葛敏輝

[摘 要]現(xiàn)代教育學(xué)認(rèn)為，進(jìn)入課堂前每位學(xué)生的頭腦中已經(jīng)積累了一定的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。因此，教師的任務(wù)是為學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)符合成長(zhǎng)的環(huán)境，讓他們根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行嘗試、探索，獲得智慧和認(rèn)知的生長(zhǎng)。通過(guò)教學(xué)“體積與容積”一課，從理性剖析數(shù)學(xué)的本質(zhì)、冷靜審視當(dāng)前教學(xué)的一些“熱”現(xiàn)象以及創(chuàng)新實(shí)踐這三個(gè)方面來(lái)闡述一些思考和做法，意在表明把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、巧設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)是促進(jìn)學(xué)生智慧自主生長(zhǎng)的關(guān)鍵。

[關(guān)鍵詞]學(xué)生 數(shù)學(xué) 生長(zhǎng) 本質(zhì) 活動(dòng) 思考 智慧

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）05-012

我認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是促進(jìn)學(xué)生智慧的自主生長(zhǎng)。生長(zhǎng)，意味著對(duì)話、頓悟和應(yīng)用，是學(xué)生經(jīng)歷朦朧、混沌、積聚、清晰、連接的過(guò)程。這就需要我們教師充分激發(fā)學(xué)生的主體性和生長(zhǎng)性，使學(xué)生能根據(jù)已有的知識(shí)儲(chǔ)備和思考，完成自己的再創(chuàng)造、再建構(gòu)。其中，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和巧設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)激發(fā)思維、促進(jìn)智慧生長(zhǎng)的關(guān)鍵。只有抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，設(shè)計(jì)好的活動(dòng)，才能使學(xué)生輕松地理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)智慧的生長(zhǎng)。

那么，教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)如何正確把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)？應(yīng)該設(shè)計(jì)怎樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生真正理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)呢？最近，我教學(xué)“體積與容積”一課，感悟頗深，現(xiàn)說(shuō)說(shuō)自己的思考和探索，與大家一同分享。

一、對(duì)本堂課中數(shù)學(xué)本質(zhì)的重新認(rèn)識(shí)

“體積與容積”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，教材是這樣定義這兩個(gè)概念的：“物體所占空間的大小，叫做物體的體積。”“容器所能容納物體的體積，叫做它的容積?！笨梢?jiàn)，容積也是體積，它們的內(nèi)涵核心是“所占空間的大小”。因此，有的教師認(rèn)為“要理解體積的含義，就必須先理解什么是空間”，于是教師會(huì)圍繞空間的概念展開(kāi)教學(xué)。張奠宙教授在《從體積的定義說(shuō)起》一文中指出：“‘所占空間的大小’的說(shuō)法，并非是體積嚴(yán)格的定義，充其量不過(guò)是對(duì)體積教學(xué)的一種解釋?zhuān)⒉粫?huì)對(duì)學(xué)生理解體積有多少幫助，因此不要在這里大做文章?！?/p>

那么，這一節(jié)課應(yīng)該教給學(xué)生什么呢？它的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？我認(rèn)為，應(yīng)該在體積的特征上下工夫。如：（1）體積和面積的區(qū)別。面積是表示面或封閉圖形的大小，而體積是表示物體的大小，它不僅受長(zhǎng)度和寬度的影響，還受高度的影響。（2）體積是度量物體的量，它的大小可以用數(shù)來(lái)表示。（3）體積具有運(yùn)動(dòng)不變性。也就是說(shuō)，一個(gè)物體或多個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)后，其體積不變。（4）體積可以疊加。兩個(gè)同樣的物體放在一起，它們的體積就是其中一個(gè)的2倍；如果有這樣的3個(gè)物體放在一起，它們的體積就是其中一個(gè)的3倍，以此類(lèi)推。（5）體積與容積的聯(lián)系和區(qū)別。比如一塊磚頭，它有體積，那它有容積嗎？當(dāng)然是沒(méi)有容積的，或者說(shuō)它的容積可以看做是0。但是如果我們?cè)诖u的中間挖掉一塊，那它有容積了嗎？能不能使它的容積變得更大一些呢？它的體積有變化嗎？

