楊志遠(yuǎn)，程中華，鄧立杰

（軍械工程學(xué)院，石家莊　050003）

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基于費(fèi)效分析的裝備延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策*

楊志遠(yuǎn)，程中華，鄧立杰

（軍械工程學(xué)院，石家莊050003）

摘要：保修機(jī)制是部隊(duì)引入承制方裝備維修力量的重要途徑，延伸保修對(duì)裝備的壽命周期費(fèi)用以及承制方保修費(fèi)用有很大影響。針對(duì)軍方延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策問(wèn)題，在對(duì)維修策略分析的基礎(chǔ)上，綜合考慮裝備維修費(fèi)用和可用度，建立了延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策相關(guān)模型，結(jié)合裝備承制方保修成本及軍方裝備維修費(fèi)用——效能分析，得到了在不同價(jià)格區(qū)間內(nèi)延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策，并給出了特定條件下存在的雙贏延伸保修價(jià)格區(qū)間，最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了模型的有效性。

關(guān)鍵詞：延伸保修，費(fèi)效分析，購(gòu)買(mǎi)決策

0　引言

目前承制單位保障力量已經(jīng)成為部隊(duì)裝備維修保障力量的重要組成部分，保修機(jī)制是引入承制單位保障力量的重要途徑，也是常用方法。保修可以分為初始保修和延伸保修，其在裝備壽命周期內(nèi)的實(shí)施階段如圖1所示，初始保修期即質(zhì)保期一般包含在裝備的購(gòu)買(mǎi)合同中。

圖1裝備壽命周期圖

延伸保修對(duì)于裝備的壽命周期費(fèi)用及可用度具有重要影響。對(duì)于軍方來(lái)說(shuō)，科學(xué)地選擇延伸保修可以減少維修費(fèi)用，提高裝備保障效益；對(duì)于承制方來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)延伸保修價(jià)格大于成本時(shí)，才會(huì)提供延伸保修服務(wù)。所以延伸保修價(jià)格會(huì)直接影響雙方的決策，而對(duì)于部隊(duì)和裝備承制方這種特殊的買(mǎi)賣(mài)關(guān)系，延伸保修服務(wù)的價(jià)格通?？梢栽诤侠淼膮^(qū)間內(nèi)進(jìn)行協(xié)商。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者就延伸保修的成本費(fèi)用問(wèn)題進(jìn)行了建模研究［1-3］。但這些研究均未考慮可用度對(duì)延伸保修決策的影響，而對(duì)于軍用裝備可用度又是一項(xiàng)十分重要的指標(biāo)。鑒于此，本文在綜合考慮裝備維修成本和可用度的基礎(chǔ)上，通過(guò)費(fèi)用-效益分析決策是否購(gòu)買(mǎi)延伸保修以及相應(yīng)延伸保修服務(wù)價(jià)格區(qū)間。

1　延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策費(fèi)用-效能分析過(guò)程

本文選擇裝備壽命周期內(nèi)的平均可用度作為效能指標(biāo)且只考慮裝備維修費(fèi)用及故障停機(jī)費(fèi)用。延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策費(fèi)用-效能分析過(guò)程如圖2所示。

圖2費(fèi)用-效能分析過(guò)程

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是在具體維修策略下，分別建立軍方在購(gòu)買(mǎi)和不購(gòu)買(mǎi)延伸保修下的費(fèi)效模型，結(jié)合承制方提供延伸保修服務(wù)的成本，通過(guò)對(duì)比分析裝備效費(fèi)比變化得出在不同價(jià)格區(qū)間下的裝備延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策。

2　最小維修-不完全預(yù)防性維修策略

假設(shè)裝備在壽命周期內(nèi)的故障率是遞增型，本文在裝備壽命周期內(nèi)所采用的最小維修-不完全預(yù)防性維修策略是指在保修期和延伸保修期內(nèi)，由于裝備在承制方保證下，且故障率相對(duì)較低，所以此時(shí)裝備故障由生產(chǎn)商免費(fèi)采取最小維修，維修后裝備故障率不變；當(dāng)裝備使用超過(guò)保修期，由于此時(shí)裝備工齡較長(zhǎng)，所以故障率也隨之增高，且故障損失均由軍方承擔(dān)，為降低故障率，預(yù)防裝備在使用過(guò)程中發(fā)生故障，提高裝備可用度，軍方制定相應(yīng)地預(yù)防性維修計(jì)劃定期對(duì)裝備進(jìn)行不完全預(yù)防性維修，維修后裝備故障率下降，介于“恢復(fù)如新”和“恢復(fù)如舊”之間。Kim（2004）［4］證明了此種維修策略存在的合理性，預(yù)防性維修可一定程度上降低后期裝備的維修費(fèi)用，從而降低裝備的全壽命周期費(fèi)用。對(duì)在預(yù)防性維修間隔期內(nèi)發(fā)生的故障采用最小維修策略，這部分費(fèi)用也由軍方承擔(dān)。

