羅增儒

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數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐（上）

羅增儒

羅增儒，男，漢族，1945年1月生，廣東省惠州市人，陜西師范大學(xué)教授、博導(dǎo)。曾先后擔(dān)任陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究所所長、教務(wù)處處長等職務(wù)。中國數(shù)學(xué)奧林匹克首批高級(jí)教練。從事數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)競賽論、數(shù)學(xué)解題論的教學(xué)與研究。獲國家級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果二等獎(jiǎng)1次，省級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果獎(jiǎng)4次，1994年10月起享受國務(wù)院政府特殊津貼，1999年獲曾憲梓教育基金會(huì)全國高師優(yōu)秀教師獎(jiǎng)。

1.數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識(shí)

對(duì)于數(shù)學(xué)教師來說，再也沒有比“數(shù)學(xué)解題”更熟悉的專業(yè)詞匯了，再也沒有比“解題教學(xué)”更平常的專業(yè)活動(dòng)了。但是，什么叫題、什么叫解題、什么叫解題教學(xué)，我們都能說清楚、講明白嗎？說來見笑，我確實(shí)想了好多年都沒有想清楚，確實(shí)曾經(jīng)擔(dān)憂會(huì)面臨這樣的尷尬：解了一輩子題，卻說不清“什么叫解題”，教了一輩子書，卻說不清“什么叫解題教學(xué)”。

1-1什么叫數(shù)學(xué)題

（1）界定。數(shù)學(xué)題（簡稱題）是指數(shù)學(xué)上要求回答或解釋的事情，需要研究或解決的矛盾。

（2）解釋。對(duì)數(shù)學(xué)家而言，僅當(dāng)事情的真假未被判定時(shí)才成為問題，如哥德巴赫猜想，而一旦解決了就稱為定理（公式），不成為問題了。這更多地體現(xiàn)了需要研究或解決的矛盾。數(shù)學(xué)教學(xué)中則把結(jié)論已知的事情也稱為題，因?yàn)樗鼘?duì)學(xué)生而言，與數(shù)學(xué)家所面臨的問題相比，情景是相似的，性質(zhì)是相同的。這時(shí)候的數(shù)學(xué)題是指為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而要求師生們解答的事情，重點(diǎn)在要求回答或解釋上。

（3）基本要素。數(shù)學(xué)題的標(biāo)準(zhǔn)形式包括兩個(gè)最基本的要素：①條件（已知，前提），②結(jié)論（未知，求解，求證，求作等）。條件是問題解決的起點(diǎn)，結(jié)論是問題解決的目標(biāo)。問題的關(guān)鍵在于，達(dá)到目標(biāo)對(duì)問題解決者來說存在一定的障礙。因此，問題具有目標(biāo)性、障礙性和相對(duì)性，問題的實(shí)質(zhì)是：從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)之間的障礙，由現(xiàn)有水平到客觀需要之間的矛盾（如圖1）。

圖1

（4）特別提示。有人認(rèn)為，概念課、定理課的前半部分是講概念、證定理，后半部分做的才是題。其實(shí)，如何構(gòu)建概念、如何發(fā)現(xiàn)和論證定理也是題。

示例1.如何發(fā)現(xiàn)和論證定理是一道題。二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，原先的教材是作為定理來學(xué)習(xí)的（韋達(dá)定理），課改被刪去后，有的新教材將其編作課后習(xí)題，修訂課標(biāo)時(shí)又恢復(fù)了定理的身份。在這里，題與定理、定理與題并無嚴(yán)格的界線。

示例2.如何構(gòu)建概念是一道題。初一的學(xué)生既學(xué)了有理數(shù)也學(xué)了直線，感覺兩者沒有什么共同的地方。如何構(gòu)建有理數(shù)（無窮數(shù)集）與直線（無窮點(diǎn)集）的對(duì)應(yīng)，從而建立起數(shù)軸的概念？這就是一道題。然后，根據(jù)有理數(shù)的結(jié)構(gòu)（負(fù)有理數(shù)、0、正有理數(shù)），首先改造直線（主要是加上三要素：原點(diǎn)、單位和方向），再把0放在原點(diǎn)上，把正有理數(shù)放在直線的正方向上，把負(fù)有理數(shù)放在直線的負(fù)方向上（其中，整數(shù)放在格點(diǎn)上，兩整數(shù)之間的分?jǐn)?shù)放在相應(yīng)兩格點(diǎn)之間），建立起數(shù)軸，就是解了一道數(shù)學(xué)題。學(xué)生在這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)到了數(shù)軸的概念，感悟了集合與對(duì)應(yīng)的思想，體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的提煉過程，就是在學(xué)習(xí)解題，就是解了一道數(shù)學(xué)題，就是在通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去學(xué)會(huì)思維。