大家都知道，數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)即數(shù)學(xué)味。我們的課堂只有觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才會(huì)蕩漾出濃郁的“數(shù)學(xué)味”，因?yàn)榫哂小皵?shù)學(xué)味”的課堂才是有內(nèi)涵、有思維、有生長(zhǎng)的課堂。

二、對(duì)當(dāng)前教學(xué)本課的一些“熱”現(xiàn)象的“冷”思考

1.排水實(shí)驗(yàn)一定要做嗎？

教師為了讓學(xué)生體會(huì)抽象的空間，一般都會(huì)在教學(xué)伊始演示排水實(shí)驗(yàn)，試圖引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察土豆和紅薯占了水的有限空間，使水面上升來(lái)感知空間。我認(rèn)為，課堂教學(xué)中過(guò)早地運(yùn)用排水實(shí)驗(yàn)來(lái)幫助學(xué)生理解物體所占空間的大小并不合適。首先，正如張奠宙教授所言：“空間比體積更費(fèi)解、更難懂?！闭n堂教學(xué)中，如果要先通過(guò)探究空間再來(lái)理解體積，學(xué)生會(huì)越聽(tīng)越糊涂，從而把本來(lái)簡(jiǎn)單的事情變復(fù)雜了。其次，這樣的排水實(shí)驗(yàn)學(xué)生很熟悉，并不陌生。而且，《烏鴉喝水》的童話故事學(xué)生早就耳熟能詳了，再加上三年級(jí)科學(xué)上冊(cè)《空氣占據(jù)空間嗎》一課中已提出“占據(jù)空間”，學(xué)生已有過(guò)相關(guān)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)操作。如果這樣的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)再放在五年級(jí)數(shù)學(xué)“體積和容積”教學(xué)中，不僅會(huì)耗費(fèi)很多寶貴的時(shí)間，還會(huì)分散學(xué)生的注意力，弱化學(xué)生的思考力。其實(shí)，空間大小是人的直觀感知，體積也是能直觀感知的，教師不需要花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間和精力來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。我們都知道，學(xué)生在幼兒期甚至牙牙學(xué)語(yǔ)時(shí)就能判斷哪個(gè)蘋(píng)果大、哪個(gè)蘋(píng)果小，更何況五年級(jí)的學(xué)生。再次，排水實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法，它側(cè)重于觀測(cè)，如果我們?cè)噲D通過(guò)觀察水面的上升變化來(lái)幫助學(xué)生聯(lián)想到空間大小，本身也不是很妥當(dāng)。

2.不死扣定義教學(xué)行嗎？

在這節(jié)課的很多教學(xué)展示中，教師都會(huì)試圖解釋并讓學(xué)生理解空間、大小、容器、容納等詞語(yǔ)的意思，緊緊扣住書(shū)上的定義做文章。這節(jié)課的教學(xué)非得這樣死扣定義嗎？前面已經(jīng)分析過(guò)，書(shū)上的定義只是對(duì)概念的一種解釋。所以，我認(rèn)為這節(jié)課不必死扣定義進(jìn)行教學(xué)，可以從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)入手，通過(guò)看一看、說(shuō)一說(shuō)、比一比等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生排除干擾，規(guī)范自己的語(yǔ)言。教師應(yīng)該多在空間、大小等概念的特征上下工夫，力求觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，增進(jìn)學(xué)生對(duì)體積意義的深刻理解。

