羅全民　金歡歡

摘要本文以一節(jié)滲透數學思想的復習課為例，基于“問題解決”的教學理念，對數學教學中如何將“問題解決”貫穿于課堂教學中，提出自己的一些見解.教師在數學問題引領中的教學過程，體現了精心設計問題，由淺入深，層層遞進，有利于啟發(fā)學生的思維，培養(yǎng)探索解決問題的能力.讓學生在數學學習活動中經歷“問題解決”，強化“數學思考”，體驗“學習評價”的學習過程，使學生逐步感悟數學思想——分類討論.

關鍵詞問題解決；分類討論；教學思考

《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標》）將“問題解決”列入“課程目標”之一，同時指出：學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化.分類是一種重要的數學思想.教學活動中，學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題[1].為了充分體現以“問題解決”引領課堂，“學習評價”貫穿始終，讓學生在數學學習活動中經歷“問題解決”，強化“數學思考”，體驗“學習評價”的學習過程，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想.助推高效課堂的生成.現以一堂“分類討論思想”專題復習課的教學過程為例，提出自已的一些見解，供同行參考.1問題引領，激趣點題

問題情境操作：把一塊矩形紙片沿某一直線剪下一個角.觀察：剪下一個角時是否經過矩形的頂點？剩下的紙片有幾個角？

師生活動：教師引導學生用事先準備好的小剪刀將矩形紙片沿某一直線任意剪下一個角.學生觀察剩下的紙片，小組討論、歸類.教師用幾何畫板動畫演示剪紙過程（圖1—圖3）.

師：剪下一個角時是否經過矩形的頂點？

生1：有兩種情況，圖1不經過矩形的頂點，圖2，圖3經過矩形的頂點.

師：剩下的紙片有幾個角？圖1圖2圖3

生2：剩下的紙片分別有5個角（圖1），4個角（圖2），3個角（圖3）.

師：看來這個問題的答案不唯一，說說是什么原因造成的？

生（觀察、思考后）回答：在剪下一個角時，截線是否經過矩形的頂點造成的.

老師根據學生的回答板書：

師：這個活動中用到了什么數學方法？

眾生：分類討論的數學方法.

師：分類討論問題要注意什么？

眾生：需要確定同一分類標準，做到不重不漏.

教師板書：同一標準、不重不漏.

師：初中數學涉及分類討論的類型很多，本節(jié)課主要學習幾何中如何應用分類討論思想解決問題（板書課題：“分類討論思想”之幾何篇）.

點評一個看似很簡單且生活化的問題，卻能激起學生的思維火花.正因為問題源于生活，又蘊含著深刻的數學思想，從小問題中看到了大內容，所以學生被問題所吸引，很自然地激活了學生思考的動力，問題引發(fā)學生積極思考，并在此動力的驅動下，讓學生帶著“看來這個問題的答案不唯一，說說是什么原因造成的？”、“分類討論問題需要注意什么？”“這堂課主要學習幾何中如何應用分類討論解決問題”等設問激活了學生思考的原動力，激發(fā)學生分類討論的意識，體現了有價值的情境導入和有效的學習評價是在生動的有思考力度的數學問題的引領下，讓學生在經歷生活數學的過程中“觸景生思”，又能使學生對問題產生思考的欲望，實現了以創(chuàng)設情境激活學習動力的目的，巧妙地點明主題.2問題解決，深入探究

師：同學們，剛才的問題情境讓我們體會了遇到問題要“三思而后行”，不然就會造成對問題的分析不全面.分析問題從何入手呢？怎樣才能做到不重不漏？我們再來解決下面的問題.

問題2已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是.

學生有的回答第三邊長是5，有的說是7，有的認為應該是5或7.

師（并不急于評價）：說說理由？

生3：我根據勾股定理32+42=25，結果得第三邊長是5.

生4：他把3和4看成直角邊，當4為斜邊時就有42-32=7，第三邊長為7.所以第三邊長應該是5或7.

師：非常好，你注意到分析問題要全面，要從不同的角度去討論.