3　延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策模型

3.1模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明

對(duì)生命周期長(zhǎng)度為L(zhǎng)的裝備進(jìn)行分析，其包含長(zhǎng)度為W的初始保修期，部隊(duì)采購(gòu)裝備時(shí)，可以選擇以CW的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)長(zhǎng)度為We延伸保修服務(wù)，裝備維修采取最小維修-不完全預(yù)防性維修組合策略。裝備的初始故障率為r0（t），單次最小維修成本為Cr；當(dāng)維修水平為m時(shí)，不完全預(yù)防性維修費(fèi)用為Cm，T為不完全預(yù)防性維修間隔期。以往研究中通常不考慮維修時(shí)間影響，由于本文需要考慮裝備可用度，所以相應(yīng)維修時(shí)間不能忽略，令Tp為預(yù)防性維修時(shí)間，Tf為最小維修時(shí)間，假設(shè)由于維修所造成的單位時(shí)間平均損失為c。那么，部隊(duì)每次進(jìn)行最小維修的總費(fèi)用為：Cf=C0+cTf；預(yù)防性維修總費(fèi)用為：Cp=Cm+cTp。

假設(shè)裝備的壽命周期內(nèi)，在時(shí)間序列τ1，τ2，τ3，…，τj上進(jìn)行預(yù)防性維修，假設(shè)預(yù)防性維修工作起始時(shí)間τ0=0。文中裝備預(yù)防性維修工作采取不完全維修策略。本文在Kijima（1989）［5］提出的虛擬工齡法基礎(chǔ)上，結(jié)合Sahin（1996）［6］對(duì)裝備保修期過(guò)后維修策略的研究來(lái)處理不完全預(yù)防性維修策略建模問(wèn)題。Kim（2004）［4］提出不完全維修后虛擬工齡的降低與維修水平m直接相關(guān)。假設(shè)維修工作的記憶性為1，即本階段維修效果只與前一階段狀態(tài)相關(guān)，令vj表示第j次不完全預(yù)防性維修后裝備的虛擬工齡，其中j≥1。那么，對(duì)于給定的維修水平m，第j次預(yù)防性維修后裝備的虛擬工齡為：

vj=vj-1+λ（m）（τj-τj-1），其中v0=0（1）

其中，λ（m）表示不完全預(yù)防性維修改善因子，它是取值范圍為［0，1］的關(guān)于m的減函數(shù)，因此，當(dāng)維修水平m提高時(shí)，λ（m）減小，虛擬工齡減少程度就越大，即維修效果越好。令M為維修水平的最大值，此時(shí)λ（M）=0，即“修復(fù)如新”狀態(tài)；當(dāng)λ（0）=1時(shí)，即“修復(fù)如舊”狀態(tài)。由于本文中采取不完全預(yù)防性維修策略，所以維修水平m的取值范圍應(yīng)為（0，M）。

在對(duì)虛擬工齡方法分析的基礎(chǔ)上，假設(shè)在裝備壽命周期內(nèi)預(yù)防性維修水平均相同，即m為定值。由此，裝備在t時(shí)刻的虛擬工齡v（t）可表示為：

v（t）=vj-1+t-τj-1，其中τj-1≤t＜τj，j≥1（2）由于文中假設(shè)維修時(shí)間忽略不計(jì)，所以，在不完全預(yù)防性維修下，裝備的故障率函數(shù)可表示為：

r［v（t）］=r（vj-1+t-τj-1），其中τj-1≤t＜τj，j≥1（3）

為方便管理和實(shí)施，在實(shí)際應(yīng)用中預(yù)防性維修間隔期通常是確定的，文中假設(shè)預(yù)防性維修間隔期為T(mén)。在上文分析基礎(chǔ)上，可以得到在無(wú)延伸保修服務(wù)情況下，裝備壽命周期內(nèi)的預(yù)防性維修時(shí)間τj及預(yù)防性維修次數(shù)n1：

