何曉勤

向量共線定理和平面向量基本定理作為平面向量中的兩大重要定理，在解題中有著廣泛的應(yīng)用，那它們?cè)趦?nèi)容和表達(dá)形式上有著怎樣的區(qū)別與聯(lián)系呢？聊一聊兩個(gè)定理的理解

老師：向量共線定理的內(nèi)容是什么？

小明：對(duì)于向量a（a≠0）和b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa（a≠0），那么b與a（a≠0）是共線向量；反之，b與a（a≠0）是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa。

老師：該定理有何作用？

小強(qiáng)：該定理的前半部分給出了判斷兩個(gè)向量共線的方法，而后半部分揭示了兩個(gè)共線向量之間的關(guān)系。

老師：該定理中a≠0能否去掉，為什么？

小李：不能去掉。因?yàn)楫?dāng)b=a=0時(shí)，雖然b與a是共線向量，且實(shí)數(shù)λ存在，但λ可以是任意實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0而a=0時(shí)，雖然有b與a共線，卻不存在實(shí)數(shù)λ使得b=λa。

老師：小李同學(xué)解釋得非常好，也就是說向量共線定理不包含向量a=0時(shí)的共線問題，應(yīng)用時(shí)要特別注意。向量共線定理研究的是兩個(gè)共線向量之間的關(guān)系，倘若兩個(gè)向量不共線，用其中一個(gè)向量無法表示另一個(gè)向量，這就產(chǎn)生了平面向量基本定理，大家說說看。

小張：若非零向量e₁，e₂是兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁和λ₂，使得a=λ₁e₁+λ₂e₂。其中不共線的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

老師：平面向量基本定理告訴我們平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和的形式，且分解的形式是唯一的。我們?cè)撊绾卫斫馄矫嫦蛄康幕祝?/p>

小王：平面向量的基底不唯一，但作為基底的兩個(gè)向量一定是不共線的，顯然零向量不能作為基底。但是一旦基底選定，則該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的分解形式是唯一的。

老師：如何理解向量分解的唯一性？

小宋：也就是說，設(shè)e₁，e₂是平面向量的一組基底，若a=λ₁e₁+λ₂e₂且a=μ₁e₁+μ₂e₂，則λ₁=μ₁，λ₂=μ₂。

老師：小宋同學(xué)解釋得很到位！在理解了兩個(gè)定理之后，我們比較一下，向量共線定理和平面向量的基本定理有什么聯(lián)系和區(qū)別？

道一道兩個(gè)定理的聯(lián)系

小麗：由向量共線定理可知，任意一個(gè)向量都可以用一個(gè)與它共線的非零向量線性表示，且這種表示形式是唯一的；而平面向量的基本定理是向量共線定理的推廣。這兩個(gè)定理都可以看成在一定范圍內(nèi)的向量分解的“唯一性”定理。

小剛：它們的表示形式不同，向量共線定理是指與a共線的向量都可以表示為λa的形式；平面向量基本定理是指利用兩個(gè)不共線向量e₁，e₂與實(shí)數(shù)λ₁，λ₂的積的和表示平面內(nèi)的任意向量。

小萌：特別地，在平面向量基本定理中，若λ₁=0或λ₂=0時(shí)，就變成了向量共線定理，因此也可說，向量共線定理是一維的平面向量基本定理。

老師：上面幾位同學(xué)說得非常好！從向量共線定理到平面向量的基本定理，是向量的分解從一維到二維的延伸。數(shù)學(xué)因應(yīng)用而美麗，接下來就讓我們領(lǐng)略這兩個(gè)定理應(yīng)用的魅力吧！

賞一賞 兩個(gè)定理的應(yīng)用

評(píng)注

基底主要具備兩個(gè)特征：一是不共線；二是不唯一。然而基底一旦確定，則該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的分解方式也就唯一的確定了。