3.怎樣更好地幫助學(xué)生理解體積和容積的差別？

我發(fā)現(xiàn)，很多課堂因?yàn)樵谧鰧?shí)驗(yàn)和教學(xué)定義上花了過(guò)多的時(shí)間，以至于沒(méi)有太多的時(shí)間來(lái)幫助學(xué)生理解體積和容積的差別。又或者說(shuō)，由于容積是體積的下位概念，教師只是把容積概念建立在體積概念同化的過(guò)程中，缺失了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這兩者差別的討論和探究。當(dāng)然，也有一些教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生理解體積和容積的差別。例如，有的教師會(huì)安排同一個(gè)物體體積和容積大小比較的活動(dòng)，讓學(xué)生討論“冰箱的體積和容積哪個(gè)大”等問(wèn)題。我發(fā)現(xiàn)這樣教學(xué)的效果不太好，學(xué)生越學(xué)越糊涂。其實(shí)，我們一般進(jìn)行的是同概念之間的比較，即體積之間或容積之間的大小比較，在初學(xué)時(shí)就把體積和容積進(jìn)行大小比較，不但不能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，反而會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生混淆概念，增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。還有一些教師通過(guò)體積差不多的物體的容積大小比較（如“兩個(gè)差不多的茶杯的容積一樣大嗎”等），或者通過(guò)在一個(gè)長(zhǎng)方體木塊中間挖出小長(zhǎng)方體的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷容積從無(wú)到有的過(guò)程，由此來(lái)幫助學(xué)生體會(huì)它們之間的差別。這樣教學(xué)雖有一定的借鑒價(jià)值，但總覺(jué)得還是比較復(fù)雜，不能簡(jiǎn)單明了地揭示體積和容積的差別。怎樣可以讓學(xué)生能輕松自在地理解體積和容積的差別？這需要我們做進(jìn)一步的思考和探索。

三、教學(xué)實(shí)踐與思考

活動(dòng)1：先學(xué)后議，結(jié)合例子認(rèn)識(shí)體積。

（1）揭示學(xué)習(xí)主題。

師：今天我們來(lái)研究“體積”（板書(shū)）。哪里有體積？

生：鉛筆盒有體積，空調(diào)有體積，人有體積……（課堂氣氛熱烈）

師：老師也帶來(lái)了一些物體，它們有體積嗎？（出示教具：一只箱子，兩本書(shū)，一個(gè)茶杯，一個(gè)木塊，一個(gè)紅薯，一塊石頭）它們的體積一樣大嗎？（生爭(zhēng)先恐后地發(fā)言）

（2）學(xué)生嘗試描述體積。

師：剛才說(shuō)的都是有體積的，那什么是體積呢？誰(shuí)能用一句話來(lái)概括一下？（課堂一下子安靜下來(lái)了，學(xué)生緊鎖眉頭思考）

生1：體積就是一個(gè)物體所占的面積。

生2：體積就是物體的大小……（說(shuō)不清楚）

（3）自學(xué)課本。

師：到底什么是體積？書(shū)上是怎么說(shuō)的呢？我們翻開(kāi)書(shū)本來(lái)自學(xué)一下。（生自學(xué)書(shū)本第36頁(yè)）

（4）規(guī)范學(xué)生對(duì)體積的表述。

師：你能不能用學(xué)到的知識(shí)來(lái)介紹一下一個(gè)物體的體積？（生表述）

（5）理解意義。

師：現(xiàn)在我們來(lái)反思一下剛開(kāi)始同學(xué)們對(duì)體積的描述。誰(shuí)來(lái)發(fā)表一下你現(xiàn)在的看法？

生3：體積不是面積。

生4：面積是面的大小。

師：體積是面的大小嗎？

生5：面積是面的大小。體積是物體所占空間的大小。

……

在這個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，我充分尊重學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在“熱鬧地”暴露他們的認(rèn)知基礎(chǔ)后，引導(dǎo)學(xué)生“冷靜地”思考數(shù)學(xué)概念的意義，因?yàn)橹挥挟?dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)才會(huì)有進(jìn)一步探索的需要，這樣的閱讀和交流才會(huì)顯得更有意義。其實(shí)，學(xué)生的生活與他們的數(shù)學(xué)理解是交織發(fā)展的，所以教師可讓已經(jīng)具備感性經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生通過(guò)自學(xué)、交流、反思等活動(dòng)，進(jìn)行自我糾正、排除干擾和加深理解。“什么是體積”從某種程度上來(lái)說(shuō)是一種人為的規(guī)定，不需要探究，只需要學(xué)生結(jié)合實(shí)際例子能規(guī)范地解釋和運(yùn)用即可。通過(guò)對(duì)“體積是面積嗎”這個(gè)問(wèn)題的討論，學(xué)生有了一個(gè)基于自己理解的合理思辨，在思考和分享中慢慢明白這兩者的不同，經(jīng)歷了從模糊到清晰、從淺顯到深刻、從經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)的生長(zhǎng)過(guò)程。