點評在解決問題2的過程中，教師并不急于評價學生的學習結果，而是先讓學生說說理由，在思維層面上從感性到理性構建起了“分類討論”的意識.學生認識到沒有經過全面分析與思考，不能隨意下結論.實現了由現實生活中的問題到數學內部問題的討論，對“分類思想”有了更深的理解.

問題3如圖4，∠ABD=∠BCD=90°，AD=5，AB=4，圖中兩個直角三角形相似，則BC的長是.

生5（計算后）：95或125.

師：請來說說理由？

生6（舉手回答）：圖4中兩個三角形相似，對應邊成比例，AB的對應邊可能是BC，也可能是CD，所以應分兩種情況討論，得出兩個答案.圖4圖5

問題4如圖5，在10×6的網格圖中（每個小正方形的邊長均為1個單位長），⊙A的半徑為1，⊙B的半徑為2，要使⊙A與靜止的⊙B內切，那么⊙A由圖示位置需向右平移個單位長.

眾生（思考片刻）齊答：2個或4個或6個或8個.

師：為什么？

生7（舉手回答）：在⊙A移動過程中，與⊙B可能外切，可能內切，⊙A可能在⊙B的左側，也可能在⊙B的右側.

點評此環(huán)節(jié)設置的三個問題從不同角度引導學生去分析、思考并加以解決，從而師生共同總結出幾何中什么情況下要進行分類討論.通過對問題2的探究，再次感知分析問題要全面，學生對這個問題不斷補充完善，最后思想得到統一，隨后的兩個問題解決起來自然水到渠成，對分類討論思想的理解又更進一步.教師在教學中通過問題引領，學習過程的評價關注學生的進步，關注學生已經掌握了什么，獲得了哪些提高，具備了什么能力，還有什么潛能等培養(yǎng)了學生嚴謹的治學態(tài)度.3問題反思，建構思想

問題5反思總結上述問題的思考過程，在分類討論的過程中你發(fā)現了引發(fā)分類討論的規(guī)律有哪些？

教師引導學生反思總結問題2，問題3，問題4的思考過程，一起總結一下幾何題中引發(fā)分類討論的規(guī)律有：

條件不確定引發(fā)討論；對應關系不確定引發(fā)討論；圖形位置不確定引發(fā)討論.

點評引導學生理解“分類討論思想”，是通過問題開展的，“問題”始終貫穿于對“分類討論思想”的理解中.一種數學思想的構建不是憑空而得，它必須來源于實踐，在實踐中去感悟、理解.問題5的解決實際上是學生在解決問題的過程中發(fā)現新的問題——引發(fā)分類討論的規(guī)律.在整個教學的過程自然流暢、一氣呵成、行云流水，師生交流的思維活動過程呈現得淋漓盡致.

問題6（幻燈片出示題目）：如圖6，在平面直角坐標系中，已知點P（2，1）.點M（m，0）是X軸上的一個動點.當m取何值時，△MOP是等腰三角形？

師：一個三角形是等腰三角形需滿足什么條件？

生齊答：有兩邊相等.

師：在本題中如何分類？

生8（舉手回答）：既然有兩邊相等的三角形是等腰三角形，那么只需OP=PM或OP=OM或PM=OM.

師：怎樣分別求解？

學生通過思考，交流，逐類分析，很快找出所有的點M.

教師進一步引導學生歸納分類討論的一般步驟：

確定分類對象→進行合理分類→逐類進行討論→歸納得出結論.

點評《課標》將“問題解決”列入“課程目標”之一，同時提出了通過義務教育階段的數學學習，增強學生“發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”.從事物發(fā)展的規(guī)律看，“問題”是任何事物發(fā)展的原動力，“發(fā)現問題→提出問題→分析問題→解決問題”是事物發(fā)展的全過程.此教學環(huán)節(jié)正體現這一理念，注重綜合問題的解決，是體現學生能否全面分析問題、能否應用已總結出的分類討論思想去解決問題.4問題拓展，提升能力圖7

問題7如圖7，在Rt△AOB中，已知A（0，6），B（3，0）.以B、C、M為頂點的三角形與Rt△AOB相似，且點M在正方形網格的格點上，點C的坐標為（5，0）.請求出點M的坐標.