在這里，如何構(gòu)建概念是一道題，構(gòu)建出概念就是解了一道題，并且構(gòu)建的方法可以不唯一，而怎樣進(jìn)行概念教學(xué)的方法其實(shí)就是一個(gè)宏觀解題程序。

示例3.感悟公理本質(zhì)思想也是題——體驗(yàn)兩點(diǎn)確定一條直線。

第一、活動(dòng)體驗(yàn)

活動(dòng)1.請(qǐng)一個(gè)學(xué)生（甲）站起來，然后請(qǐng)其他學(xué)生自己確定，凡是能與甲同學(xué)共線的就站起來。（可以提問：你是怎么確定你該不該站起來的？你和他們不在一條直線上，你為什么站起來？）

小結(jié)：過一點(diǎn)的直線是不唯一的，所以每個(gè)同學(xué)都可以與甲同學(xué)共線。（參見圖2，經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線）

活動(dòng)2.請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生站起來，然后請(qǐng)其他學(xué)生自己確定，凡是能與這兩個(gè)同學(xué)共線的就站起來。（可以提問：你是怎么確定你該不該站起來的？什么是直？）

小結(jié)：兩點(diǎn)確定一條直線，所以有且只有一斜排學(xué)生與這兩個(gè)同學(xué)共線。（參見圖3，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線）

活動(dòng)3.請(qǐng)三個(gè)學(xué)生站起來，然后請(qǐng)其他學(xué)生自己確定，凡是能與這三個(gè)同學(xué)共線的就站起來。

（1）當(dāng)三個(gè)學(xué)生共線時(shí)（圖3）；

（2）當(dāng)三個(gè)學(xué)生不共線時(shí)（圖4）。

小結(jié)：經(jīng)過三點(diǎn)可能有一條直線，也可能沒有直線（圖4中，三點(diǎn)不共線時(shí)不能確定直線，而不是“不共線的三點(diǎn)確定三條直線”）。

第二、數(shù)學(xué)感悟感悟1.由上述活動(dòng)，你能感悟到什么數(shù)學(xué)結(jié)論？總結(jié)（直線公理）：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線（兩點(diǎn)確定一條直線）。

感悟2.由上述活動(dòng)和直線公理，你能感悟到直線有些什么樣的本質(zhì)特征？

直線的本質(zhì)特征有：由無窮個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)連續(xù)圖形，兩端可以無窮延伸，很直很直等，但這些都難以嚴(yán)格定義。描述它們的一個(gè)辦法是用公理來刻畫，本節(jié)課中的直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線（兩點(diǎn)確定一條直線），正是直線本質(zhì)特征的一個(gè)刻畫。試想，如果直線不是很直很直的，那么經(jīng)過兩點(diǎn)就可以連出很多的曲線。同樣，如果直線不是兩端可以無窮延伸的，那么經(jīng)過兩點(diǎn)的線段就可以延伸出長短不一的很多的直線來。所以，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線表明：直線是由無窮多個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)連續(xù)圖形，兩端可以無窮延伸，很直很直（應(yīng)該能用公理解釋直線，也能用直線解釋公理）。

圖2

圖3

圖4

示例4.如何尋找直角三角形的代數(shù)表示就是一道題，找出勾股定理及其逆定理就是解了一道題。從中可以增生直角三角形的運(yùn)算功能（能根據(jù)直角三角形的部分元素計(jì)算出直角三角形的所有元素），可以感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)換與化歸的數(shù)學(xué)思想、不變量的思想、分解與組合的數(shù)學(xué)思想、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想等。這一過程，就是在學(xué)習(xí)解題，就是在通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去學(xué)會(huì)思維。這時(shí)，幾何上的直角三角形與代數(shù)上的等式也合二為一了。

