寧夏石嘴山市光明中學(xué) 卜耀鋒

數(shù)列求和的基本思想方法淺談

寧夏石嘴山市光明中學(xué) 卜耀鋒

高中數(shù)學(xué)數(shù)列方法

數(shù)列知識(shí)是數(shù)學(xué)必修五所學(xué)內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)之一，也是高考必考內(nèi)容之一.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，數(shù)列知識(shí)一直是高考必考的知識(shí)點(diǎn)，以等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)為基礎(chǔ)，通常考查數(shù)列求和等問題，對(duì)學(xué)生的要求較高.通過研究教材中數(shù)列的知識(shí)，結(jié)合高考中對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查來看，對(duì)數(shù)列的考查既注重知識(shí)又兼顧方法.本文結(jié)合近些年的高考試題和教材的相關(guān)內(nèi)容，通過對(duì)數(shù)列求和方法的總結(jié)研究，歸納出數(shù)列的幾種常見求和方法.

一、基本法（公式法）

教育部考試中心編寫的考試大綱以及考試大綱的說明中明確指出，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.說明對(duì)于數(shù)列的求和重點(diǎn)在于等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式及其求和的思想方法.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1（q=1）

二、倒序相加法

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an…（1），Sn=an+ an-1+an-2+…+a2+a1…（2）.

將（1）、（2）兩式相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1），這種方法稱之為倒序相加求和法，其特點(diǎn)就是一個(gè)數(shù)列的首尾等距的項(xiàng)之和相等.數(shù)列求和，需要對(duì)和式化簡(jiǎn)，比如在等差數(shù)列求和化簡(jiǎn)中，結(jié)合和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，充分運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，對(duì)和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an進(jìn)行化簡(jiǎn).

三、錯(cuò)位相減法

1.等比數(shù)列求和公式.

在等比數(shù)列｛an｝中，首項(xiàng)為a1，公比為q，

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1（3），

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn（4），

將（3）、（4）兩式相減得（1-q）Sn=a1-a1qn=a1（1-qn），當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1，當(dāng)q≠ 1時(shí)

2.錯(cuò)位相減法求和.

錯(cuò)位相減法通常適合一個(gè)由等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和，即cn=anbn，其中｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列，且｛bn｝不是常數(shù)數(shù)列（即公比q≠1）.在求和時(shí)，由前n項(xiàng)和Sn定義寫出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn，然后構(gòu)造第二個(gè)和式qSn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+…+an-1bn-1q+anbnq.兩式相減，化簡(jiǎn)合并得到Sn.例如2010年新課標(biāo)Ⅱ卷解答題第17題設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1-an=3·22n-1，（Ⅱ）令bn=nan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.考查錯(cuò)位相減法求和法的應(yīng)用.

四、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消求和法實(shí)際上就是分組求和法的綜合應(yīng)用，即通過把數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an代數(shù)變形，整體拆分成兩項(xiàng)或者三項(xiàng)差的形式，通過合并化簡(jiǎn)，求和的方法.通常情況下數(shù)列｛an｝是分式的形式，分母是等差數(shù)列連續(xù)（多間隔）k項(xiàng)的乘積，分子是常數(shù)的數(shù)列.常見的形式為

例如201 1年新課標(biāo)Ⅱ卷解答題第17題等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.（Ⅱ）設(shè)bn=log3a1+ log3a2+…+log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.考查裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用.

數(shù)列求和，要從通項(xiàng)公式入手，首先確定通項(xiàng)公式，其次通過對(duì)通項(xiàng)公式變形或分析通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?對(duì)于非等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和，第一種思路：轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或者是等比數(shù)列，這一思想方法往往通過對(duì)通項(xiàng)的分解或錯(cuò)位相減來完成；第二種思路：不能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等求和.