周雙嬌

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

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基于乘積季節(jié)模型的湖南衛(wèi)視收視率的分析與預(yù)測

周雙嬌

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

摘要：以湖南衛(wèi)視全天平均收視率為研究對象，考慮到收視率的周期性，引入ARIMA乘積季節(jié)模型對其進(jìn)行分析與預(yù)測.對收視率序列做差分平穩(wěn)化和消除季節(jié)性處理，再通過模型識別與定階，確定選用ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7模型，建立模型并做參數(shù)估計(jì).模型檢驗(yàn)結(jié)果表明：該模型擬合效果好，預(yù)測值與真實(shí)值接近，誤差較小.

關(guān)鍵詞：收視率；乘積季節(jié)模型；時(shí)間序列分析；預(yù)測

電視收視率是指在一定時(shí)段內(nèi)收看某電視頻道或某電視節(jié)目的人數(shù)占總目標(biāo)觀眾人數(shù)的比重，用百分比表示.在電視行業(yè)，收視率是最重要的量化指標(biāo)之一.一方面，電視臺通過收視率來了解觀眾的收視行為和偏好，以便在節(jié)目編排中提高傳播的針對性和有效性；另一方面廣告商也需要根據(jù)收視率，在廣告投放決策上正確地進(jìn)行時(shí)段價(jià)值評估和選擇性購買，從而將有限的廣告費(fèi)用在刀刃上.因此，無論是電視臺還是廣告商，都要對電視臺的已有收視率進(jìn)行深入分析，并對未來的收視率作出預(yù)測，才能在銷售和購買廣告時(shí)段方面實(shí)現(xiàn)價(jià)值最大化.

鑒于收視率的重要性，收視率的分析受到廣泛關(guān)注，收視率的預(yù)測方法和技術(shù)日益成為國內(nèi)外學(xué)者的重點(diǎn)研究對象.早期主要是采用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)預(yù)測收視率[1]或通過決策樹理論進(jìn)行預(yù)測[2],但這2種方法都沒有給出收視率的預(yù)測值；線性回歸模型[3]是預(yù)測收視率較為簡單的方法；文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]都選用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測；此外，還有利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]尋找最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行預(yù)測的方法；文獻(xiàn)[7]基于ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測，并沒有考慮收視率的季節(jié)性；文獻(xiàn)[8]基于收視率預(yù)測模型，分析收視率的主要影響因素、優(yōu)化節(jié)目編排.

本研究在ARIMA模型的基礎(chǔ)上考慮了收視率的季節(jié)性，即收視率有一定的周期性，且以星期為周期,選取2013年4月1日-2014年3月31日湖南衛(wèi)視全天平均收視率數(shù)據(jù)，建立乘積季節(jié)模型ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7進(jìn)行深入分析，并作出預(yù)測.

1乘積季節(jié)模型

時(shí)間序列分析可以將某一現(xiàn)象的發(fā)展變化規(guī)律或某一現(xiàn)象與其他現(xiàn)象之間的內(nèi)在關(guān)系用數(shù)量刻畫出來，還可以運(yùn)用時(shí)序模型預(yù)測和控制現(xiàn)象的未來行為.

在許多實(shí)際問題中，涉及到的時(shí)間序列的變化通常包含周期性規(guī)律，并且這些規(guī)律一般是由季節(jié)(周期)變化所引起.處理這類包含季節(jié)性的時(shí)間序列，首先要對序列做季節(jié)差分消除其季節(jié)性，再建立合適的季節(jié)模型.而遇到的實(shí)際問題通常是季節(jié)性和趨勢性同時(shí)存在的情況，因此必須先剔除序列趨勢性再識別序列的季節(jié)性，不然序列季節(jié)性會被強(qiáng)趨勢性掩蓋，此類問題建?？梢赃x用乘積季節(jié)模型.

ARIMA乘積季節(jié)模型[9]的一般形式如下：

(1)

其中:

Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp;

Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq;

U(BS)=1-u1BS-u2B2S-…-uPBPS;

V(BS)=1-v1BS-v2B2S-…-vQBQS.

