王高波

摘要：分段函數(shù)是高考數(shù)學的熱門題型之一，也是高考重要的失分點.但當前教材中對于分段函數(shù)并未給予系統(tǒng)的介紹和研究，導致學生對這部分函數(shù)知識的認識普遍較為膚淺，嚴重影響了高考數(shù)學成績的發(fā)揮.鑒于此，本文就分段函數(shù)教學進行深入分析和探討.

關鍵詞：分段函數(shù) 數(shù)學教學 數(shù)學思想 單調性

分段函數(shù)是函數(shù)的重要組成部分.在學習函數(shù)的“極限”、“導數(shù)”等內容時，均會用到分段函數(shù)的知識.但由于分段函數(shù)具有獨特的性質及特點，學習時普遍存在較大的理解難度，教學中如果處理不當，極易造成學生對函數(shù)概念的混淆，甚至影響后續(xù)函數(shù)知識的學習.因此，教師加強對分段函數(shù)的教學關注度，積極制定有效的分段函數(shù)教學策略是很有必要的.

一、直觀切入，引入分段函數(shù)概念

在講解分段函數(shù)時，可以采用“四步法”引入教學內容.首先，觀察分段函數(shù)的幾何圖形，讓學生對分段函數(shù)有一個直觀認識.其次，觀察分段函數(shù)的解析表達式，如y=x x>00 x=0-x x<0，讓學生了解分段函數(shù)的基本形式.再次，根據(jù)上述觀察結果，對學生進行啟發(fā)引導.比如，分段函數(shù)的圖象都是一段一段的，部分圖象的段與段之間還存在跳躍或間斷；分段函數(shù)解析式至少有兩個表達式，并且分別要標明自變量的取值范圍.最后，對概念進行歸納總結，得出分段函數(shù)的準確定義：在定義域內不同取值范圍內用不同的數(shù)學解析表達式來表示的函數(shù).

二、聯(lián)系生活實際，激發(fā)學生的學習興趣

分段函數(shù)在日常生活中有著廣泛的應用.因此，教師可以采用課內外相結合的方式，讓學生利用課外時間，借助網絡、課外書等渠道，搜集有關分段函數(shù)的生活化問題，讓學生親自參與到數(shù)學過程中，在激發(fā)學習興趣的同時，提高運用數(shù)學知識解決生活實際問題的能力.例如，如何表示階梯式電價，便是分段函數(shù)在生活中的一個具體應用.以湖南省為例，當每月電量低于210度時，按每月0.5469元收費；當每月電量在210～400度之間時，按每度0.5969元收費；當每月電量高于400度時，按每度0.8469元收費.教師可以讓學生把電費的計價標準寫成分段函數(shù)的形式，然后粗略計算自己家每個月的電費是多少，從而激發(fā)學生的興趣，提高學生的課堂參與度.此外，出租車的階段計費方式、銀行的分段計息方法，都是分段函數(shù)在生活中的典型應用，可以為教師教學提供“鮮活”的素材.

三、深入挖掘，掌握數(shù)學思想方法

分段函數(shù)，既能用圖象法表示，又能用解析法表示.在解決實際問題時，數(shù)形結合思想是非常有效的思路.在分段函數(shù)的教學中，教師應有意識地引導學生掌握、使用數(shù)形結合思想，增強學生的解題能力.首先是“由數(shù)想形”.分析分段函數(shù)的結構，畫出其對應的幾何圖形，再根據(jù)幾何圖形的規(guī)律、特征解決分段函數(shù)問題.這種做法，能夠把抽象的數(shù)量關系轉變?yōu)橹庇^的幾何圖形，能夠更加清晰地揭示其內在聯(lián)系，同時還能減少運算量.其次是“見形思數(shù)”.從分段函數(shù)的圖形表現(xiàn)來構造與其對應的函數(shù)關系，進而化難為易，找到更簡單的解題方法.

四、問題引領思考，加深學生的認識

問題1：分段函數(shù)是不是多個函數(shù)？在其定義域內，分段函數(shù)并不是多個函數(shù)，而是一個函數(shù)，其圖象只有一個.分段函數(shù)的定義域是各個子定義域的并集，在不同的區(qū)間內采用不同的解析式表示，分段函數(shù)的值域是隔斷函數(shù)解析式值域的并集.

問題2：分段函數(shù)包括哪些基本類型？分段函數(shù)主要包括兩種類型，一種是分段點兩邊的函數(shù)解析式相同，但分段點的函數(shù)值有單獨定義；二是分段點兩邊的函數(shù)解析式不同.

問題3：分段函數(shù)的分段點可有多少個？分段函數(shù)的分段點，可是有限個的，也可是無限個的.

問題4：怎樣判斷分段函數(shù)的單調性？分段函數(shù)單調性問題的解答，如果能夠借助函數(shù)圖象，往往能夠快速解答出分段函數(shù)的單調區(qū)間，或分段函數(shù)的單調性.同時，分段函數(shù)單調性問題的討論，必須也對自變量的取值進行討論.

總之，分段函數(shù)的學習是函數(shù)中的一個重難點，也是考核的重點.在教學過程中，教師應指導學生掌握各種解題辦法，尋找最佳解題思路，熟練應用數(shù)學思想.同時，分段函數(shù)的教學，不但要傳授知識，還要引導學生積極參與實踐運用，強化學生的科學探究意識，培養(yǎng)并提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻

許雁琴.分段函數(shù)的積分運算[J].高等函授學報（自然科學版），2012（05）.