◇江春蓮 劉付茵

數(shù)學(xué)教育的國(guó)際比較研究
——ICME-13的第一個(gè)大會(huì)報(bào)告及其對(duì)我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

◇江春蓮 劉付茵

ICME-13的第一個(gè)大會(huì)報(bào)告是90分鐘的團(tuán)隊(duì)報(bào)告，報(bào)告的主題為“數(shù)學(xué)教育的國(guó)際比較研究：提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)”，由美國(guó)特拉華大學(xué)的蔡金法教授領(lǐng)銜，其他成員有澳大利亞墨爾本大學(xué)的凱·斯泰西(Kaye Stacey)教授、中國(guó)香港大學(xué)的莫雅慈(Ida A.C.Mok)教授和南非人類(lèi)科學(xué)研究會(huì)的維杰·瑞迪(Vijay Reddy)，他們四人每人作了約17分鐘的報(bào)告。本文介紹該報(bào)告的主要內(nèi)容，并結(jié)合我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)實(shí)際情況作些反思。

一、國(guó)際比較研究的意義

蔡金法教授首先強(qiáng)調(diào)了國(guó)際比較研究的重要意義，其意義主要體現(xiàn)在如下三點(diǎn)：（1）可以比較不同學(xué)校的制度、傳統(tǒng)和文化，而這可能難以在一個(gè)單一的制度、文化下進(jìn)行；（2）通過(guò)與其他國(guó)家的比較和對(duì)自身經(jīng)驗(yàn)的反思幫助我們明晰應(yīng)采取的態(tài)度和立場(chǎng)，這一點(diǎn)尤為重要；（3）可以讓我們接觸不同的數(shù)學(xué)教學(xué)方法和提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的方法。接下來(lái)，四人各自分享了從自己參與的國(guó)際比較項(xiàng)目中得到的經(jīng)驗(yàn)。

二、考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的傾向和經(jīng)驗(yàn)

凱·斯泰西教授試圖以2012年的PISA（國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目的簡(jiǎn)稱）數(shù)據(jù)刻畫(huà)PISA測(cè)試的能力與學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系，并試圖解釋學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)其數(shù)學(xué)自我概念的影響。

要解決PISA的來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題，學(xué)生需要經(jīng)歷的三個(gè)階段及其對(duì)應(yīng)的能力為：（1）轉(zhuǎn)化能力，即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；（2）應(yīng)用能力，即應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；（3）詮釋能力，即結(jié)合現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境詮釋得到的數(shù)學(xué)結(jié)果的能力。她比較了日本、荷蘭和英國(guó)三個(gè)國(guó)家的學(xué)生在這三個(gè)方面的表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)：在轉(zhuǎn)化能力方面，日本學(xué)生明顯高于荷蘭和英國(guó)的學(xué)生；在應(yīng)用能力方面，三個(gè)國(guó)家的學(xué)生均低于國(guó)際平均水平；在詮釋能力方面，日本學(xué)生則明顯地低于其他兩國(guó)的學(xué)生?？傮w來(lái)看，日本和荷蘭學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平較高，英國(guó)較低。為解釋學(xué)生的表現(xiàn)出現(xiàn)差異的原因，PISA調(diào)查了學(xué)生在各種不同類(lèi)型問(wèn)題上的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，如接觸形式化的數(shù)學(xué)（如解方程、因式分解等）和應(yīng)用型問(wèn)題、文字題等的機(jī)會(huì)，這方面的數(shù)據(jù)顯示：荷蘭學(xué)生較少接觸形式化的數(shù)學(xué)，而較多接觸應(yīng)用型問(wèn)題；日本則相反，學(xué)生較多接觸形式化的數(shù)學(xué)，而較少接觸應(yīng)用型問(wèn)題；英國(guó)則在兩方面處于國(guó)際平均水平。綜合OECD（經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織）國(guó)家和其他國(guó)家的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生接觸形式化數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)與他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)表現(xiàn)呈強(qiáng)正相關(guān)；在應(yīng)用型問(wèn)題上，學(xué)生對(duì)此類(lèi)題型的接觸程度和成績(jī)則顯現(xiàn)二次關(guān)系，也就是說(shuō)，在開(kāi)始時(shí)學(xué)生接觸應(yīng)用問(wèn)題的機(jī)會(huì)越多，在PISA中的表現(xiàn)就越好，但到某個(gè)點(diǎn)后，呈現(xiàn)的趨勢(shì)則是接觸應(yīng)用問(wèn)題的機(jī)會(huì)越多，在PISA中的表現(xiàn)就越差。所以學(xué)校數(shù)學(xué)課程在應(yīng)用型問(wèn)題和形式化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)兩方面需要保持一定的平衡。