2數(shù)據(jù)處理

2.1樣本選取

本研究選取的數(shù)據(jù)為2013年4月1日-2014年3月31日湖南衛(wèi)視全天平均收視率，共365個(gè)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)來源于央視-索福瑞媒介研究(CSM).文中的平均收視率值是觀眾平均每分鐘收看該節(jié)目的百分比，即先計(jì)算每分鐘收視率再取平均值.

2.2數(shù)據(jù)處理

繪制湖南衛(wèi)視全天平均收視率序列{HN}的折線圖如圖1所示，該圖直觀體現(xiàn)了收視率序列具有一定的增長趨勢，且是周期性地重復(fù)這種變化趨勢，故該序列應(yīng)是非平穩(wěn)且有季節(jié)性的波動(dòng).

2.2.1數(shù)據(jù)平穩(wěn)化

為消除原序列的非平穩(wěn)性，這里對序列作差分運(yùn)算.對一階差分后的新序列繪制序列{DHN}圖如圖2所示，由圖2可以看出序列增長趨勢已基本被消除，可以認(rèn)為新序列基本上是平穩(wěn)的.

為了進(jìn)一步確認(rèn)新序列已平穩(wěn)，這里對序列{DHN}進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)——ADF檢驗(yàn)，得到的結(jié)果如表1所示.該檢驗(yàn)的原假設(shè)為序列存在一個(gè)單位根，若檢驗(yàn)結(jié)果拒絕原假設(shè)，則被檢序列是平穩(wěn)序列，否則非平穩(wěn).表1顯示，該序列的t統(tǒng)計(jì)量值為-9.710 101，明顯比1%顯著水平下的臨界值小，故一階差分后的序列{DHN}可以通過平穩(wěn)性檢驗(yàn).至此，已完成了原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理.

表1　序列{DHN}的ADF檢驗(yàn)

2.2.2消除季節(jié)性

序列{DHN}的自相關(guān)和偏自相關(guān)分析圖如圖3所示，由圖3可知,序列偏自相關(guān)系數(shù)在滯后期k>7時(shí)落入隨機(jī)區(qū)間，并且出現(xiàn)截尾現(xiàn)象；自相關(guān)系數(shù)在滯后期k=7,14,21,28時(shí)顯著不為0，其值均大大超出了隨機(jī)區(qū)間的范圍，可見序列的季節(jié)周期為7 d.

為了消除序列的季節(jié)性，對序列{DHN}做步長為7的季節(jié)差分，并用EViews7.2軟件繪制新序列{SDHN}的自相關(guān)與偏自相關(guān)分析圖如圖4所示，由圖4可以看出，經(jīng)過季節(jié)差分后序列的自相關(guān)系數(shù)基本上全部在隨機(jī)區(qū)間內(nèi)，可見季節(jié)性已基本被消除.進(jìn)一步對新序列{SDHN}進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如表2所示，序列t統(tǒng)計(jì)量值為-11.803 58，顯然比1%顯著水平下的臨界值要小，故可以拒絕序列有1個(gè)單位根的原假設(shè)，也就是說序列{SDHN}是平穩(wěn)的.

3模型建立

3.1模型識別與定階

模型識別與定階的最重要工具就是樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)分析圖.由于序列先做一階逐期差分，后做一階七步季節(jié)差分，故可對原序列建立ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)S模型，這里d=1，D=1，S=7，即選用ARIMA(p,1,q)×(P,1,Q)7模型.由圖4可知，非季節(jié)移動(dòng)平均階數(shù)選q=1或q=2比較合適，非季節(jié)自回歸階數(shù)選p=3或q=4比較合適，因此(p,q)可能的組合有(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(0,1)，(0,2)；觀察當(dāng)滯后階數(shù)為7的倍數(shù)時(shí)的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)可知，P=3，Q=1.運(yùn)用EViews7.2建立模型，將這8個(gè)模型的幾個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)值列入表3，比較這些模型的AIC值與SC值可知，ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7模型的AIC值和SC值都是最小的，分別為-12.126 34和-12.047 34，因此將該模型選為最佳模型.模型方程為：

(1-φ1B-φ2B2-φ3B3-φ4B4)(1-u1B7-u2B14-u3B21)▽▽7Xt=(1-v1B7)(1-θ1B)εt.

