王　勁,羅　有，廖艷華

(湖北理工學院 數(shù)理學院,湖北 黃石 435003)

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一維三粒子系統(tǒng)的磁化平臺與熱力學性質研究

王勁,羅有，廖艷華*

(湖北理工學院 數(shù)理學院,湖北 黃石 435003)

摘要：采用伊辛模型，引入統(tǒng)計物理中配分函數(shù)方程，推導出具有不同自旋數(shù)值的一維三粒子系統(tǒng)的磁矩關系式。研究結果表明：粒子之間的交換作用與磁場之間形成競爭，競爭的結果導致磁化過程中出現(xiàn)磁化臺階。臺階處對應的磁矩值與單粒子自旋大小有關，且臺階的寬度會受到交換強度的影響。

關鍵詞：伊辛模型；配分函數(shù)；磁矩

0引言

伊辛模型是描繪相鄰微觀粒子之間相互作用的最簡單的物理模型，可以用它來研究系統(tǒng)的相變和臨界現(xiàn)象[1-2]。1925年，該模型提出者伊辛采用“組合法”嚴格求解了一維伊辛模型(經典模型)，后被海森堡證實一維伊辛模型不存在鐵磁-順磁相變。布喇格(Bragg) 和威廉斯(Williams)于1941年采用矩陣解法，更為嚴格地求解了一維伊辛模型。 在1944年，美國物理化學家昂薩格(L.Onsager)采用布喇格-威廉斯的一維矩陣思想，受到一維梯子模型啟發(fā)，采用矩陣方法嚴格求解了平面正方二維伊辛模型，證明確實存在一個相變點[3]。但對三維伊辛模型的嚴格解，迄今為止，尚未有人得出。理論工作者采用該模型研究了一系列有關相變和粒子輸運的問題[4-5]，特別是采用蒙特卡羅的方法對三維的伊辛模型進行了比較深入的研究[6]。伊辛模型的理論和實際意義，已經大大超出了相變臨界現(xiàn)象的研究領域，被廣泛地應用于研究諸多凝聚態(tài)物理問題，如用它能較好地描述各向異性很強的鏑鋁石榴石的磁性產生機制。

近年來，一些理論工作者對低維自旋系統(tǒng)中的低溫磁化平臺產生的機制進行深入研究[7-8]，嘗試采用量子機制和量子無序來解釋。本研究通過建立一維三粒子的近伊辛模型，獲得一維熱力學配分函數(shù)，推導出三粒子系統(tǒng)的磁矩，以期用少體問題理解具有不同自旋粒子鏈的磁化平臺產生的量子機制。

1一維伊辛模型及其配分函數(shù)

對于具有N個處于晶格格點位置上的自旋粒子系統(tǒng)，每個粒子自旋可以取向上或向下2種態(tài)，在只考慮最近鄰粒子間相互作用情況下，這樣的自旋系統(tǒng)被稱之為伊辛模型，其哈密頓量為：

(1)

其中J代表兩粒子之間的交換相互作用，當J>0時描述的為反鐵磁關聯(lián)；J<0時描述的為鐵磁關聯(lián)。σi(σj)代表第i(j)個格點位置的自旋，取正值時表示自旋沿著z軸正方向，自旋向上；負值表示沿z軸負方向，自旋方向向下。B表示沿z軸方向的外加磁場。

三格點模型示意圖如圖1所示，其哈密頓量可以表示為：

H=JSz(1)Sz(2)+JSz(2)Sz(3)-B[Sz(1)+Sz(2)+Sz(3)]

(2)

(3)

引入熱力學配方函數(shù):

(4)

則系統(tǒng)的磁矩為：

(5)

1.2格點中粒子自旋為±1時

當格點自旋為±1時，由式(2)可得格點中粒子處于不同自旋方向時本征值為：

(6)

引入熱力學配方函數(shù):

2(2+e2JB)cosh(Bβ)

(7)

則系統(tǒng)的磁矩可表示為:

2(2+e2Jβ)·sinh(βB)]

(8)

(9)

引入熱力學配方函數(shù):

(10)

此時系統(tǒng)的磁矩為:

(11)

1.4格點中粒子自旋為±2時

當格點自旋為±2時，由式(2)可得格點中粒子處于不同自旋方向時本征值為：

(12)

引入熱力學配方函數(shù):

2(2+e8βJ)cosh(2βB)

(13)

此時系統(tǒng)的磁矩為:

(14)

2結果與討論

由式(3)~(14)，筆者繪制了一維三格點系統(tǒng)的磁矩隨磁場和交換強度之間的變化關系。

3結論

通過對一維的三粒子伊辛模型研究，發(fā)現(xiàn)當交換項J值較小時，磁場很容易使三粒子系統(tǒng)形成鐵磁關聯(lián)，J作用無法顯現(xiàn)；隨著J的增加，磁矩隨磁場的增大會出現(xiàn)臺階，臺階處對應的磁矩大小就是該單粒子自旋值大小，且當單粒子自旋值增大時，臺階長度變長。臺階處應是粒子之間的交換項所導致的反鐵磁與由磁場導致的鐵磁之間的競爭過程。連續(xù)變化粒子之間的交換強度，筆者發(fā)現(xiàn)在小磁場環(huán)境下，由交換項所導致粒子之間的鐵磁關聯(lián)(J<0)由于混合態(tài)的存在而致使總磁矩不強，隨著磁場增加，磁矩會逐漸增強。但磁場增大到一定值時，能使得混合態(tài)成為單一的鐵磁關聯(lián)，此時磁矩達到最大值。同時我們還發(fā)現(xiàn)，在一定磁場環(huán)境下，變換交換強度到反鐵磁關聯(lián)時(J>0),磁矩線會有一個平滑的下降過程，且最小磁矩值也會隨著磁場的增大而增大。當磁場增加到一定值時，最小磁矩為單粒子的自旋值。在此變化過程中，可以發(fā)現(xiàn)當磁場為0時，磁矩為0，與溫度大小無關，熱學效應沒有體現(xiàn)，說明一維近伊辛模型無相變。

參 考 文 獻

[1]Kerson Huang.Statistical Mechanics[M].New York:John Wiley & Sons,1963:361-368.

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[9]李正中.固體理論[M].北京:高等教育出版社,2002:62-67.

(責任編輯黃小榮)

Magnetization Plateau and Thermodynamic Properties in One-dimensional Three Particle System

WangJin,LuoYou,LiaoYanhua*

(School of Mathematics and Physics，Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Abstract：Using the effective Ising model and partition function equation,the formula of magnetic moment in a one-dimensional three particle system is deduced.It is found that a competition exists between the exchange interaction and the magnetic field,resulting in the occurrence of magnetization steps.The value of steps relates to the size of the single particle spin.In addition,the width is affected by the exchange interaction.

Key words：ising model;partition function;magnetic moment

中圖分類號：O482.51

文獻標識碼：A

文章編號：2095-4565(2016)01-0046-05

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.011

*通訊作者：廖艷華，講師，博士，研究方向：強關聯(lián)電子系統(tǒng)。

作者簡介：王勁，本科。

基金項目：湖北理工學院教學改革研究項目(項目編號：2015B09)；湖北理工學院實驗室開放基金項目。

收稿日期：2015-04-07