下面的設(shè)計(jì)沒有體現(xiàn)這些思想：測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊長度，并將各邊的長度填入下表。根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長度之間的關(guān)系。

三角尺　直角邊a直角邊b　斜邊c　關(guān)系

這個(gè)活動(dòng)的設(shè)計(jì)值得商榷，一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數(shù)。學(xué)生猜想邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系就已經(jīng)不是件容易的事，比如，學(xué)生可以由32=4+5和52=12+13，猜想a2=b+c（還可能有的學(xué)生得出a整除b+c），更何況要猜想三個(gè)非整數(shù)之間的平方關(guān)系。這樣處理，容易導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)盲目的猜想和虛假的探究，在這盲目和虛假中知識(shí)夾生、變相填鴨和浪費(fèi)時(shí)間。（注意，由a2=c2-b2=（c+b）（c-b），取c-b=1可知，有無窮個(gè)直角三角形，其三邊滿足a2=b+c）

1-2什么叫數(shù)學(xué)解題

（1）界定。解題就是解決問題，即求出數(shù)學(xué)題的答案。這個(gè)答案在數(shù)學(xué)上也叫做解。所以，解題就是找出題的解的活動(dòng)。小至一個(gè)學(xué)生算出作業(yè)的答案，一個(gè)教師講完概念的構(gòu)建與定理的證明，大至一個(gè)數(shù)學(xué)課題得出肯定或否定的結(jié)論，一個(gè)數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用于實(shí)際、構(gòu)建出適當(dāng)?shù)哪Ｐ偷?，都叫做解題。（如上所說，我們認(rèn)為“概念的構(gòu)建、定理的發(fā)現(xiàn)與證明”等都是在解題）

（2）解釋。常規(guī)的數(shù)學(xué)題包括兩個(gè)要素：條件與結(jié)論。解題就是溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系（論證），又包括解和解題依據(jù)（論據(jù)），因此解題一共有4個(gè)要素：①條件，②結(jié)論，③解（溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系），④解題依據(jù)。

1-3數(shù)學(xué)解題教學(xué)

作為數(shù)學(xué)教育的解題與數(shù)學(xué)家的解題是既有聯(lián)系又有區(qū)別的。為了更好地理解這里面的關(guān)系，我們首先來說明數(shù)學(xué)家解題與教學(xué)解題的不同，然后指出解題教學(xué)是解題活動(dòng)的教學(xué)。

（1）數(shù)學(xué)解題教學(xué)的初步認(rèn)識(shí)。對(duì)職業(yè)數(shù)學(xué)工作者來說，題是研究的對(duì)象，解是研究的目標(biāo)，解題是其數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式和主要內(nèi)容，解題也是他的存在目的和興奮中心。而對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，并不是要把所有的學(xué)生都培養(yǎng)成職業(yè)數(shù)學(xué)工作者，更多的人是通過數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)推理的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)精神的陶冶、數(shù)學(xué)文化的哺育，開發(fā)智力、促進(jìn)發(fā)展（通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維）。因而數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)解題不僅具有數(shù)學(xué)性質(zhì)（與職業(yè)數(shù)學(xué)工作者有聯(lián)系），還具有教育性質(zhì)（與職業(yè)數(shù)學(xué)工作者有區(qū)別）。

①數(shù)學(xué)家解客觀上結(jié)論未知的題，解題教學(xué)解客觀上結(jié)論已知而學(xué)生主觀上未知的題。

②數(shù)學(xué)家解題是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，解題教學(xué)是師生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程。數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造對(duì)概念的數(shù)學(xué)理解。

③數(shù)學(xué)家把題作為研究的對(duì)象，把解作為研究的目標(biāo)，而解題教學(xué)不僅把題作為研究的對(duì)象，把解作為研究的目標(biāo)，還把解題活動(dòng)作為對(duì)象，把學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維、促進(jìn)人的發(fā)展作為目標(biāo)。

所以，解題教學(xué)的基本含義是，通過典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)，探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)家那樣數(shù)學(xué)地思維。