學(xué)生在學(xué)校接觸這兩種問(wèn)題的機(jī)會(huì)直接影響到他們解決這類(lèi)問(wèn)題的自信心，換句話說(shuō)，接觸機(jī)會(huì)越多，自信度越高，而且學(xué)生對(duì)解決形式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題的自信度高于解決應(yīng)用型問(wèn)題的自信度。

三、理解學(xué)生的思考方式

蔡金法教授的報(bào)告主題是“理解學(xué)生的思考方式”，他從新的角度重新分析了其于1995年發(fā)表在《數(shù)學(xué)教育研究雜志》（Journal for Research in Mathematics Education）特刊上的中美學(xué)生比較的數(shù)據(jù)。其中有兩個(gè)是平均數(shù)問(wèn)題，如下所示。

問(wèn)題1：在俱樂(lè)部的食物募捐活動(dòng)中，塔剎獲捐11罐，大衛(wèi)獲捐6罐，杰弗里獲捐5罐，德韋恩獲捐2罐。四人平均獲捐多少罐？解釋你是如何得到答案的。

問(wèn)題2：安杰拉為數(shù)學(xué)俱樂(lè)部賣(mài)帽子，第一周賣(mài)了9頂，第二周賣(mài)了3頂，第三周賣(mài)了6頂。如果這四周賣(mài)的帽子的頂數(shù)平均數(shù)為7，那么安杰拉在第四周賣(mài)了多少頂帽子？展示你得到答案的過(guò)程。

比較中美學(xué)生解答這兩個(gè)問(wèn)題的正確率，我們發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生能正確解答問(wèn)題1；中國(guó)和美國(guó)學(xué)生正確解答兩個(gè)問(wèn)題的百分比分別為67%和42%；中國(guó)和美國(guó)學(xué)生答對(duì)問(wèn)題1而答錯(cuò)問(wèn)題2的百分比幾乎相同，分別為23%和24%。如果說(shuō)問(wèn)題1是檢驗(yàn)學(xué)生是否了解平均數(shù)的算法，而問(wèn)題2是檢驗(yàn)學(xué)生是否對(duì)平均數(shù)達(dá)成概念性理解的話，我們發(fā)現(xiàn)中美兩國(guó)均有約四分之一的學(xué)生對(duì)平均數(shù)沒(méi)有形成概念性理解。

蔡教授還舉了另外一個(gè)問(wèn)題，如下所示。

將2個(gè)比薩平均分給7個(gè)女生，1個(gè)比薩平均分給3個(gè)男生。男生和女生得到的比薩數(shù)量相同嗎？誰(shuí)得到的更多？

在這個(gè)問(wèn)題上，高達(dá)90%的中國(guó)學(xué)生先用分?jǐn)?shù)表示男生和女生各自得到的比薩大小，然后比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，但是很少有美國(guó)學(xué)生這么做。相反的，美國(guó)學(xué)生用多種不同的方法進(jìn)行比較，如將1個(gè)比薩分給3個(gè)女生，將剩下的1個(gè)比薩分給其余4個(gè)女生，前面3個(gè)女生分得的和男生一樣多，但其余4個(gè)女生分得的卻比男生少，所以男生得到的比薩更多。從中可以看出美國(guó)學(xué)生思維的多樣性和靈活性，盡管在這里可能破壞了“平均”的規(guī)則，但其推理是有力的。

蔡金法教授通過(guò)以上例子說(shuō)明，通過(guò)分析學(xué)生的解答，我們能夠更深入地了解學(xué)生的思考方式。

四、改變課堂教學(xué)

莫雅慈教授報(bào)告的主題是“改變課堂教學(xué)”。她先介紹了TIMSS（國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)評(píng)測(cè)趨勢(shì)的簡(jiǎn)稱）和LPS（學(xué)習(xí)者視角的簡(jiǎn)稱）。前者比較了平均水平的教師在數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)方面的差異；后者與前者互為補(bǔ)充，比較了在不同文化背景下優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的教學(xué)活動(dòng)，并結(jié)合老師和學(xué)生的看法進(jìn)行解釋。TIMSS發(fā)現(xiàn)國(guó)家與國(guó)家之間，同一國(guó)家的不同教師之間，同一個(gè)教師在同一個(gè)單元不同階段的課堂結(jié)構(gòu)，都有很大的不同。LPS關(guān)注的是教學(xué)事件，發(fā)現(xiàn)不同國(guó)家都有自己的特點(diǎn)，如日本的課堂上教師常常引誘學(xué)生犯錯(cuò)，以引起他們的困惑，由學(xué)生提出不同的解答并給出解釋，教師指出困難并給出解釋，揭示思考的過(guò)程。LPS更深入地了解不同文化背景下教師教學(xué)活動(dòng)的意義。莫教授對(duì)上海課堂的分析表明，中國(guó)的課堂表面上看起來(lái)是以教師為中心的，但教師教學(xué)活動(dòng)的組織卻是以學(xué)生為中心的，教師基于對(duì)學(xué)生的深入了解，給學(xué)生創(chuàng)造合適的課堂經(jīng)驗(yàn)，以便學(xué)生沿著教師有目的設(shè)計(jì)的教案進(jìn)行，少走彎路，這種視角給“中國(guó)學(xué)習(xí)者悖論”提供了一些解釋。[中國(guó)學(xué)習(xí)者悖論，即似乎是在并不理想的學(xué)習(xí)環(huán)境（接受式教學(xué)）中，中國(guó)學(xué)生在國(guó)際學(xué)生能力水平測(cè)試中超過(guò)西方]

