)學文化在實踐中的具體方案并未得到有效落實，“數(shù)學文化的課程意圖有落空的可能”[14]。

（3）糾正數(shù)學文化價值觀與多元文化觀點的缺失

數(shù)學文化的課程資源開發(fā)應關(guān)注中西數(shù)學文化傳統(tǒng)、數(shù)學文化價值觀的比較，以及演變趨勢，尤其是數(shù)學“多元文化”觀念。學生的知識、直接經(jīng)驗和生活世界成為重要的課程資源，基于數(shù)學史實，與其他學科的統(tǒng)籌整合并以現(xiàn)代信息技術(shù)作為數(shù)學文化的良好載體。

為了有效地弘揚數(shù)學文化，使學生自覺地接受數(shù)學文化的熏陶，養(yǎng)成良好數(shù)學素養(yǎng)，需要探討數(shù)學文化課程資源開發(fā)的原則。

2.遵循的原則

（1）少而精原則

數(shù)學文化多內(nèi)涵的價值意義，決定了其課程資源范圍較廣。完成“數(shù)學文化融化到數(shù)學課程中”的目標定位，數(shù)學文化教學中應貫徹少而精原則。課程資源開發(fā)緊扣數(shù)學文化主題，以闡明數(shù)學的精神實質(zhì)、思想方法和數(shù)學價值觀趨勢為要旨；考慮資源選取的優(yōu)先和重要性。抓住深刻影響人類文明進程并起著關(guān)鍵性甚至決定性作用的數(shù)學事件，便于學生舉一反三，觸類旁通。如“哥尼斯堡七橋問題”作為課程資源有豐富的文化價值。發(fā)掘該素材中的文化內(nèi)涵，讓學生體會數(shù)學由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合和復雜問題簡化的“數(shù)學化”思想方法，體驗數(shù)學的“簡單美”；加深了解紛亂的自然中存在有美感的數(shù)量關(guān)系，為數(shù)學家的發(fā)現(xiàn)驚嘆的同時，獲得問題解決步驟和策略啟發(fā)，激發(fā)對數(shù)學的真正興趣。

（2）學生導向原則

教育只有反應學生的本土文化或相關(guān)利益，才能真正有效。學生是學習主體，資源的開發(fā)與利用都應該基于實證研究，明確學生已有的知識、經(jīng)驗、背景、興趣和平時的活動，以學生的數(shù)學學習為主線，以學生實際需要為出發(fā)點，以調(diào)動學生主動參與為主軸，以有效實現(xiàn)數(shù)學文化價值為目標，重視學生文化背景的理解與學校教學相聯(lián)系。

（3）結(jié)合數(shù)學課堂教學原則

數(shù)學課堂教學是課程實施的重要環(huán)節(jié)。課堂教學有效性關(guān)系教育、教學目標的達成。數(shù)學文化教學目標的實現(xiàn)，不應將數(shù)學文化單純作為數(shù)學課堂教學之外的內(nèi)容，應該認識到數(shù)學文化是數(shù)學課程教學的內(nèi)在要求，構(gòu)成數(shù)學課程“素材性”資源。結(jié)合數(shù)學課堂教學，講授數(shù)學知識，同時將有關(guān)數(shù)學的重要發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，放在歷史環(huán)境下分析，并充分發(fā)掘其文化內(nèi)涵；結(jié)合當今發(fā)展以及應用，揭示它們在數(shù)學文化方面的作用和意義。

五、數(shù)學文化融入數(shù)學教學的途徑

1.數(shù)學活動中，積累基本活動經(jīng)驗

數(shù)學活動是數(shù)學共同體遵循數(shù)學文化傳統(tǒng)，進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)和發(fā)明活動的方式。數(shù)學課堂教學中引導學生參與數(shù)學活動，在“做中學”，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”過程；問題導向的數(shù)學活動中學生相互啟發(fā)，拓展思路和方法，體會合作精神的可貴品質(zhì)，以及團體協(xié)作活動的意義；生生和師生交流中感悟數(shù)學語言作為文化載體的應用，領(lǐng)會數(shù)學語言不僅是數(shù)學的符號語言，還承載邏輯和生活意義；操作、探究和綜合數(shù)學活動中豐富發(fā)展基本活動經(jīng)驗。如“球的體積公式”教學設(shè)計的“細沙實驗”[15]，以祖暅原理作為實驗的理論基礎(chǔ)，鼓勵學生在操作、合作交流中猜想和實驗結(jié)果抽象，實驗操作活動為證明和思想方法的理解埋下伏筆；“三角形內(nèi)角和定理”引導學生經(jīng)歷泰勒斯研究過程，通過三角形平移、旋轉(zhuǎn)的操作，驗證猜想并推理論證，幫助學生積累操作經(jīng)驗，體驗數(shù)學研究科學、理性和嚴謹精神。