表3　各模型選擇的參數(shù)值

3.2模型建立與參數(shù)估計(jì)

選擇ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7作為最佳模型后，建立模型并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)[12].利用EViews7.2軟件求解得到的ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7模型參數(shù)估計(jì)值如表4所示.

表4　ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7模型參數(shù)估計(jì)值

將表4中的參數(shù)估計(jì)值代入式(1)得：

(1-0.542641B-0.113981B4)(1+0.270009B7-0.786059B14-0.209891B21)▽▽7Xt=(1-0.961433B7)(1+0.996847B)εt.

3.3模型檢驗(yàn)

殘差分析是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦m合性的重要手段之一，通過對所用模型的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，判斷殘差序列中是否存在有用的信息未被提取、模型是否包含了原序列的所有趨勢，從而決定模型是否需要進(jìn)一步改進(jìn).若殘差序列{E1}不是白噪聲序列，則模型需要進(jìn)一步改進(jìn)，否則模型是適應(yīng)的.對下面乘積季節(jié)模型ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7進(jìn)行殘差分析，得到的結(jié)果如表5所示.

以上分析結(jié)果表明，殘差序列的t統(tǒng)計(jì)量值為-18.673 11，小于顯著性水平為1%的臨界值，故殘差序列是平穩(wěn)的白噪聲，因此所建立的模型是適應(yīng)的.

表5　殘差序列{E1}ADF檢驗(yàn)

4預(yù)測

4.1模型預(yù)測

利用ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7模型，對2014年4月1日-2014年4月30日湖南衛(wèi)視全天平均收視率進(jìn)行了預(yù)測，并且計(jì)算相對誤差：|實(shí)際值-預(yù)測值|/預(yù)測值；預(yù)測結(jié)果如表6所示，可見相對誤差很小，因此模型預(yù)測效果較好.

表6　2014年4月1日-2014年4月30日湖南衛(wèi)視全天平均收視率預(yù)測值

4.2模型擬合

將ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7模型得出的湖南衛(wèi)視全天平均收視率的預(yù)測值與真實(shí)值進(jìn)行比較，繪制模型擬合圖如圖5所示.由圖5可知，該模型得到的預(yù)測值與收視率的真實(shí)值相當(dāng)接近，因此預(yù)測精度較高.

5結(jié)論

本研究采用ARIMA乘積季節(jié)模型預(yù)測湖南衛(wèi)視全天平均收視率，通過對模型的檢驗(yàn)、預(yù)測值與實(shí)際值的比較可知，ARIMA(4,1,1)×(3,1,1)7模型對該收視率的擬合效果好，預(yù)測精度高，是一個(gè)有效模型.因此，無論是電視臺還是廣告商，在做銷售和購買廣告時(shí)間的決策之前，可以利用乘積季節(jié)模型對收視率進(jìn)行分析和預(yù)測，為決策提供更可靠的依據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)價(jià)值最大化.

參 考 文 獻(xiàn)

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(責(zé)任編輯高嵩)

Analysis and Forecast of Hunan Satellite TV Ratings Based on Multiplicative Seasonal Model

ZhouShuangjiao

(School of Applied Mathematics,Nanjing University of Finance and Economic,Nanjing Jiangsu 210046)

Abstract：Taking the periodicity of audience rating into consideration,this paper studied the all day average ratings of Hunan satellite TV based on ARIMA multiplicative seasonal model.The audience rating sequence was smoothed by using difference method and its seasonal characteristic was eliminated,the multiplicative seasonal model ARIMA (4,1,1)×(3,1,1)7 was chosen after making model identification and order determination,then this model was established and the parameter of the model was estimated.The test showed that this model had a desirable fitting effect and the forecasted value was close to the actual data while the relative error was small.

Key words：audience rating;multiplicative seasonal model;time series analysis;prediction

中圖分類號：O212.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-4565(2016)01-0033-05

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.008

作者簡介：周雙嬌，碩士生。

收稿日期：2015-08-12