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面積法與極限思想的形成*
江西師大教育學(xué)院(330022)
胡細(xì)細(xì)江西師大數(shù)信學(xué)院(330022)劉詠梅
1.引言
高中數(shù)學(xué)有關(guān)極限的教學(xué)問(wèn)題引起了廣泛的討論和研究,極限思想是基本數(shù)學(xué)思想之一,在教學(xué)中,極限的符號(hào)廣泛使用,沒(méi)有極限的語(yǔ)言會(huì)使教學(xué)顯得很不自然.[1]而從現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材來(lái)看,對(duì)于極限我們主要是利用“趨于”、“逼近”、“無(wú)限接近”等進(jìn)行直觀描述,并沒(méi)有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹唉?δ定義”.學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微積分的時(shí)候往往會(huì)產(chǎn)生一種模糊的認(rèn)識(shí),對(duì)于涉及極限思想的問(wèn)題也不能很好的解決.從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程來(lái)看,對(duì)曲面面積的探索正是極限思想形成的重要基礎(chǔ).如圓的面積問(wèn)題一直是古代數(shù)學(xué)家孜孜不倦探索的數(shù)學(xué)問(wèn)題,公元3世紀(jì),中國(guó)偉大數(shù)學(xué)家劉徽采用割圓術(shù)求圓面積;公元12世紀(jì),印度人用“印度圓”求圓面積的方法,到后來(lái)開(kāi)普勒(Kepler,J.)用無(wú)限個(gè)微小三角形求圓面積的方法.[2]借助面積關(guān)系解決問(wèn)題的面積法不僅僅是一種古老的方法,也是個(gè)年輕的方法[3],張景中先生通過(guò)“面積法”,為幾何開(kāi)啟了新的紀(jì)元.它為學(xué)生直接觀察問(wèn)題提供了很好的素材,給學(xué)生思考問(wèn)題提供了支點(diǎn).在教學(xué)中能否利用面積法,提升學(xué)生對(duì)極限的認(rèn)識(shí),促進(jìn)極限思想形成,從而更有效的運(yùn)用極限思想解決問(wèn)題,是一個(gè)值得探索的問(wèn)題.
2.面積法對(duì)極限思想的意義
面積法是利用研究對(duì)象“形”的關(guān)系進(jìn)行思維的方法,是利用思維對(duì)象變化過(guò)程中面積不變性將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的,是辯證思維在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的運(yùn)用.任何幾何圖形,其面積是確定的,面積法是根據(jù)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積的相關(guān)問(wèn)題,從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系,并通過(guò)圖形面積的等積變換對(duì)所論問(wèn)題進(jìn)行求解的方法.[4]面積法是形成數(shù)形轉(zhuǎn)化、有限無(wú)限轉(zhuǎn)化、化曲為直等重要思想的基礎(chǔ)之一,這些思想為極限的形成奠定了基礎(chǔ),因而,將極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題,回歸問(wèn)題本源,是解決問(wèn)題的重要途徑,也是學(xué)生形成極限思想的重要途徑.
2.1建立“形”與“數(shù)”的聯(lián)系
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),“形”和“數(shù)”是構(gòu)成數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派很早就提出了有關(guān)“形數(shù)”的研究,并強(qiáng)烈地提出將數(shù)看作幾何思維元素.古希臘亞歷山大時(shí)期,運(yùn)用幾何的知識(shí)處理等價(jià)的代數(shù)問(wèn)題,如用線(xiàn)段代替數(shù)、兩數(shù)乘積的意義看成兩邊長(zhǎng)等于兩數(shù)的矩形面積等.很多時(shí)候代數(shù)問(wèn)題的解決往往需要借助面積,如用面積的關(guān)系來(lái)處理不等式問(wèn)題.極限思想的運(yùn)用之一,也是借助極限經(jīng)歷形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)化,借助面積關(guān)系,進(jìn)行面積分解和求和,這有助于幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)形轉(zhuǎn)換的過(guò)程,有利于極限思想的形成.其聯(lián)系可表示為以下關(guān)系.
2.2建立“無(wú)窮”與“有窮”的聯(lián)系
Hilbert指出“數(shù)學(xué)是處理無(wú)窮的科學(xué)”[5],數(shù)學(xué)中無(wú)窮的研究往往轉(zhuǎn)化為有窮的問(wèn)題進(jìn)行思考.面積法是由“有窮”向“無(wú)窮”過(guò)渡的重要方法,利用面積法對(duì)“有窮”的直觀認(rèn)識(shí),有利于人們接受“無(wú)限”思維,這也是創(chuàng)造極限和微積分的重要依據(jù).