學生邊思考，教師邊提示：

由題意知△AOB是一個直角三角形，且兩直角邊的比為2∶1.以B、C、M為頂點的三角形與Rt△AOB相似，則△BCM也是一個直角三角形，且兩直角邊的比為2∶1.

師：一個三角形是直角三角形要滿足什么條件？

生齊答：有一個角是直角.

師：在本題中如何分類？

生9：以點B為直角頂點或以點C為直角頂點或以點M為直角頂點.

師：各種情況怎樣求解？

學生思路清晰，興趣濃厚，紛紛舉手發(fā)表見解.

生10：以點B為直角頂點.過點B作x軸的垂線l1，則點M在直線l1上，此時△BCM兩直角邊為BC、BM，它們的比為2∶1，由于BC為2，那么BM為4，則點M1（3，4），根據對稱性得M2（3，-4）.

師：對生10得出的結論大家認為如何？

（眾生沉默、思考）

生11：喔，我知道了，生10得出的結論不完整，以點B為直角頂點相似的三角形還有一種情況，這里是對應關系不確定，所以BM為4或1，因此還應有兩點M3（3，1），M4（3，-1）.

眾生（恍然大悟）：原來如此.

接下來學生順利得出以點C為直角頂點時，點M的坐標為M5（5，4），M6（5，-4），M7（5，1），M8（5，-1）.

師：第一種情況和第二種情況的討論進行得很順利，接下來第三種情況：以點M為直角頂點，該怎樣入手呢？

生（自信地）：以BC為直徑畫一個圓，由直徑所對的圓周角是直角，可知點M就在圓上.

教室里響起了熱烈的掌聲.

師：我們現在需要尋找這樣的△BCM，它是一個直角三角形，且兩直角邊的比為2∶1.對于第三種情況，剛才這位聰明的同學已經幫助大家解決了直角的問題，減少了條件，還有第二個條件，兩直角邊的比為2∶1，順著這個思路，就可以找到點M了.下面請同學們繼續(xù)討論第三種情況.

生（高高舉起手）：由題意知，點M在格點上，我們不難發(fā)現，既在格點上又在以BC為直徑的圓上的點只有四個，有兩點是分別是B、C，不合題意，舍去.另外兩點（4，1），（4，-1），此時MB與MC的比為1∶1，也就是說，兩直角邊的比不是2∶1，所以以點M為直角頂點的情況不存在.

（教室里再一次想起了掌聲）.

師：同學們太棒了！綜上所述，滿足題意的點M共有8個.通過今天的學習，請同學們談談自己的學習收獲，總結經驗.

生12：對幾何中分類討論的題目有了比較清晰的認識，知道該如何入手解決問題了.

生13：做分類討論的題目不要著急，分類做到不重不漏，逐類認真分析，按照老師所擬的探究步驟有序落實，便可步步為營.

生14：以前看到分類討論的題目就有些莫名的恐慌，通過今天的學習，消除了這種消極的心態(tài).

……

師：同學們，現在再提一個問題，假如把問題中的條件“且點M在正方形網格的格點上”改成“M是坐標系內一點”，以點C為直角頂點時的分類又會出現什么情況呢？這個問題就留給大家下去思考.

點評問題7設置的問題，綜合性強，包含有豐富的內容，學生在解決“以點B為直角頂點”分類時發(fā)生的思維沖突，符合學生認知發(fā)展，也是在解決問題中學生必然經歷的一個過程.在這一過程中教師對生10得出的結論的判斷交給學生：“對生10得出的結論大家認為如何？”，這顯然又把問題拋給學生，留足了思考的空間，然后有了生11的完美補充，眾生“原來如此”的感嘆是從疑惑到理解的真實寫照.問題解決是本節(jié)的重心，提升能力是最終目的.5問題再現，鞏固升華

師：看來同學們收獲頗豐，接下來請同學們獨立完成以下練習：

1.（2011年杭州）若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為.