莫教授從上海的一節(jié)數(shù)學(xué)課引出她自己提出的課堂研究的一個(gè)視角。該課是關(guān)于“二元一次方程組”的，教師出示問(wèn)題，如下所示。

小明全家去北京度假，他們需要買(mǎi)3張成人票和1張學(xué)生票，總價(jià)560元。后來(lái)小明的同學(xué)也要跟小明一家一起去，所以最后他們買(mǎi)了3張成人票和2張學(xué)生票，共640元。單張成人票和單張學(xué)生票的價(jià)格分別是多少元？

學(xué)生朵拉通過(guò)比較很快得出一張學(xué)生票80元，因?yàn)?60元是3張成人票和1張學(xué)生票的總價(jià)，而640元是3張成人票和2張學(xué)生票的總價(jià)，差別只在于1張學(xué)生票。教師引導(dǎo)學(xué)生一起讀題目，肯定了朵拉的解答，接著教師引導(dǎo)學(xué)生將題目給定的條件轉(zhuǎn)化成方程，即3x+y= 560和3x+2y=640（其中x是成人票的價(jià)格，y是學(xué)生票的價(jià)格），進(jìn)而結(jié)合學(xué)生的解法討論一般的二元一次方程組的解法。

這堂課給學(xué)生設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的比較活動(dòng)：一是學(xué)生自然的想法和教師的復(fù)述；二是解決該問(wèn)題的算術(shù)方法和方程方法；三是二元一次方程組的兩種消元方法，即加減消元法和代入消元法。這里的比較可以幫助學(xué)生看到這些知識(shí)之間的聯(lián)系。由此，我們可以看出：上海的數(shù)學(xué)教師很注重學(xué)生的原始解法和數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)解法之間、數(shù)學(xué)知識(shí)之間等的關(guān)聯(lián)，這也是國(guó)際測(cè)試中學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異的國(guó)家與美國(guó)在課堂教學(xué)問(wèn)題處理上的一個(gè)重大差別。所以莫教授提出，對(duì)課堂的研究，可以關(guān)注教師是如何處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的，是“使用過(guò)程”式還是“建立關(guān)聯(lián)”式。前者強(qiáng)調(diào)學(xué)生使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)算法解決問(wèn)題，后者強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想、事實(shí)和過(guò)程之間的關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)推理。教師使用其中的哪種方式也反映在整節(jié)課問(wèn)題的設(shè)計(jì)和安排上。比如，前面提到的上海教師，在課堂上不僅對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的解答采用層層遞進(jìn)的方法，在整節(jié)課上，從一個(gè)問(wèn)題到下一個(gè)問(wèn)題，從復(fù)雜程度來(lái)說(shuō)，也是層層遞進(jìn)的。而在美國(guó)的課堂上，即便教材設(shè)計(jì)的問(wèn)題是層層遞進(jìn)的，不少教師也常常把這些問(wèn)題處理成簡(jiǎn)單的使用同一過(guò)程的問(wèn)題，從而降低問(wèn)題的認(rèn)知難度。

莫教授最后總結(jié)說(shuō)，教學(xué)是一種文化現(xiàn)象，盡管不同國(guó)家的教師教授相同的課程，但他們可能會(huì)賦予這些活動(dòng)不同的意義和效果。

