陳磊
摘 要: 為幫助高中生建立連接體運(yùn)動(dòng)的模型,作者歸類了常見的運(yùn)動(dòng)實(shí)例運(yùn)用整體法進(jìn)行探討研究。最終得到了處理有相對運(yùn)動(dòng)的連接體問題,無論加速度是否相同都可以使用整體法解題。
關(guān)鍵詞: 連接體 相對運(yùn)動(dòng) 整體法
動(dòng)態(tài)平衡是指通過控制某些物理量,使物體的形態(tài)發(fā)生緩慢變化,而在這個(gè)過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)。在此,筆者對解決這類問題的常用方法進(jìn)行指導(dǎo)。
一、矢量三角形法
解法指導(dǎo):矢量三角形法適用于物體所受的三個(gè)力中,有一力的大小、方向均不變(通常為重力,也可以是其他力),另一個(gè)力的大小變化、方向不變,第三個(gè)力則大小、方向均發(fā)生變化的問題,對變化過程的動(dòng)態(tài)平衡進(jìn)行的定性分析。
二、相似三角形
解法指導(dǎo):對受三個(gè)力作用而平衡的物體,先正確分析物體的受力,畫出受力分析圖,再尋找與力的三角形相似的幾何三角形,利用相似三角形的性質(zhì),建立比例關(guān)系,把力的問題轉(zhuǎn)化為幾何三角形邊長的大小變化問題進(jìn)行討論。
如果在對力利用平行四邊形定則(或三角形定則)運(yùn)算的過程中,力三角形與幾何三角形相似,則可根據(jù)相似三角形對應(yīng)的邊成比例等性質(zhì)求解。
三、數(shù)學(xué)函數(shù)解析法
例3:如圖3-1所示,置于固定斜面上的物體A受到平行于斜面向下的力F作用保持靜止,若力F大小不變,將力F在豎直平面內(nèi)由沿斜面向下緩慢的轉(zhuǎn)到沿斜面向上(轉(zhuǎn)動(dòng)范圍如圖中虛線所示)。在F轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中,物體始終保持靜止,在此過程中物體與斜面間的(?搖?搖)
A.彈力可能先增大后減小
B.彈力一定先減小后增大
C.摩擦力可能先減小后增大
D.摩擦力一定一直減小
解析:由于力F的方向是變化的,我們可以分情況討論:
1.當(dāng)力F斜向下與斜面的夾角為θ(θ≤90°)時(shí),對物體進(jìn)行受力分析,建立直角坐標(biāo)系,如圖3-2所示,分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+mgsinα=f,N+Fsinθ=mgcosα,當(dāng)θ增大時(shí),物體與斜面的彈力減小,物體與斜面的摩擦力減小。
2.當(dāng)力F斜向上與斜面的夾角為θ(θ≤90°)時(shí),由于F與mgsinα大小關(guān)系不確定,需要再次分情況討論:
①當(dāng)F≤mgsinα?xí)r,f的方向一直向上,對物體進(jìn)行受力分析,建立直角坐標(biāo)系,如圖3-3所示,分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+f=mgsinα,N+Fsinθ=mgcosα,當(dāng)θ從90°逐漸減小時(shí),物體與斜面的彈力增大,物體與斜面的摩擦力一定一直減小。
②當(dāng)F>mgsinα?xí)r,f的方向依然不確定,還需繼續(xù)討論。若力F斜向上與斜面的夾角為β時(shí)有Fcosβ=mgsinα,此時(shí)f不存在,對物體進(jìn)行受力分析如圖3-4所示。則
(I)當(dāng)β<θ<90°時(shí),f的方向一直向上,對物體進(jìn)行受力分析,建立直角坐標(biāo)系,如圖3-5所示,分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+f=mgsinα,N+Fsinθ=mgcosα,當(dāng)θ從90°逐漸減小到β時(shí),物體與斜面的彈力增大,物體與斜面的摩擦力減小。