2.矩形一個角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為.

3.（2013年遵義）如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.動點M，N從點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0

學生獨立完成后，師生統一答案，學生簡要分析解題思路.

師：第三題的原題是遵義市2013年中考的第26題第（1）問，同學們很快做就解答出來？中考題也不過如此呀！相信同學們在沖刺階段認真復習，定會在中考中取得優(yōu)異的成績！今天的課就到這里，下課！

點評這是課堂學習檢測評價環(huán)節(jié)，在掌握了有關知識的基礎上，既是對所學知識的應用鞏固，又是及時檢測評價，突出問題解決與學習評價.通過適時的練習和有效的評價，特別是練習設計中對中考題的科學合理的改編，激發(fā)學生的數學學習興趣，體現了數學教學中的再創(chuàng)造.教師沒有照搬原題，而是根據教學實際情況圍繞“分類討論思想”的應用，進行了恰當的改編.

總評這是一堂以問題“領舞”課堂的復習課，緊緊圍繞以解決問題與學習評價而展開.經過精心設計的好的問題，有利于啟發(fā)學生的思維.本節(jié)課教師在數學問題引領中的教學過程，體現在以問題為主線引導學生合作學習、自主探索解決問題并適時作出有效的評價.

1.教學設計體現“低起點、高觀點、遠目標”.

“低起點”是指面向全體學生，基礎切入，本節(jié)課中問題情境的設置符合課標理念，看似普通但蘊含深刻的數學思想，絕大多數學生能很好的理解，同時又畫龍點睛突出主題；“高觀點”是指整堂課以不同的問題表達一個重要的數學思想——分類討論思想，從問題1到問題7的設置有梯度，層層遞進，內涵豐富，占位高，是站在初中數學教學的制高點來進行教學，選題看似平淡，卻引起學生積極思考參與，做到常規(guī)中有創(chuàng)新，平淡中見新奇；“遠目標”是指為學生終身發(fā)展著想，這里不僅僅是為解決幾個數學問題，而是通過數學問題的解決，培養(yǎng)學生學會數學思考與養(yǎng)成良好的數學素養(yǎng)，體現了從知識立意到能力立意的升華.或許在學生的一生中這些知識已不再重要，但從中體現的數學思想留下深刻的烙印，才是對能力終身影響.

2.問題引領，突出問題解決的思維過程.

教師通過七個問題來引導學生學習.教師在設計問題時，整體把握知識的內在邏輯結構，精選例題，在習題的處理上進行適度“二次開發(fā)”，進行合理重組，合理整合課程資源，突出探究知識體系，預留較大思考空間，在學生已有知識經驗的前提下，用發(fā)展的觀點，為學生的數學學習創(chuàng)設了一個民主、開放、和諧、互動的平臺.不論是問題情景的設置，還是到問題七，都體現出教師在以問題引領的教學中充分發(fā)揮學生主動學習、暴露解題思維的過程，同時教師恰當評價既是對學生思維反應的肯定，也是巧妙引導其學生繼續(xù)思考的有效策略.教師的及時肯定和鼓勵，引發(fā)了學生不斷地在探索問題的過程中發(fā)現問題、提出問題、解決問題.

3.再度思考，突出問題解決的本質.

“問題”是任何事物發(fā)展的原動力，“發(fā)現問題→提出問題→分析問題→解決問題”是事物發(fā)展的全過程.教師最后提出的思考問題：假如把問題中的條件“且點M在正方形網格的格點上”改成“M是坐標系內一點”，以點C為直角頂點時的分類又會出現什么情況呢？這是一個再度把問題推向一個更有思想性的高度，更加突出了問題解決的本質.

4.有效評價，助推高效課堂.有助于學生增強學習信心.通過“問題解決”使學生獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.體會數學知識之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.《義務教育數學課程標準》（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012