2.數(shù)學問題解決過程中，感悟數(shù)學精神和形成數(shù)學意識

“問題是數(shù)學的心臟”，也是每個時代數(shù)學發(fā)展不可或缺的。問題解決中的數(shù)學問題是非常規(guī)的，具備開放性、情境性和探究性特征，需要一定探索、研究，深入認識數(shù)學對象的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。問題解決過程建立數(shù)學模型，將現(xiàn)實問題“數(shù)學化”，或者借助數(shù)學經(jīng)驗和直覺，做出初步猜想，借助量化模式對問題給出理性分析和判斷。數(shù)學問題解決過程，保證學生始終處于“憤悱”狀態(tài)，除了學習數(shù)學知識，實現(xiàn)對于波利亞數(shù)學啟發(fā)法的自覺學習、繼承和超越。如中國古代“雞兔同籠問題”；勾股定理“趙爽弦圖”與畢達哥拉斯證明；以“形數(shù)理論”的產(chǎn)生、發(fā)展、應用和拓展作為背景，探討解決前 n 項求和公式的證明問題。[16]巧妙地借助數(shù)學文化中數(shù)學史實作為課程教學的素材，在學生驚嘆古代數(shù)學家們巧妙的問題解決方法中，提升自身問題解決的思維拓展，領(lǐng)悟數(shù)學的理性精神、人文精神和數(shù)學家的創(chuàng)新精神，認識數(shù)學的科學價值和文化價值。

3.數(shù)學知識發(fā)展背景中，滲透思想方法

數(shù)學知識開放、相對和易謬的屬性，數(shù)學教學隱性課程資源的開發(fā)，都展現(xiàn)了數(shù)學“冰冷的美麗”背后“火熱的思考”。數(shù)學知識不同方面點滴成果的匯集與積累，都是教學素材的來源。隨著人的實踐活動深入，數(shù)學中的許多概念從原初的狀態(tài)被擴張和推廣，形成現(xiàn)在廣泛又精確的概念；數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了新的數(shù)學定理后，探求是否能推廣定理，若能成功推廣，則推進研究，成為數(shù)學定理和法則一般化原則。數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)展背景中蘊含豐富的數(shù)學思想方法資源，通過發(fā)掘背景知識資源，幫助學生理解概念、定理和法則的來龍去脈，加深知識點的理解和應用，正確認識數(shù)學本質(zhì)，樹立正確數(shù)學觀念，提高數(shù)學學習興趣。如歷經(jīng)兩千多年數(shù)系建立，成為學習者數(shù)概念抽象和理解的素材；函數(shù)概念的發(fā)展和轉(zhuǎn)變歷程，加深學生對客觀世界認識深度的變化；明朝《算法統(tǒng)宗》“鋪地錦”算法作為兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算教學的素材，幫助學生理解算理，掌握方法；“費馬猜想”“歌德巴赫猜想”和“四色原理”從問題提出到解決以及推廣歷程，提高學生理解歸納推理思維的本質(zhì)。

4.聯(lián)系學生文化背景，促進自我意識發(fā)展

教育界提倡從“社會—文化”的視角審視數(shù)學教育，學生是學習的主體，學生資源當然是數(shù)學課程需要發(fā)掘的數(shù)學人力資源。[17]學生所處國度、民族文化背景不同，以及所處地域不同，都有不同的數(shù)學文化背景。數(shù)學文化作為數(shù)學課程資源的開發(fā)對象，關(guān)注學生數(shù)學文化的差異性，尊重不同民族的數(shù)學文化傳統(tǒng)；聯(lián)系學生的文化背景，發(fā)掘?qū)W生已有的經(jīng)驗和興趣點，創(chuàng)設(shè)情境呼喚學生文化意識的共鳴；認可民族數(shù)學文化基礎(chǔ)上，吸收西方數(shù)學文化精神。因此，學生文化背景資源的發(fā)掘，能引發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，提高數(shù)學教學質(zhì)量，在文化互補的數(shù)學學習中明確發(fā)展方向，了解數(shù)學的價值，對數(shù)學學習充滿信心，促進學生自我意識的形成和發(fā)展。如“天平”左右兩盤的平衡作為理解等式中“等號”含義的隱喻；《烏鴉喝水的故事》中烏鴉能喝上水的原因是學習體積概念的良好素材；天氣預報作為理解概率中“可能性”的教學資源?！?/p>

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