陳芬饒玖

【摘要】《線性代數(shù)》是高等院校理工科以及經(jīng)濟(jì)管理等文科大學(xué)生的必修基礎(chǔ)課，針對(duì)獨(dú)立院校學(xué)生的特點(diǎn)和培養(yǎng)的目標(biāo)和， 通過(guò)教學(xué)案例， 利用Matlab軟件的繪圖功能實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)的概念、定理、應(yīng)用的“可視化”，完成將數(shù)學(xué)知識(shí)由抽象到直觀的轉(zhuǎn)化這一過(guò)程。調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)《線性代數(shù)》課程的學(xué)習(xí)興趣，以促進(jìn)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 可視化 Matlab

【基金項(xiàng)目】武漢學(xué)院教研項(xiàng)目（JY201514）。

【中圖分類(lèi)號(hào)】O151.2-4；G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）03-0064-02

《線性代數(shù)》課程是獨(dú)立院校理工科以及經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)等文科大學(xué)生的必修基礎(chǔ)課， 具有抽象、嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)。當(dāng)前的《線性代數(shù)》課程教學(xué)內(nèi)容存在概念多而抽象、直觀信息少、理論多應(yīng)用少等問(wèn)題， 而獨(dú)立院校學(xué)生形象思維發(fā)達(dá)， 抽象能力弱， 邏輯推理能力不強(qiáng)， 導(dǎo)致學(xué)生內(nèi)心對(duì)這門(mén)課程比較排斥， 學(xué)習(xí)興趣不高。事實(shí)上，獨(dú)立院校主要培養(yǎng)應(yīng)用型人才， 《線性代數(shù)》學(xué)科內(nèi)容在數(shù)學(xué)建模中有大量應(yīng)用。因此， 研究《線性代數(shù)》課程的“可視化”教學(xué)具有十分重要的意義。所謂“可視化”就是化抽象為直觀， 打破傳統(tǒng)教學(xué)四步曲——概念， 定理， 證明， 習(xí)題的框框， 通過(guò)跨學(xué)科的案例教學(xué)， 將線性代數(shù)的知識(shí)立體生動(dòng)的展現(xiàn)在學(xué)生面前。這樣不僅可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣， 而且可以開(kāi)放學(xué)生的靈活性、想象力和創(chuàng)造性， 挖掘?qū)W生的潛力， 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)， 達(dá)到培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目標(biāo)[1]. 《線性代數(shù)》課程教學(xué)的“可視化”研究主要包含三個(gè)方面， 即概念可視化， 定理可視化， 應(yīng)用可視化。本文主要就三個(gè)方面闡述如何選取教學(xué)案例，如何利用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)概念、定理以及應(yīng)用“可視化”。

1.概念可視化

Matlab是一種高效率的用于科學(xué)工程計(jì)算的高級(jí)語(yǔ)言， 最開(kāi)始是作為矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）提供使用LINPACK和EISPACK矩陣軟件包接口的， 后來(lái)逐漸發(fā)展成為用于科學(xué)計(jì)算、圖示交互系統(tǒng)的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言。Matlab不僅在數(shù)值計(jì)算上具有很強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)， 而且在數(shù)據(jù)可視化方面的功能也很強(qiáng)大， 它可以給出數(shù)據(jù)的二維、三維甚至四維的圖形表現(xiàn)。通過(guò)對(duì)圖像立面、色彩、渲染、光線及視角等的控制，可以把數(shù)據(jù)的特征表現(xiàn)得淋漓盡致?！毒€性代數(shù)》的特點(diǎn)之一是定義多，概念多。傳統(tǒng)教學(xué)方法就是直接給出定義，沒(méi)有相關(guān)背景說(shuō)明。這種與外部世界隔離的封閉式教學(xué)，不利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的概念、方法和理論的來(lái)龍去脈，不利于學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題。下面展示Matlab軟件在《線性代數(shù)》中部分概念的“可視化”實(shí)現(xiàn)方面的教學(xué)案例。

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式里，對(duì)角矩陣， 上（下）三角形矩陣等特殊矩陣總是在給出矩陣定義后直接列舉出。雖然這些定義不難接受，但介紹過(guò)程實(shí)在乏味。學(xué)生往往有這樣的疑問(wèn)“為什么要定義這么多的特殊矩陣？”“這些矩陣有什么作用？”。其實(shí)在這部分知識(shí)的教學(xué)中，可以將矩陣和數(shù)字圖像處理聯(lián)系起來(lái)， 為這些特殊矩陣添加一個(gè)具體背景[2]，這樣不僅可以消除學(xué)生的疑問(wèn)，還可以拓寬學(xué)生的知識(shí)面。在圖像處理中數(shù)字圖像可以用m行n列矩陣表示，元素aij表示圖像在該點(diǎn)的灰度值。所以單位矩陣用圖像表示出來(lái)就是圖1（a）的效果。很多學(xué)生常將上三角形矩陣和下三角形矩陣定義混淆， 但如果借助數(shù)字圖像知識(shí)解釋三角矩陣就直觀很多， 也不易混淆。圖像信息集中在主對(duì)角線上方的就是上三角形矩陣（如圖1（b））， 圖像信息集中在主對(duì)角線下方的就是下三角形矩陣（如圖1（c））?！吧稀薄跋隆睆?qiáng)調(diào)的是矩陣信息所在的位置。