考慮到預(yù)防維修開(kāi)始時(shí)刻是在保修期W結(jié)束后，在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，得到在無(wú)延伸保修服務(wù)情況下不完全預(yù)防性維修策略的裝備故障率函數(shù)：

與此類似，可以得到有延伸保修服務(wù)情況下各函數(shù)的表達(dá)式。τj和n2可表示為：

不完全預(yù)防性維修策略下購(gòu)買(mǎi)延伸保修服務(wù)裝備的故障率函數(shù)：

3.2承制方延伸保修成本模型

承制方提供延伸保修服務(wù)利潤(rùn)C(jī)P的值即為延伸保修價(jià)格以及延伸保修成本（EWC）的差值，即：

CP=Cw-EWC（10）

對(duì)生產(chǎn)者而言，只有CP≥0時(shí)，生產(chǎn)商才會(huì)提供延伸保修服務(wù)。所以，承制方所能接受的延伸保修服務(wù)的最低價(jià)格為：

Cw=EWC（11）

最小維修的特性是一個(gè)非齊次泊松過(guò)程，由此可得：

3.3軍方延伸保修費(fèi)用-效益模型

對(duì)軍方而言，在決策是否購(gòu)買(mǎi)延伸保修時(shí)，不僅要考慮成本問(wèn)題，還需要考慮裝備在壽命周期內(nèi)的可用度問(wèn)題。只有綜合權(quán)衡壽命周期內(nèi)費(fèi)用和可用度，才能科學(xué)決策以提高裝備保障利益。為此，我們采用壽命周期內(nèi)的單位時(shí)間費(fèi)效比V值作為是否購(gòu)買(mǎi)延伸保修服務(wù)的依據(jù)，所謂壽命周期內(nèi)單位時(shí)間費(fèi)效比是指壽命周期內(nèi)單位時(shí)間所需的維修保養(yǎng)費(fèi)用與裝備可用度的比值，它從定量角度對(duì)裝備壽命周期內(nèi)的維修費(fèi)用和可用度進(jìn)行了綜合考慮。單位時(shí)間費(fèi)效比函數(shù)表達(dá)式如下：

其中，A表示裝備可用度，C表示與維修活動(dòng)相關(guān)的費(fèi)用，L表示壽命周期長(zhǎng)度，為方便分析，這里假設(shè)裝備壽命周期L為固定值。

在考慮消費(fèi)者利益的情況下，消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)延伸保修服務(wù)后的效用應(yīng)大于不購(gòu)買(mǎi)的效用，即：

U（V1）≤U（V2）（14）

其中，U（x）為消費(fèi)者的效用函數(shù)，V1為不購(gòu)買(mǎi)延伸保修服務(wù)裝備費(fèi)效比，V2為購(gòu)買(mǎi)延伸保修服務(wù)裝備費(fèi)效比。在本文中，當(dāng)x表示費(fèi)效比時(shí)，U（x）應(yīng)為減函數(shù)，所以式（14）的條件可化為：V1≥V2（15）壽命周期內(nèi)裝備期望可用度可表示為：

式（16）中，D表示裝備在壽命周期內(nèi)的停機(jī)時(shí)間，它由最小維修時(shí)間和預(yù)防性維修時(shí)間構(gòu)成。

在無(wú)延伸保修情況下，消費(fèi)者在裝備壽命周期內(nèi)與維修相關(guān)的期望費(fèi)用包括預(yù)防性維修費(fèi)用、保修期內(nèi)故障停機(jī)費(fèi)用以及保修期之后的最小維修費(fèi)用，可表示為：

期望停機(jī)時(shí)間包括預(yù)防性維修停機(jī)時(shí)間以及最小維修停機(jī)時(shí)間，可表示為：

由式（16）和式（18）可得裝備在無(wú)延伸保修情況下的期望可用度A1為：

根據(jù)式（17）和式（19），可得裝備在無(wú)延伸保修情況下對(duì)于消費(fèi)者的費(fèi)效比V1：

同理可得，在延伸保修服務(wù)情況下，消費(fèi)者在裝備壽命周期內(nèi)與維修相關(guān)的期望費(fèi)用為：

C2=Cnp+Cw（21）

其中，Cnp為裝備壽命周期內(nèi)消費(fèi)者的維修費(fèi)用與停機(jī)費(fèi)用，其與式（17）有相同形式，可表示為：

期望停機(jī)時(shí)間為：

由式（16）和式（23）可得裝備在延伸保修服務(wù)情況下的期望可用度A2為：

根據(jù)式（22）和式（24），可得裝備在延伸保修情況下對(duì)于消費(fèi)者的費(fèi)效比V2：

根據(jù)式（15），可得消費(fèi)者決策購(gòu)買(mǎi)延伸保修必須具備的條件為：由此可得消費(fèi)者可接受的延伸保修服務(wù)價(jià)格為：

