邢巧芳，孫銘娟

從不定積分的計算談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

邢巧芳，孫銘娟

不定積分的計算是一元函數(shù)積分學(xué)里的核心問題.不定積分的計算是非常靈活的，除了可以根據(jù)基本積分表中的公式求解外，利用微分和不定積分之間的互逆關(guān)系，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)運算法則和乘積函數(shù)的求導(dǎo)運算法則還建立了求不定積分的2類重要的方法，即換元積分法和分部積分法.同時在微分學(xué)中的求導(dǎo)法則中，還有關(guān)于反函數(shù)的求導(dǎo)法則.

基于不定積分與微分的關(guān)系，一個自然的問題是：反函數(shù)與原函數(shù)的不定積分之間是否也存在某種內(nèi)在的規(guī)律.

1 反函數(shù)的不定積分公式

為了探索反函數(shù)與原函數(shù)的不定積分之間的規(guī)律，可以借助三角函數(shù)與反三角函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行研究.

令y=arcsinx是函數(shù)x=siny在對應(yīng)區(qū)間上的反函數(shù)，則

同理，按照分部積分法，可得

由式（1）和式（2），不難得到

式（3）中反應(yīng)出的規(guī)律是否具有一般性，不妨大膽猜測，小心求證，假設(shè)式（3）具有一般性，則可形成如下結(jié)論：

結(jié)論 設(shè)x=f(y)的反函數(shù)為，記，則

利用式（4），可以直接得到一些反函數(shù)的積分.

例1 取x=tany，其反函數(shù)為y=arctanx.，經(jīng)計算可得F(arctanx)=0.5ln(1+x2)+C，則

例2x=ey是y=lnx的反函數(shù)，且

2 高等數(shù)學(xué)中特殊化思想

從一個特殊的反函數(shù)不定積分的計算，探討了互為反函數(shù)的2個函數(shù)不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，得出了一般性結(jié)論，利用該結(jié)論計算了一些反函數(shù)的不定積分.概括地講，即對于某個一般性的數(shù)學(xué)問題，如果一時難以直接解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個全體中的一個對象或部分對象，然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答，這種用來解決問題的思想就稱之為特殊化思想.

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，如能結(jié)合相關(guān)內(nèi)容，適時介紹和滲透這種思想，則對于開闊學(xué)生視野，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是大有裨益的.

典型案例1 利用牛頓-萊布尼茲公式解決定積分的計算問題.在探索定積分的簡單算法時，從研究物理上求變速直線運動物體在有限時間內(nèi)通過的路程這一特殊問題入手，將從這一特殊的問題中得出的結(jié)論作一般的、普遍性的推廣，進(jìn)而得出了牛頓-萊布尼茲公式這一解決定積分計算的普適性方法，體現(xiàn)了特殊化思想.

典型案例2 微分中值定理的教學(xué).為了研究函數(shù)整體形態(tài)與局部概念——導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，在高等數(shù)學(xué)教材中往往是通過數(shù)形結(jié)合先介紹最簡單、直觀的羅爾中值定理，然后通過改變條件，把羅爾定理推廣成具有更一般形式的拉格朗日中值定理及柯西中值定理，也體現(xiàn)了從特殊到一般的推廣和拓展.

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，除了特殊化思想外，還有極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想、歸納推理思想等.教師在教學(xué)過程中，應(yīng)以知識為載體，要有意識地挖掘、傳授隱藏在知識背后的思想方法.使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的同時，進(jìn)一步提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

解放軍信息工程大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450002）

解放軍信息工程大學(xué)教學(xué)改革項目（XD6201559D）