數(shù)字圖像除了能很好的解釋矩陣的定義，還可以演示矩陣的運(yùn)算。如矩陣加法用圖像表現(xiàn)出來(lái)就是兩幅圖像疊加（如圖2）， 矩陣數(shù)乘用圖像表現(xiàn)出來(lái)的就是調(diào)節(jié)圖像明暗（如圖3），這樣形象生動(dòng)的實(shí)例教學(xué)， 不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還可以讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)印象深刻。

2.定理可視化

《線性代數(shù)》的另一個(gè)特點(diǎn)是定理多，證明多。有的證明非常復(fù)雜，對(duì)于獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生來(lái)講，完全搞懂定理的證明不是一件容易的事情。獨(dú)立學(xué)院培養(yǎng)的是應(yīng)用型人才，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力去解決實(shí)際問(wèn)題。因此，獨(dú)立院校學(xué)生不一定要弄懂定理嚴(yán)格的證明。大多數(shù)的《線性代數(shù)》教材在敘述向量組的線性相關(guān)性時(shí)， 一般都是從定理到定理、從證明到證明， 這樣既讓學(xué)生難以理解，也不利于知識(shí)的吸收。其實(shí)，如果在授課過(guò)程中增一些生活中的簡(jiǎn)單案例，可以讓學(xué)生更容易理解定理的內(nèi)容。并且還可以拓寬學(xué)生的思路， 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的能力。下面，我們用向量組的線性相性的定理說(shuō)演示定理的可視化。

定理 設(shè)向量組a1，a2，…，at線性無(wú)關(guān)，它能由向量組β1，β2，…，βr線性表示，則

這個(gè)定理的表述中含有2個(gè)字母，證明較為復(fù)雜，很多學(xué)生對(duì)這個(gè)定理的結(jié)論記不住。如果教師在上課的時(shí)候給這個(gè)定理加一個(gè)好理解的背景，比如“抄作業(yè)”。假設(shè)某班作業(yè)有5個(gè)相互獨(dú)立的原始版本， 組成一個(gè)向量組（A），（A）中的向量是線性無(wú)關(guān)的，其秩為5。抄作業(yè)的同學(xué)組成一個(gè)向量組（B），若只有一個(gè)同學(xué)抄作業(yè)， （假設(shè)一對(duì)一抄， 且抄的作業(yè)與原始版本一模一樣， 即線性相關(guān)）請(qǐng)問(wèn)向量組A可以有向量組B線性表出嗎？顯然不行，因?yàn)椋ˋ）中還有4個(gè)版本的作業(yè)沒(méi)有被抄到。只有當(dāng)抄作業(yè)的學(xué)生人數(shù)超過(guò)5人時(shí)， 且秩為7（即保證抄了原始的5個(gè)版本）， 這時(shí)向量組（A）才能由向量組（B）線性表出。有了這樣的背景， 相信即使這個(gè)定理?yè)Q一種說(shuō)法， 換其它字母表示，學(xué)生還是能正確判斷出向量個(gè)數(shù)的多少的。

3.應(yīng)用可視化

《線性代數(shù)》知識(shí)主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模中。在建模過(guò)程中，讓學(xué)生充分理解課本知識(shí)，體會(huì)建模思想，學(xué)會(huì)將理論應(yīng)用到實(shí)際中，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、意識(shí)和能力的目的。在大數(shù)據(jù)時(shí)代和信息共享的今天，不管是國(guó)內(nèi)外的教材，還是在互聯(lián)網(wǎng)上，都有很多涉及到到工程技術(shù)，經(jīng)濟(jì)管理，社會(huì)科學(xué)的線性代數(shù)的例子。我們用文獻(xiàn)（3）中的例子來(lái)說(shuō)明應(yīng)用的可視化。

例[3]發(fā)展與環(huán)境問(wèn)題已經(jīng)成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注的重點(diǎn)，為了定量分析污染水平與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系，有人提出了一下工業(yè)增長(zhǎng)模型：

設(shè)x0是某地區(qū)目前的污染水平，y0是目前的工業(yè)發(fā)展水平；若干年后的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為x1和y1，它們之間的關(guān)系為x1=3x0+y0，y1=2x0+2y0，即或a1=Aa0，其中a1=x1y1，a0=x0y0，A=3 12 2.

若當(dāng)前的污染水平與工業(yè)發(fā)展水平為a0=（x0，y0）T=（1，1）T， 則若干年后的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平為

a1=x1y1=3 12 211=44=411=4a0，

上式表明， 矩陣A乘以向量a0所得的向量a1恰是a0的4倍。這里4和向量a1分別是矩陣A的特征值和特征向量。

4.結(jié)束語(yǔ)

《線性代數(shù)》是一門(mén)應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決，而作為處理離散問(wèn)題的線性代數(shù)， 成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的手工計(jì)算，只能解決一些低階、變量較少的問(wèn)題，而在實(shí)際中出現(xiàn)的大量的線性問(wèn)題，都是高階的和有很多變量的問(wèn)題。由此可見(jiàn)，線性代數(shù)求解與計(jì)算機(jī)密不可分，使用MATLAB語(yǔ)言輔助線性代數(shù)的教學(xué)，今年來(lái)已成為較為流行的教學(xué)模式[4，5]?，F(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分利用Matlab、Maple等多媒體工具。理論與實(shí)際相結(jié)合，傳輸學(xué)生具體知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，利用計(jì)算機(jī)的能力。數(shù)學(xué)不是抽象的代名詞，數(shù)學(xué)是可以被看見(jiàn)的。

參考文獻(xiàn)：

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