將相關(guān)函數(shù)帶入（27）即可得EWPmax為：

在考慮可用度情況下，消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)延伸保修的綜合收益CB可表示為：

CB=EWPmax-Cw（29）

在以上模型的基礎(chǔ)上，有以下幾種情況：

（1）當(dāng)EWPmax≤EWC時(shí)，提供或購(gòu)買(mǎi)延伸保修對(duì)于雙方均是無(wú)效益的。

（2）當(dāng)EWC＜EWPmax時(shí)，有以下3種情況：

①當(dāng)Cw≤EWC時(shí)，承制方不會(huì)提供延伸保修服務(wù)，此時(shí)裝備需由軍方自主維修；

②當(dāng)EWC≤Cw≤EWPmax時(shí)，購(gòu)買(mǎi)延伸保修既可優(yōu)化裝備相關(guān)維修費(fèi)用和可用度，提高消費(fèi)者在裝備壽命周期內(nèi)的效用水平，又能滿足生產(chǎn)商的利益需求；

③當(dāng)EWPmax≤Cw時(shí)，延伸保修不會(huì)提升裝備維修保障效益，此時(shí)不購(gòu)買(mǎi)延伸保修，裝備由軍方自主維修。

綜上所述，只有當(dāng)Cw∈［EWC，EWPmax］時(shí)，雙方才能達(dá)成購(gòu)買(mǎi)延伸保修服務(wù)協(xié)定，且對(duì)雙方都有利。

4　示例分析

假設(shè)某裝備的故障服從威布爾分布，故障率函數(shù)形式如下：

其中，β為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)。

對(duì)于表明不完全預(yù)防性維修效果的改善因子λ（m），本文采用kim在文獻(xiàn)［4］中提出的形式：

λ（m）=（1+m）e-m，m=1，2，3，…

表1給出了5種不同維修水平（即m值）下，改善因子λ（m）的取值以及相應(yīng)的維修費(fèi)用。

表1不同維修水平m下相應(yīng)改善因子及維修費(fèi)用

在裝備故障率函數(shù)中，令β=2，η=2，即裝備的首次故障時(shí)間期望值是1.77年。裝備壽命周期L=7年，保修期W=2年，延伸保修期限We=4年；不完全預(yù)防性維修間隔期T=0.33年，即每年進(jìn)行3次預(yù)防性維修；為方便分析，假設(shè)每次預(yù)防性維修時(shí)間Tp=2天；故障維修時(shí)間Tf=5天，維修費(fèi)用Cr=200元，每天的停機(jī)損失費(fèi)用為c=40元；文中假設(shè)每年為360天。

運(yùn)用文中建立的數(shù)學(xué)模型及以上的參數(shù)設(shè)置，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到在最小維修-不完全預(yù)防性維修組合策略下延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策所對(duì)應(yīng)的價(jià)格區(qū)間，在不同預(yù)防性維修水平m下購(gòu)買(mǎi)延伸保修的價(jià)格區(qū)間以及裝備單位時(shí)間費(fèi)效比變化如表2所示，除表中所給出的延伸保修價(jià)格區(qū)間外，在初始保修結(jié)束后，裝備均由部隊(duì)自主保障。

表2不同維修水平下費(fèi)效比及購(gòu)買(mǎi)決策區(qū)間

由于不完全預(yù)防性維修是在裝備保修期結(jié)束后進(jìn)行的，其對(duì)承制方保修成本沒(méi)有影響，所以在不同維修水平下EWC的值不變。隨著維修水平m的上升，單位時(shí)間內(nèi)裝備的費(fèi)效比呈先減少后增長(zhǎng)的趨勢(shì)且Cnp/A2≤V1，因此，軍方才有可能購(gòu)買(mǎi)延伸保修服務(wù)。當(dāng)延伸保修價(jià)格在表中所列的區(qū)間內(nèi)時(shí)，軍方和承制方才能同時(shí)獲益，如當(dāng)m=3時(shí)，Cw的取值范圍為［600，808.06］，如圖3所示，理論上最合理的延伸保修價(jià)格應(yīng)該是兩個(gè)端點(diǎn)的平均值即704.03，這時(shí)，生產(chǎn)商利潤(rùn)C(jī)P= 104.03，在考慮可用度情況下軍方的綜合收益也為CB=104.03。