(II)當(dāng)0≤θ≤β時(shí),f的方向一直向下,對物體進(jìn)行受力分析,建立直角坐標(biāo)系,如圖3-6所示,分別在X、Y軸上列平衡方程為Fcosθ=mgsinα+f,N+Fsinθ=mgcosα,當(dāng)θ從β逐漸減小為0時(shí),物體與斜面的彈力增大,物體與斜面的摩擦力增大。
故此過程中物體與斜面間的彈力一定先減小后增大;當(dāng)F≤mgsinα?xí)r,物體與斜面的摩擦力一定一直減??;當(dāng)F>mgsinα?xí)r,物體與斜面的摩擦力先減小為零后反向增大。所以B、C正確。
解法指導(dǎo):適用于物體所受力中,有一個(gè)力大小、方向都變,有一力大小變、方向不變(或大小不變、方向變),在變化過程中,有兩個(gè)力的方向始終保持垂直,且其中一個(gè)力的大小、方向均不變的問題,此時(shí),可利用數(shù)學(xué)函數(shù)解析的方法求出所要找的答案。
我們在處理力學(xué)中連接體問題時(shí),經(jīng)常用到整體法。即將系統(tǒng)視為一個(gè)整體,看整體受力與加速度的關(guān)系。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)是只有連接體內(nèi)各個(gè)物體運(yùn)動(dòng)情況完全一樣或者說相對靜止時(shí),才可以將連接體視為一個(gè)整體。
題型一:有相同加速度,無相對運(yùn)動(dòng)
思考:由例1,我們可以得到啟發(fā),能用整體法解題的根本原因是連接體有相同的加速度,那如果連接體內(nèi)物體均無加速度則是不是也可以利用整體法解題?
題型二:無加速度,有相對運(yùn)動(dòng)
例2:如圖2所示,物體A、B質(zhì)量分別為m和3m,A、B間滑動(dòng)摩擦因數(shù)和B與水平地面間滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ,在水平拉力F作用下使A、B相對勻速滑動(dòng),求F的大???
解析:題中A、B兩物體均做勻速運(yùn)動(dòng),它們的加速度都是0,也可以認(rèn)為它們具有相同的加速度。與例1所不同的是它們有相對運(yùn)動(dòng),首先分析A的受力如圖3所示:
則繩的拉力T=mmg
以整體為研究對象,受力分析如圖4所示:
其中Fm=4mmg
所以F=Fm+2T=6mmg
例3:如圖5所示,質(zhì)量為M的楔形物塊靜止在水平地面上,其傾角為a,斜面上有一質(zhì)量為m的小物塊,小物塊與斜面之間存在摩擦力。用恒力F沿斜面向上拉小物塊,使之勻速上滑,在小物塊運(yùn)動(dòng)的過程中,楔形物塊始終保持靜止。求地面對楔形物塊的支持力和摩擦力。
題型三:無相同加速度,有相對運(yùn)動(dòng)
例4:如圖7質(zhì)量為M的楔形木塊靜止在水平面上,傾斜角為a的斜面上,一質(zhì)量為m的物體正以加速度a下滑,求水平面對楔形木塊的彈力F■和摩擦力f。
在水平方向上楔形木塊是否受力,若受力方向如何?還需通過加速度判斷。因?yàn)檫B接體中有一個(gè)物體其加速度有一向左的分量,所以整體必定受到一向左的力,而這個(gè)力只可能由地面施加。即地面對楔形木塊的摩擦力
例5:如圖10所示質(zhì)量為M的木板放在傾角為θ的光滑固定斜面上,一個(gè)質(zhì)量為m的人站在木板上,要保證木板相對斜面靜止,則人必須怎樣運(yùn)動(dòng)?
解析:本題中斜面固定,我們把人與木板視為一個(gè)整體,既然斜面光滑,那么斜面對木板只有彈力而無摩擦力,整體受力如圖11所示。
根據(jù)牛頓第二定律得(M+m)gsinq=Ma+ma
由題意可知木板相對斜面是靜止的,所以其加速度為0,那么由上式可得gsinq方向沿斜面向下
拓展延伸:由題型一和題型三,我們進(jìn)一步思考,若連接體內(nèi)各物體分別以各自的且并不相同的加速度運(yùn)動(dòng),是否也可以用整體法解呢?
這類問題較復(fù)雜,高中階段不作要求,有興趣的讀者可以展開討論。
可見,處理連接體問題,并非只有相對靜止才可以使用整體法,有相對運(yùn)動(dòng)甚至加速度不相同的連接體都可以使用整體法解題。