活動(dòng)2：比較大小，通過(guò)對(duì)比理解本質(zhì)。

（1）提出問(wèn)題。

師：你能選兩樣物體來(lái)比較一下它們體積的大小嗎？（生操作思考）

（2）交流匯報(bào)。

生1：紙箱和茶杯比，茶杯的體積小，紙箱的體積大。

師：你們同意嗎？你是怎么想的？

生1：一眼就能看出來(lái)了。

師：他是直接觀察判斷的。其他同學(xué)呢？

生2：橡皮能放進(jìn)盒子里，所以它的體積一定比這個(gè)盒子小。

師：他的方法你們聽(tīng)明白了嗎？真棒！

生3（舉起書(shū)本）：這兩本書(shū)的封面是一樣大的，那就看高度，越高的體積就越大。

師：這說(shuō)明體積的大小除了跟長(zhǎng)和寬有關(guān)外，還要看什么？（課堂氣氛熱烈）

生：還要看高度。

師：說(shuō)得真好！那你們能想個(gè)好辦法，比較出這塊石頭和這個(gè)紅薯誰(shuí)的體積大嗎？

生4：拿兩個(gè)同樣大小的燒杯，倒入同樣多的水，再把這兩樣物體放進(jìn)去，誰(shuí)的水面高，誰(shuí)的體積就大。（不做實(shí)驗(yàn)，生通過(guò)想象和推理也明白了實(shí)驗(yàn)的意義）

（3）小結(jié)。

師：剛才我們比較體積的大小，其實(shí)就是在比它們的什么？

生5：所占的空間誰(shuí)大。

生6：因?yàn)轶w積就是物體所占空間的大小。

……

我們知道，比較體積大小的過(guò)程是學(xué)生理解體積概念的重要途徑，因此比較體積大小的活動(dòng)一定不能流于形式，而要注重實(shí)質(zhì)，緊扣本質(zhì)，層層遞進(jìn)。最后在比較兩個(gè)差不多大小的不規(guī)則物體的體積時(shí)，我沒(méi)有做實(shí)驗(yàn)，而是通過(guò)對(duì)比和想象，引導(dǎo)學(xué)生理解體積概念的本質(zhì)，使學(xué)生在現(xiàn)有的體驗(yàn)中進(jìn)行自我感悟、自我發(fā)現(xiàn)、自我創(chuàng)造。事實(shí)上，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可以很好地幫助他們將日常生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)本質(zhì)遞進(jìn)，這才是數(shù)學(xué)活動(dòng)的價(jià)值。課堂上，學(xué)生列舉出多種方法來(lái)比較體積的大小，可見(jiàn)這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)很好地引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和空間想象，既有利于學(xué)生對(duì)概念的深入理解，建立認(rèn)知的深刻表象，又有助于他們活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和空間觀念的發(fā)展。

活動(dòng)3：裝套箱子，展開(kāi)想象體會(huì)差別。

（1）實(shí)驗(yàn)操作。

師：體積和容積有什么不同呢？下面，我們以紙箱為例（如下圖），請(qǐng)大家一邊觀察一邊思考。假如我們把這只紙箱的箱壁加厚（多媒體演示貼縫裝進(jìn)一只小箱子），再這樣加厚（多媒體演示又貼縫裝進(jìn)一只小箱子），請(qǐng)你想象一下，如果一直這樣加厚下去，它的什么變了，什么沒(méi)有變？（課堂氣氛熱烈）