在數(shù)學(xué)解題研究中，教師研究的內(nèi)容和方法（包括一題多解）不應(yīng)該受到任何人為的限制，但教師研究的成果哪些能用于課堂、如何進(jìn)入課堂等都要受到課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生水平等因素的制約。不能懂什么就教什么，也不能教什么就懂什么，應(yīng)該是懂什么遠(yuǎn)大于教什么。

（2）解題教學(xué)是解題活動(dòng)的教學(xué)。這至少有三個(gè)方面的含義。

①解題活動(dòng)是一種思維活動(dòng)。思維活動(dòng)既有過程又有結(jié)果，思路探求主要反映思維活動(dòng)的過程，解題答案主要反映思維活動(dòng)的結(jié)果（同時(shí)也是認(rèn)識(shí)深層結(jié)構(gòu)的中間過程），而獲得答案的實(shí)質(zhì)是發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的過程。

②解題教學(xué)不僅要教解題活動(dòng)的結(jié)果（答案），還要呈現(xiàn)解題活動(dòng)的必要過程——暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動(dòng)。沒有過程的結(jié)果是現(xiàn)成事實(shí)的外在灌輸，沒有結(jié)果的過程是學(xué)習(xí)時(shí)間的奢侈消費(fèi)。解題教學(xué)不僅要獲得答案，還要從獲得答案的過程中學(xué)會(huì)怎樣解題，把過程與結(jié)果結(jié)合起來。

③暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動(dòng)有兩個(gè)關(guān)鍵過程。其一是從沒有思路到獲得初步思路的認(rèn)知過程（我們叫做第一過程的暴露），其二是對(duì)初步思路反思的元認(rèn)知過程（我們叫做第二過程的暴露）。解題教學(xué)不僅要有第一過程的暴露（已引起重視），還要有第二過程的暴露（想知道很多又有很多不知道）。

但是，數(shù)學(xué)解題的思維過程到底是什么樣的呢？目前還沒有統(tǒng)一的理論認(rèn)識(shí)，因而也就沒有明確的實(shí)踐指南，這直接導(dǎo)致了三個(gè)后果：

●很多愿意暴露數(shù)學(xué)解題思維過程的老師常常面臨不知暴露什么或不知如何暴露的尷尬。

●更多教師的解題教學(xué)停留在題目這樣解的層面，更多學(xué)生的解題學(xué)習(xí)停留在記憶模仿、變式練習(xí)的階段（缺少自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析）。我們說，沒有理解的練習(xí)是傻練，會(huì)越練越傻，沒有練習(xí)的理解是空想，會(huì)越想越空。

●以解題為載體的數(shù)學(xué)考試常有大量不及格的學(xué)生（產(chǎn)生差生，或稱為慢生、后進(jìn)生、困難生、潛能生、希望生），數(shù)學(xué)教師在中學(xué)各門課程中付出最多而收效最低。

可喜的是，人們已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)解題的思維過程提出了很多看法（如解題推理論、解題化歸論、解題差異論、解題信息論、解題系統(tǒng)論、解題坐標(biāo)系等），百花齊放的解題觀點(diǎn)其實(shí)就是人們對(duì)數(shù)學(xué)解題思維過程的努力描述。

1-4數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)教育中的重要性

解題能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教師的一個(gè)核心競爭力，數(shù)學(xué)解題是教師發(fā)展平臺(tái)的一個(gè)專業(yè)制高點(diǎn)。中學(xué)教師要提高核心競爭力，占領(lǐng)專業(yè)制高點(diǎn)，就要成為解題專家。解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性至少有以下三個(gè)方面。

（1）數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題的思維實(shí)質(zhì)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。

●解題是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是對(duì)概念、定理的繼續(xù)學(xué)習(xí)，是對(duì)方法的繼續(xù)熟練，是對(duì)思想的繼續(xù)領(lǐng)悟，而不僅僅是規(guī)則的簡單重復(fù)或操作的生硬執(zhí)行。

●尋找解題思路的過程就是尋找條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)之間邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡的過程。在這個(gè)過程中，我們激活知識(shí)、檢索知識(shí)、提取知識(shí)、組織知識(shí)，使解題與發(fā)展同行。

