楊涌 文軍 海昕

摘 要：與其他數(shù)學公共課程相比，線性代數(shù)課程具有內(nèi)容抽象的突出特點。以Cramer法則教學內(nèi)容為例，基于教學難點，結(jié)合教學實踐和體會，探討了啟發(fā)式教學法在線性代數(shù)教學中的應用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；啟發(fā)式教學法；數(shù)學課程

線性代數(shù)是很多工程技術(shù)知識的基礎(chǔ)，因此對非數(shù)學專業(yè)而言，線性代數(shù)課程是最重要的基礎(chǔ)數(shù)學課程之一。線性代數(shù)課程的學時一般較少，但是概念和方法很多，并且表述抽象，這樣就使一些看似簡單的基本概念和方法對于學生而言在學習時也有難理解、難掌握的感覺，從而導致學習過程中的困惑、失落和畏難情緒。

導致這種難學難懂狀態(tài)的基本原因可以從課程的特點和學生的基礎(chǔ)兩個方面進行分析：線性代數(shù)課程使用的教材一般注重邏輯的嚴謹性和表述的數(shù)學化，重點突出理論知識，用純數(shù)學方法和技巧來描述普適性的規(guī)律，強調(diào)培養(yǎng)學生的抽象思維能力；而大一新生的數(shù)學知識與思維能力還局限于中學階段，并未完全具備嚴謹?shù)某橄罄斫夂屯评砑寄?。因此當課程中的知識體系與學生已學知識沒有太多聯(lián)系，并且內(nèi)容高度抽象，表面上與后續(xù)專業(yè)課程結(jié)合不緊密時，就會使學生對線性代數(shù)課程的認識形成難學并且不實用的直觀印象。

從一般的認知規(guī)律而言，人們對于自然現(xiàn)象的分析都遵從由特殊到一般，由具體到抽象的過程。如何在線性代數(shù)課程的教學中按照認知規(guī)律，以學生為中心對教學方法進行改進和完善，培養(yǎng)學生的學習興趣，使線性代數(shù)的教學能夠做到易教易學是近年來線性代數(shù)教學工作者關(guān)心的重點問題之一。本文結(jié)合線性代數(shù)課程教學實踐，以Cramer法則的證明為例，探討啟發(fā)式方法在實際教學中的應用。

一、對啟發(fā)式教學法的認識

啟發(fā)式教學法源于中國古代儒家的教育思想。在現(xiàn)代教育中，啟發(fā)式教學被認為是一種可以有效開發(fā)學生創(chuàng)造性，培養(yǎng)學生主動思考和自主學習能力的教學模式。在具體實施中強調(diào)以學生為基本出發(fā)點，發(fā)揮好老師的主導作用，無論對學生還是老師都提出了更高的要求。

啟發(fā)式教學法的實施就是教師從學生已有知識和思維模式出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的情境以及適時的思維指導，激活學生的思維，引導學生主動思考并達成教學目標。

線性代數(shù)課程旨在培養(yǎng)學生的抽象思維和形象思維能力以及學會把握這兩種思維之間的聯(lián)系，讓學生探索對數(shù)學問題本質(zhì)的理解，提高學習的主動性和解決問題的能力。因此能否將抽象的知識理論與學生認知結(jié)構(gòu)中已有的知識建立起自然而內(nèi)在的聯(lián)系，直接決定了教學效果的優(yōu)劣。

針對啟發(fā)式教學法和線性代數(shù)課程教學的要求，在線性代數(shù)教學中引入啟發(fā)式方法，引導學生將思維和情感融入教學過程中，從而生成積極而有效的教與學的有機過程將明顯提高學生的學習積極性，從而改善教學效果。

二、啟發(fā)式教學法在Cramer法則證明中的應用及實效分析

本節(jié)以Cramer法則的部分教學內(nèi)容為例，淺談啟發(fā)式教學法在線性代數(shù)教學中的具體應用。

教學內(nèi)容：Cramer法則是我校自編教材《線性代數(shù)與解析幾何》第一章第五節(jié)的內(nèi)容，具體內(nèi)容如下：

定理1.3 若線性方程組

a11x1+a12x2+…a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2……an1x1+an2x2+…annxn=bn，

的系數(shù)行列式D≠0，則它有唯一解

xj= ，j=1，2…，n

其中Dj是把D的第j列換成常數(shù)列所得到的行列式，

即：Dj= bkAkj。

證：把xj= ，（j=1，2，…，n）代入線性方程組得：

aijxj= aijxj = aijDj

= aij bkAkj

= bk ai j Ak j

= bk？啄ikD，i=1，2，…，n其中：？啄ik=0 i≠k1 i=k，因此這組值是線性方程組的解。

……

（唯一性的證明略）

教學難點分析：Cramer法則的結(jié)論簡潔直觀，結(jié)論的證明過程具有高度的概括性和抽象性，具有顯著的“數(shù)學之美”，但在實際教學過程中發(fā)現(xiàn)，對于初學線性代數(shù)的大一新生而言要較好地理解上述證明過程具有一定的難度。

