任晨峰

（華北電力大學 能源動力與機械工程學院，保定 071000）

階梯軸軸肩過渡曲線優(yōu)化研究

任晨峰

（華北電力大學 能源動力與機械工程學院，保定 071000）

提出二次曲線+圓弧的過渡曲線理論，利用其代替階梯軸原有的單一形式過渡曲線以及其他含有類似過渡區(qū)域零件的過渡曲線，以降低零件局部的應力集中，起到提高使用壽命的作用。以階梯軸為例，建立二次曲線+圓弧的過渡曲線方程，并進行有限元優(yōu)化分析。分析結果表明，新的過渡曲線可以有效降低軸肩過渡區(qū)域的應力集中。

形狀優(yōu)化 過渡曲線 二次曲線 圓弧 應力集中

應力集中是指物體中局部應力驟增的現(xiàn)象，通常發(fā)生在物體形狀發(fā)生急劇變化的部位。擁有軸肩過渡處的階梯軸的主要失效原因，是軸肩過渡處由于形狀改變而出現(xiàn)的應力集中。階梯軸的過渡曲線，通常采用四分之一圓弧。為了減小其應力集中現(xiàn)象，文獻[1-2]提出利用三次樣條代替原有圓弧。文獻[3]采用雙曲線型線及流線型線作為階梯軸的過渡曲線。文獻[4]則提出利用雙指數(shù)“超圓”和“超橢圓”曲線族來描述過渡曲線。文獻[5]則是以萬向十字軸為例，總結并對比了使用雙曲率曲線、流線型曲線、橢圓形曲線三種曲線后，軸根過渡處的應力集中程度。以上表明，單從形狀上尋求最優(yōu)曲線以降低階梯軸軸肩處的應力集中是可行的。

1 圓弧過渡曲線

由于階梯軸是關于軸線對稱的回旋體，在分析時為了縮短分析時間，可將其簡化為對稱問題。以階梯軸為分析對象，該階梯軸在直線EF處受到垂直向下均布壓力100N。階梯軸上的C點、D點之間是一段由半徑為15mm的四分之一段圓弧構成的過渡曲線，則圓弧過渡曲線為：

利用有限元軟件計算得到應力云圖，該零件在上述描述的工況下的最大應力，出現(xiàn)在過渡曲線中距離C點較近處，為127.051MPa。

2 二次曲線+圓弧過渡曲線

光滑的過渡曲線首先需要滿足曲線兩端與零件相切，在建立的坐標系中，相切即為建立的新的過渡曲線段，在C、D兩點處需滿足由線段BC和DE確定的函數(shù)值與斜率值條件，即：

其中，y(x)為過渡曲線函數(shù)，YC、YD和yC′、yD′分別為坐標系中C點和D點在線段BC和DE上的函數(shù)值以及斜率值。

若利用多項式建立過渡曲線，則根據(jù)4個約束條件，多項式的次數(shù)至少需要由3次，即：

而要將函數(shù)中的相關系數(shù)設計為變量，則至少需要將函數(shù)的階數(shù)提高至4階，共5個變量。但是，過多的設計變量會導致計算量的驟增，難以找到最優(yōu)解。根據(jù)應力云圖的特點，在受力時，軸肩曲線上出現(xiàn)最大應力的位置距離C點較近，說明該處對于荷載較為敏感，而距離D點附近的應力則明顯小于最大應力值。根據(jù)這一特點，利用二次曲線代替距離橫截面較小的曲線段。同時，為了滿足曲線末端的約束條件，繼續(xù)利用圓弧作為距離橫截面較大處的過渡曲線。為了保持過渡曲線的光滑性，使二者在曲線的某處相切。這樣過渡曲線中就只有兩個設計變量，即二次項的系數(shù)a與圓弧的半徑R，過渡曲線形式如下：

根據(jù)上述內容建立本次研究的優(yōu)化模型如下。

優(yōu)化目標：min{max(YL)}

設計變量：a、R

約束條件：S(x1)=y1，S(x2)=y2，S′(x1)=y1′，S′(x2)=y2′，其中YL為過渡曲線中的最大應力。

利用ANSYS軟件中的優(yōu)化工具，對模型進行求解并得到最優(yōu)解。最優(yōu)解和其相對應的變量值，如表1所示。

表1 優(yōu)化結果

此時，對應的過渡曲線為：

優(yōu)化后過渡曲線上的最大應力值為115.57MPa，相較原有過渡曲線時的最大應力127.051MPa，下降了9.04%。

3 結論

本文以一階梯軸為例，介紹了一種利用二次曲線+圓弧的軸肩過渡曲線代替原有圓弧過渡曲線的方法。將二次曲線中的二次項系數(shù)和圓弧的半徑設定為優(yōu)化變量，以軸肩過渡曲線上的最大應力值為優(yōu)化目標，利用ANSYS中的優(yōu)化工具，得到在滿足約束條件下的最優(yōu)解。優(yōu)化后的軸肩過渡區(qū)域的應力集中相較原有形狀有所下降。

[1]吳鳳林，任家駿.軸肩過渡曲線形狀設計研究[J].中國機械工程，1998，9（9）.

[2]羅亞波，張曉東.軸肩過渡曲線形狀優(yōu)化研究[J].武漢理工大學學報：交通科學與工程版，1999，（5）：492-495.

[3]西田正孝.應力集中[M].北京：機械工業(yè)出版社，1986.

[4]芮井中.具有最小應力集中的缺口形狀優(yōu)化方法研究[D].揚州：揚州大學，2009.

[5]陳科，殷磊，陳振華.萬向十字軸軸根過渡結構的優(yōu)化設計和分析[J].中國機械工程，2014，（23）.

Research on the Optimization of Shoulder Transition Curve of Stepped Shaft

REN Chenfeng
(School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071000)

In order to reduce the stress concentration and improve service life.Establish a theory of transition curve which contains both conic and arc.Use the new curve to replace the traditional shoudler transition curve of stepped shaft and other parts like that.Take a stepped shaft as an example,and establish the transition curve equation and use the FEM analysis to optimise the curve.The result indicates that the new stress concentration is relieved by using the new transition curve.

shape optimization,transition curve,conic,arc,stress concentration