生1：箱子的容積變小了，體積沒(méi)有變。

師：為什么？

生2：箱子里面的空間（可容納的空間）越來(lái)越小，所以箱子的容積就越來(lái)越小。

生3：因?yàn)橄渥油饷鏇](méi)有加厚過(guò)，所以它的體積沒(méi)有變。（其他學(xué)生都點(diǎn)頭贊同）

師：那如果我們不是往里面加厚箱壁，而是在這個(gè)箱子的外面加厚它的箱壁（多媒體演示在箱外不斷套上新的箱子），如果也是一直這樣加厚下去，請(qǐng)你想象一下，這時(shí)它的什么變了，什么沒(méi)有變？（生都躍躍欲試）

生4：箱子的體積變大了，容積沒(méi)有變。

師：為什么？誰(shuí)能說(shuō)明道理？

生5：因?yàn)橄渥永锩娴目臻g大小沒(méi)有發(fā)生變化，但一直在外面加厚的話，整個(gè)箱子所占的空間就變大了，所以體積變大。

（2）概括小結(jié)。

師：說(shuō)得太好了?，F(xiàn)在你理解體積和容積的差別了嗎？誰(shuí)來(lái)概括一下？

生6：容積是指里面（內(nèi)部）的空間大小，體積是整體所占的空間大小。

……

設(shè)計(jì)這一活動(dòng)的主要目的，是使學(xué)生能簡(jiǎn)單明了地知道體積和容積的差別。我用很普通的材料（幾個(gè)紙箱子）進(jìn)行疊加演示，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察想象、思考交流，很輕松地感悟出體積和容積這兩者間的差別，即容積是指里面的空間大小，體積是整體所占的空間大小。需要指出的是，這里的操作演示并不是為了形式上的生動(dòng)，而是更多地關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)和學(xué)生的抽象思考。這樣的活動(dòng)過(guò)程雖簡(jiǎn)單，但能讓學(xué)生印象深刻，理解到位?？梢?jiàn)，課堂教學(xué)中的活動(dòng)要為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解服務(wù)，要為學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)、思維的發(fā)展服務(wù)。如此，教師才會(huì)會(huì)教得簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單，學(xué)生才會(huì)學(xué)得明明白白。

活動(dòng)4：應(yīng)用拓展，利用比較深化理解。

（1）出示問(wèn)題。

思考：誰(shuí)的體積大，誰(shuí)的體積??？

①數(shù)量相同（10枚）的硬幣分別壘成下面的形狀。

②淘氣和笑笑各搭了一個(gè)長(zhǎng)方體。

（2）學(xué)生匯報(bào)交流。

生1：因?yàn)槊恳幻?角硬幣的體積比1元硬幣的體積小，所以A的體積最小。

生2：因?yàn)锽和C都是由1元硬幣壘成的，每一枚硬幣的體積相等，所以它們的體積是一樣大的。

生3：只要是10枚一元硬幣，怎么擺體積都不會(huì)變。

師：那你有辦法讓B的體積最大嗎？

生4：在B這里再加一枚硬幣就可以了。

生5：也可以在C上減少硬幣。

生6：笑笑搭的長(zhǎng)方體體積大，因?yàn)樗昧?0個(gè)小正方體，而淘氣只用了28個(gè)小正方體。

……

這個(gè)活動(dòng)的開(kāi)展，不僅很好地突出了概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生知道了體積的有限可加性、運(yùn)動(dòng)不變性等特點(diǎn)，還讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)值來(lái)刻畫(huà)體積的大小。我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)比較物體體積的大小，很自然地開(kāi)展了觀察、想象、比較、推理、創(chuàng)造等思維活動(dòng)。同時(shí)，這個(gè)活動(dòng)能很好地從認(rèn)識(shí)的增長(zhǎng)、思維的發(fā)展、情感的提升等方面，幫助學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)概念內(nèi)化為自己的理解。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，巧設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生真正理解所學(xué)知識(shí)，獲得不同的發(fā)展。

（責(zé)編 杜 華）