學生學情分析：學生在學習該內(nèi)容之前已經(jīng)在第一節(jié)中利用中學階段學習的線性方程組求解結(jié)果得到了關(guān)于二階行列式和三階行列式的相關(guān)結(jié)論；在之后的章節(jié)中已經(jīng)學習過n階行列式的系統(tǒng)理論，已經(jīng)具備了掌握上述證明過程的基本知識。但對于此時接觸線性代數(shù)知識體系只有兩周左右的大一新生，在抽象表述和思維能力方面還具有一定的局限性，要理解好證明過程具有一定的難度，特別是與多維坐標相聯(lián)系的求和抽象表示符號上難以很好地掌握。

教學難點破解：結(jié)合教學難點和學情分析，考慮到自然規(guī)律認知過程，在具體教學實施過程中引入了啟發(fā)式教學法，做如下設(shè)計：

首先引導學生將結(jié)論代入一個具體的方程進行分析：把xj= ，（j=1，2…，n）代入線性方程組的第一個方程得：（分析過程中有意識將行、列對齊，方便學生在后續(xù)分析加強理解）

a11 +a12 +…+a1n

= [a11（b1A11+b2A21+…+bnAn1）]+a12（b1A12+b2A22+…+bnAn2） （*）

+…+a1n（b1A1n+b2A2n+…+bnAnn]

= [b1（a11A11+a12A12+…+a1nA1n）

+b2（a11A21+a12A22+…+a1nAn2） （**）

+…+bn（a11An1+a12A2n+…+a1nAnn]

=b1

然后利用觀察啟發(fā)和討論啟發(fā)兩種不同的方式來進行設(shè)問和思維引導：（1）上述過程是否可以采用更加簡潔、抽象的數(shù)學表示形式？（2）如何將上述過程改寫為對任意一個方程來進行表述？

在對問題（1）的回答過程中引導學生首先將（*）式中每個小括號內(nèi)的求和表達式（即每一行內(nèi)部）按照Akj行坐標的順序采用求和符號可簡記為 bkAkj，再將（*）式不同行之間的求和運算按照Akj和a1j下列坐標的順序簡記為 a1j bkAkj；對于（**）式也進行上述分析，這樣學生可以通過自己的主動思維，較好地理解與多維坐標相聯(lián)系的雙重求和符號 （…） （…）的實際意義及其變換順序為 （…） （…）的實際過程，為后續(xù)的學習提供較好的基礎(chǔ)。在對問題（2）的回答過程中引導學生深刻理解線性方程組的系數(shù)行列式中元素的行坐標與方程之間的實際聯(lián)系，使學生深刻理解線性方程組的系數(shù)行列式中元素行坐標、列坐標與方程表達式之間的聯(lián)系及其抽象表示。

最后在上述分析的基礎(chǔ)上，讓學生自主寫出定理結(jié)論的證明過程，并對存在的問題進行講解。

教學效果總結(jié)：在實際教學中引入上述啟發(fā)式教學法后，通過對一個具體的方程進行分析，推導出簡潔的抽象表述，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認知規(guī)律。學生反映對于學習中的難點有了更加直觀和深刻的理解，有助于線性代數(shù)學習初期抽象表述能力、抽象思維能力的培養(yǎng)和提高。

本文結(jié)合線性代數(shù)教學中啟發(fā)式教學法的應用，以Cramer法則的證明為例，探討了對教學具體環(huán)節(jié)的改進，目的是克服教學中的難點，達到教學目標，這一改進在實際教學中取得了良好的效果。

線性代數(shù)課程由于內(nèi)容抽象等特點，使其教與學的過程中存在一定的困難，而啟發(fā)式教學法在線性代數(shù)課程的實際教學中體現(xiàn)出了獨特的優(yōu)勢，不僅可以加深學生對抽象內(nèi)容的理解，也可引導學生在分析實際問題時透過表面現(xiàn)象去探尋本質(zhì)，從而提高抽象表述能力、抽象推理能力、協(xié)作探索能力等，提高數(shù)學綜合素質(zhì)及應用能力。但是，由于線性代數(shù)實際教學課時的限制，在完整的課程教學中如何系統(tǒng)、有效地實施啟發(fā)式方法仍有一些問題需要進行深入探討。

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編輯 薛直艷