圖3 m=3時(shí)的延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策價(jià)格區(qū)間圖

當(dāng)故障率函數(shù)尺度參數(shù)值以及最小維修費(fèi)用Cr變化時(shí)，固定m=3，形狀參數(shù)β=2和其他參數(shù)值，運(yùn)用文中所提出的數(shù)學(xué)模型計(jì)算出不同數(shù)值所對(duì)應(yīng)的購(gòu)買(mǎi)延伸保修所對(duì)應(yīng)的價(jià)格區(qū)間，具體結(jié)果見(jiàn)表3所示。

表3不同維修費(fèi)用及故障率下延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策價(jià)格區(qū)間

當(dāng)η=1時(shí)，表示首次故障時(shí)間期望為0.88年；η=2時(shí)，表示首次故障時(shí)間期望值為1.77年；η=3時(shí)表示首次故障時(shí)間期望值為2.66年?？梢钥闯鲭S著η的值提高，裝備的可靠性是逐漸提高的。由表中的數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出，當(dāng)裝備故障率過(guò)高時(shí)，EWC＞EWPmax，承制方一般不會(huì)提供延伸保修服務(wù)；當(dāng)Cr固定時(shí)，隨著裝備可靠性的增加，承制方提供延伸保修服務(wù)的最低價(jià)格即延伸保修成本（EWC）降低，而軍方可接受的延伸保修最高價(jià)格EWPmax升高。所以，在初始保修結(jié)束后，是否提供延伸保修在一定程度上也可以作為判斷裝備可靠性的參考?？梢钥闯?，如果承制商提供的裝備可靠性高，提供延伸保修可以為承制方帶來(lái)巨大的利潤(rùn)。如在Cr=150的情況下，如果延伸保修定價(jià)為EWC和EWPmax的平均值，當(dāng)η=2時(shí)，生產(chǎn)商利潤(rùn)C(jī)P=169.65；當(dāng)η=3時(shí)，CP=633.4。

5　結(jié)論

延伸保修作為初始保修結(jié)束后的一種契約式的服務(wù)合同，對(duì)于軍方和承制方都具有重要意義。本文在對(duì)延伸保修服務(wù)分析的基礎(chǔ)上，提出了關(guān)于延伸保修購(gòu)買(mǎi)決策問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)示例驗(yàn)證了模型的有效性并給出了不同延伸保修服務(wù)價(jià)格下軍方和承制方的決策以及可能存在的雙方共贏

的延伸保修價(jià)格區(qū)間。為軍方科學(xué)決策是否購(gòu)買(mǎi)延伸保修以及雙方合理確定延伸保修價(jià)格提供了參考方法。本文只考慮了在裝備壽命周期固定時(shí)，采用最小維修-不完全預(yù)防性維修策略下的延伸保修定價(jià)問(wèn)題，存在一定的局限性，在未來(lái)工作中可以針對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行深入研究。

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Research on Equipment Extended Warranty Purchase Decision- Making Based on Cost- Effectiveness Analysis

YANG Zhi-yuan，CHENG Zhong-hua，DENG Li-jie
（Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

Abstract：Warranty is an important way to introduce manufacture’s maintenance resource into the army，and the extended warranty has significant effect on manufacturer’s warranty cost and equipment’s Life Cycle Cost（LCC）. In order to make a decision for the problem whether purchasing the extended warranty，in this paper a mathematical decision model to obtain the extended warranty purchase decision-making strategy under different price interval based on the analysis of extended warranty policy by balanced the benefit of manufacturer and military is developed. The model also allows looking if there is zone of compromise yielding a win-win relationship with respect to the cost and availability of the product. At last，the model proved to be practical by the case study.

Key words：extended warranty，cost-effectiveness analysis，purchase decision-making

作者簡(jiǎn)介：楊志遠(yuǎn)（1990-），男，河北石家莊人，碩士研究生。研究方向：裝備保障理論與應(yīng)用。

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（70971135）

收稿日期：2015-01-21

文章編號(hào)：1002-0640（2016）02-0018-05

中圖分類號(hào)：F270

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

修回日期：2015-03-06