五、關(guān)注全球，立足本土

維杰·瑞迪教授報(bào)告的主題是“使全球合作研究對(duì)本土有意義：南非參與TIMSS研究的經(jīng)驗(yàn)”。她以南非為例說(shuō)明如何結(jié)合國(guó)際研究的成果，改進(jìn)本國(guó)的教育。南非自1995年參加TIMSS系列研究，20年來(lái)在數(shù)學(xué)教育方面取得了不小的進(jìn)步。1994年以前，南非不同種族之間的教育相互隔離且發(fā)展不均衡，特別是那些土地貧瘠、偏遠(yuǎn)、貧窮的地方，教育質(zhì)量低，工作技術(shù)含量低，發(fā)展受限，對(duì)教育也不重視?，F(xiàn)今民主政府設(shè)立了教育部統(tǒng)一管理教育相關(guān)事宜，教育成為國(guó)家發(fā)展的首要任務(wù)，入學(xué)率有了很大的提高。但是優(yōu)質(zhì)教育仍然稀缺，貧窮、失業(yè)和不平等仍然廣泛存在，數(shù)學(xué)評(píng)估為這些方面的不足提供了證據(jù)，特別反映了教育系統(tǒng)不健全、社會(huì)通道和收入的不平等，以及社會(huì)成功轉(zhuǎn)型還存在的差距。因?yàn)槟戏菍W(xué)生在TIMSS測(cè)試中數(shù)學(xué)和科學(xué)方面的表現(xiàn)都非常差，所以公眾對(duì)南非參加TIMSS有質(zhì)疑，但南非通過(guò)使用TIMSS比較的結(jié)果發(fā)出自己的聲音，對(duì)結(jié)果所作的進(jìn)一步的延伸分析對(duì)于改進(jìn)南非的教育具有重要意義。

她從三方面說(shuō)明南非參與TIMSS研究的意義。（1）理解南非的教育成就，而不僅僅是排名。1995年至2011年的16年間，南非學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)提高了63分，相當(dāng)于1.5個(gè)年級(jí)水平；教育不公平也得到了改善，最高分和最低分之間的差距由354降到了287。（2）理解環(huán)境與個(gè)人因素對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響。家庭的社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位、學(xué)校的社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位、學(xué)校與家庭語(yǔ)言的一致性、年級(jí)與年齡的適應(yīng)性、學(xué)校的安全性等因素對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響均呈正相關(guān)。也就是說(shuō)，一般情況下，家境越優(yōu)越，學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)越好，其他的類(lèi)推。性別因素對(duì)南非學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響微乎其微，女生成績(jī)略高一點(diǎn)，這可能與學(xué)校的欺凌現(xiàn)象有關(guān)。南非的校內(nèi)暴力現(xiàn)象比其他國(guó)家嚴(yán)重：家庭的社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位低的學(xué)生時(shí)常被欺凌的機(jī)會(huì)較大；在同類(lèi)學(xué)校中，男生更易被欺凌，女生則因時(shí)常有父母的陪伴而受到保護(hù)，因此男生的輟學(xué)率高于女生。（3）八、九年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)直接影響隨后幾年的教育情況及學(xué)生能否順利完成中學(xué)學(xué)業(yè)，直到高三畢業(yè)。這些研究給教育工作者提供了很重要的信息，教育受社會(huì)和家庭等因素的影響如此之深，學(xué)校要保證自己的教學(xué)質(zhì)量，應(yīng)當(dāng)注意學(xué)生的到校狀況、家庭情況以及注重學(xué)校紀(jì)律等。

蔡金法教授最后總結(jié)道，PISA和TIMSS這樣的研究應(yīng)當(dāng)繼續(xù)進(jìn)行下去，希望參與者和其他研究人員能夠結(jié)合各國(guó)的實(shí)際情況解讀研究數(shù)據(jù)，通過(guò)國(guó)際間合作對(duì)不同國(guó)家的數(shù)學(xué)教育作比較研究，通過(guò)案例研究了解學(xué)生的思考方式，從而獲取教學(xué)反思經(jīng)驗(yàn)并改善自己的教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就。

六、啟示

這個(gè)團(tuán)隊(duì)的報(bào)告給我們的啟示是：（1）大型的國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究能讓我們看到數(shù)學(xué)教育的一般規(guī)律，數(shù)學(xué)課程需要保持形式化和數(shù)學(xué)應(yīng)用、建模等的相對(duì)平衡；（2）數(shù)學(xué)教學(xué)除了讓學(xué)生熟練掌握基本的運(yùn)算，還應(yīng)注重概念性理解，與過(guò)程性的計(jì)算相比，概念性理解甚至更重要；（3）數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一種文化現(xiàn)象，我們需要從不同的視角對(duì)數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行深入研究，而不是被表面的現(xiàn)象所迷惑，特別是應(yīng)深入分析華人數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn)，以便更好地解釋“中國(guó)學(xué)習(xí)者悖論”；（4）我國(guó)要像南非一樣通過(guò)參與TIMSS或PISA研究，發(fā)出我們自己的聲音，并通過(guò)結(jié)果分析改進(jìn)自己的教育教學(xué)。

（作者單位：澳門(mén)大學(xué)教育學(xué)院）