從度量最簡(jiǎn)單的矩形面積,到曲邊形面積,經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程,在割補(bǔ)變換中,思維也逐漸由“有窮”向“無(wú)窮”慢慢發(fā)展.由于面積守恒,面積的大小始終是“有限”的,圖形結(jié)構(gòu)的“割補(bǔ)移動(dòng)”不會(huì)引起面積的改變,但是可以將圖形“無(wú)限”的分割,如分割成若干個(gè)正方形、矩形、三角形等圖形,因此面積也是“有窮”和“無(wú)窮”結(jié)合的有效載體.在利用面積關(guān)系進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的過(guò)程中,人們對(duì)有窮和無(wú)窮的認(rèn)識(shí)也隨之不斷加深,逐漸萌芽了極限的思想,奠定了微積分的基礎(chǔ).
2.3建立“直”與“曲”的聯(lián)系
古希臘三大著名幾何問(wèn)題之一有化圓為方,這一問(wèn)題的探索,是提出由直到曲解決問(wèn)題的重要依據(jù).如從等腰直角三角形—正方形—圓—橢圓(如下圖)的面積的思考,經(jīng)歷了特殊到一般的過(guò)程.可以得到一般的圓和橢圓的面積為s=kab形式,其中a為“中位線(xiàn)段長(zhǎng)”,b為“高”,進(jìn)而提出曲邊梯形等面積的猜想,這正是微積分計(jì)算原理的基本思想之一.基于這一基本思想,極限思維在歷史的道路上也前進(jìn)了一大步.
通過(guò)無(wú)限逼近,借助已有的面積計(jì)算,推廣到一般的封閉的曲邊圖形面積,這是極限思想的重要體現(xiàn),不僅孕育出了微積分,其本身也是解決問(wèn)題的重要方法.有了微積分這一重要思想和工具,可以講很多問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為面積之間關(guān)系,通過(guò)微積分得以解決.
2.4解決極限類(lèi)函數(shù)不等式問(wèn)題
面積法的具體運(yùn)用是將需要研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題,借助面積之間關(guān)系來(lái)解決.極限類(lèi)函數(shù)不等式問(wèn)題也是高中數(shù)學(xué)重要的一類(lèi)問(wèn)題,面積法是解決這類(lèi)問(wèn)題的一種有效方法.這一方法是通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積之間的關(guān)系,再將面積問(wèn)題借助微積分來(lái)解決,達(dá)到解決原問(wèn)題的目的.
例(2012年天津高考題)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實(shí)數(shù)k的最小值;
析解:(Ⅰ)(Ⅱ)略,下面討論(Ⅲ).
步驟一:將原問(wèn)題借助函數(shù)轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題.
根據(jù)題目中的條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式,正確繪制相應(yīng)的圖形,并使圖形能夠較為直觀地反映相應(yīng)的數(shù)量之間的關(guān)系,揭示出數(shù)與式的內(nèi)在屬性.在此過(guò)程中直觀思維是解決問(wèn)題的基礎(chǔ),是由形的問(wèn)題向數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化的前提.
步驟二:建立面積之間的關(guān)系.
借助所作的圖形仔細(xì)觀察,探究圖形內(nèi)在的本質(zhì)屬性所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,并進(jìn)行較為合理、準(zhǔn)確的猜測(cè),衍生出新的數(shù)與式.
由函數(shù)圖形(如右)可知矩形面積和曲邊梯形面積的關(guān)系,在區(qū)間[1,n]上的n-1個(gè)小矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積.
步驟三:面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系進(jìn)行判斷.
以上通過(guò)圖形與構(gòu)造代數(shù)式及將其進(jìn)行轉(zhuǎn)換,從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)——形的相互轉(zhuǎn)化,形成了相應(yīng)的轉(zhuǎn)化思維,并通過(guò)必要的計(jì)算,從而判斷其較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系.
解決上述問(wèn)題的基本思路是將需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系問(wèn)題,將面積關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分問(wèn)題.這也是借助面積法解決函數(shù)不等式的基本思路.
3.結(jié)語(yǔ)
華羅庚說(shuō)過(guò): “數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”,數(shù)可以結(jié)合形進(jìn)行直觀的解釋?zhuān)跀?shù)—形的轉(zhuǎn)化的過(guò)程中,思維也在不斷的發(fā)展.面積問(wèn)題的研究是極限思想的重要基礎(chǔ),基于極限的微積分又為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供重要的思路.
當(dāng)然,在解決問(wèn)題的過(guò)程中可綜合運(yùn)用到函數(shù)、不等式、定積分、面積等數(shù)學(xué)知識(shí),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、化歸、割補(bǔ)等重要思想方法.并由數(shù)的特點(diǎn)通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、創(chuàng)造等思維活動(dòng),構(gòu)造出相應(yīng)的面積,并經(jīng)歷觀察、猜想、頓悟,由特殊到一般的思維探究過(guò)程,從而逐漸形成正確的極限思想.
參考文獻(xiàn)
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江西省學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目支助,課題編號(hào)JXYJG-2012-028;江西省高等學(xué)校教學(xué)改革課題,課題編號(hào):JXJG-14-2-25.