●當(dāng)解題由一個(gè)步驟推進(jìn)到另一個(gè)步驟時(shí)，其實(shí)就是知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與生成；當(dāng)解題由一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)到另一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)時(shí)（比如由形到數(shù)或由數(shù)到形），其實(shí)就是關(guān)系結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系與生成；當(dāng)解題并列著多個(gè)解法時(shí)，其實(shí)就意味著產(chǎn)生不同解法的知識(shí)點(diǎn)之間存在邏輯聯(lián)系或?qū)?yīng)關(guān)系。

●如果說數(shù)學(xué)教育包含數(shù)學(xué)與教育的話，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的地方都一無例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)。如上所說，概念的抽象概括、定理的發(fā)現(xiàn)證明、習(xí)題的探究解答、知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用等都是在解題。尚未出現(xiàn)解題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總給人一種尚未深入到實(shí)質(zhì)或尚未進(jìn)入到高潮的感覺：人們會(huì)問，這是數(shù)學(xué)嗎？這是在學(xué)數(shù)學(xué)嗎？再說了，我們的青少年需要那種缺少數(shù)學(xué)概念、缺少數(shù)學(xué)定理、缺少數(shù)學(xué)習(xí)題、缺少數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)嗎？

上述幾個(gè)示例已經(jīng)表明，把解題僅僅理解為形式化習(xí)題的推理演算，既縮小了數(shù)學(xué)問題的外延，又縮小了數(shù)學(xué)解題的外延。這是一種認(rèn)識(shí)的自我封閉和解題功能的自我削弱。

（2）數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的實(shí)質(zhì)性活動(dòng)，解題活動(dòng)的核心價(jià)值是掌握數(shù)學(xué)。

●如果說學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以有多種形式的話，那么解題就是一種最貼近數(shù)學(xué)思維的實(shí)質(zhì)性活動(dòng)。概念的生成、定理的理解、技能的熟練、方法的掌握、能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)語言的熟悉、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)意識(shí)的形成、數(shù)學(xué)文化的積淀等都離不開解題實(shí)踐活動(dòng)。沒有勤奮而得法的解題訓(xùn)練談不上掌握數(shù)學(xué)！解題活動(dòng)是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維的關(guān)鍵途徑。

●解題不等于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不僅僅是解題。我們還應(yīng)該有解題之外的更多的數(shù)學(xué)活動(dòng)，甚至還應(yīng)該追求更遠(yuǎn)大、更人文的數(shù)學(xué)目標(biāo)。然而，誰要是由此隱喻：疏于解題也能學(xué)好數(shù)學(xué)、不深入數(shù)學(xué)也能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)精神的話，那誰就是在誤解數(shù)學(xué)、離開數(shù)學(xué)，始作俑者是給數(shù)學(xué)來了個(gè)釜底抽薪。

（3）數(shù)學(xué)解題是能力評(píng)價(jià)時(shí)不可削弱的主體構(gòu)成，解題測(cè)試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)。

●通過解題水平來看數(shù)學(xué)思維水平由來已久，盡管不應(yīng)視為唯一的方法,也是當(dāng)前用得最多、操作最方便、公眾認(rèn)可度最高的重要方法。課堂內(nèi)容的掌握情況主要通過包括解題在內(nèi)的練習(xí)、作業(yè)和考試來檢測(cè)，學(xué)業(yè)水平、升學(xué)選拔、能力競賽等基本上都通過解題來評(píng)定。測(cè)試量表、對(duì)話訪談、論文答辯等評(píng)價(jià)形式亦離不開解題。大量的事實(shí)表明（包括中考），解題水平與數(shù)學(xué)思維水平之間存在中度正相關(guān)。

●如果說當(dāng)前的很多解題測(cè)試還存在重知識(shí)、輕能力弊端的話，那也不是因?yàn)橛昧私忸}測(cè)試這種方式，而是如何用好這種方式的問題。數(shù)學(xué)工作者中有解題能力強(qiáng)而數(shù)學(xué)成就不大的，但沒有數(shù)學(xué)成就大而解題能力不強(qiáng)的，這也主要不是解題測(cè)試的毛病，而是：{數(shù)學(xué)成就大}只能是{解題能力強(qiáng)}的子集。

（待續(xù)）

思想