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把握選考內(nèi)容，提升復(fù)習(xí)效益*

河南省濮陽市第一高級中學(xué)(457000)關(guān)傳平梁文強

近幾年來，高考改革在不斷的進行，數(shù)學(xué)的變化也比較明顯，縱觀其變化，新課標(biāo)全國卷Ⅰ在全國高考中仍占有重要位置，甚至起著引領(lǐng)的作用．廣東、湖北、陜西、四川、重慶、福建、安徽等省份也將于2016年使用新課標(biāo)全國卷Ⅰ，這使得新課標(biāo)全國卷Ⅰ的重要性更加突出，然而新課標(biāo)全國卷Ⅰ與各省市高考卷在選考內(nèi)容上有明顯差異．筆者所在的省份從2011年至今一直在使用新課標(biāo)全國卷Ⅰ，所以對新課標(biāo)全國卷Ⅰ有深刻體會，結(jié)合新課標(biāo)全國卷Ⅰ與各省市高考卷的考試情況，本文將在新課標(biāo)全國卷Ⅰ選考內(nèi)容教學(xué)上做一些分析和探討，以期對進入2016年使用新課標(biāo)全國卷Ⅰ的考生和即將使用新課標(biāo)全國卷Ⅰ的莘莘學(xué)子，以及奮斗在高三一線的數(shù)學(xué)教師有些許幫助．

一、選考內(nèi)容命題規(guī)律

研究近五年來的新課標(biāo)全國卷Ⅰ發(fā)現(xiàn)：選考內(nèi)容文理科一樣，且都有三個小題．試題來源于教材，但又高于教材；題目難度適中，但穩(wěn)中有變；考查的知識點明確，但問題的解答靈活多樣，突出對能力的考查；符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試說明》對選講內(nèi)容的教學(xué)要求，落實了選考內(nèi)容，使不同層次學(xué)生的能力得以發(fā)揮．

1.平面幾何選講

年份題號涉及知識點201122三角形:(1)證明四點共圓;(2)求圓的半徑.201222三角形與外接圓:(1)證明線段相等;(2)證明兩三角形相似.201322圓與切線:(1)證明線段相等;(2)求三角形外接圓半徑.201422圓內(nèi)接四邊形:(1)證明兩角相等;(2)證明三角形為等邊三角形.201522圓的切線:(1)證明切線;(2)求角的大小.

平面幾何通常的考查方式是一證一算．此類題的運算量較小，但有一定的思維深度，重在考查學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證能力．試題一般以考查基本定理為主線，解答此類題有時需要添加輔助線，使數(shù)和形有機結(jié)合起來．

2.極坐標(biāo)與參數(shù)方程

年份題號涉及知識點201123圓的參數(shù)方程與軌跡:(1)求軌跡方程;(2)兩點間距離.201223橢圓參數(shù)方程與圓的極坐標(biāo)方程:(1)求點的坐標(biāo);(2)求距離平方和.201323圓的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程:(1)圓的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;(2)求交點坐標(biāo).201423直線參數(shù)方程與橢圓:(1)參數(shù)方程與普通方程互化;(2)求線段長的最值.201523直線與圓的直角坐標(biāo)方程:(1)化為極坐標(biāo)方程;(2)求三角形面積.

坐標(biāo)系與參數(shù)方程，這部分內(nèi)容主要以必修2和選修2-1教材中解析幾何部分為載體，思維難度相對比較低．解答時一般情況下聯(lián)立方程即可，但計算時需要注意準(zhǔn)確性.對于此類問題，學(xué)生只要掌握了普通方程和參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程三者的互化、參數(shù)的意義，聯(lián)系前面已經(jīng)掌握的直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，就能靈活解決．

3.不等式選講

年份題號涉及知識點201124含絕對值的函數(shù):(1)畫分段函數(shù)圖像;(2)解含參數(shù)的不等式.201224含絕對值的函數(shù):(1)解絕對值不等式;(2)已知解集求參數(shù)的值.201324含絕對值的函數(shù):(1)解絕對值不等式;(2)已知解集求參數(shù)范圍.201424條件不等式:(1)利用均值不等式求最值;(2)均值不等式的應(yīng)用.201524含絕對值的函數(shù):(1)解絕對值不等式;(2)已知面積求參數(shù)范圍.

不等式選講在主要考查絕對值的幾何意義、含絕對值不等式的求解的同時考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．有時問題也會涉及不等式的基本性質(zhì)和重要不等式的應(yīng)用等．不等式的證明在必修5模塊是重點講解內(nèi)容，學(xué)生在熟練掌握基本公式和證明方法的前提下，答題輕而易舉．

二、選考內(nèi)容考試情況

題號222324模塊平面幾何選講極坐標(biāo)與參數(shù)方程不等式選講2011難度系數(shù)0.2450.4710.4262012難度系數(shù)0.2600.4250.4832013難度系數(shù)0.2250.3730.1472014難度系數(shù)0.2730.5000.230

從上表中我們可以發(fā)現(xiàn)，從近幾年的選考試題看，得分率極低．即便是做相對容易的極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講題，平均分也沒有突破5分；選考試題中，平面幾何選講相對比較穩(wěn)定，但試題總體偏難，不易得分；不等式選講難易不定．選考題實際上相當(dāng)于大綱版的第17題，屬于容易題，事實上，考試中卻成為學(xué)生的失分題，這不得不引起一線老師的反思與重視．從考生反饋的情況來看，選考平面幾何的學(xué)生主要輔助線不會做導(dǎo)致無從下手而失分；選考不等式的學(xué)生，主要是解題不規(guī)范、計算失誤、分類討論模糊導(dǎo)致失分；選考極坐標(biāo)與參數(shù)方程的學(xué)生主要是三種曲線方程形式的選擇不恰當(dāng)導(dǎo)致出錯失分．選考試題像水中月，鏡中花，我們能看到清，卻總是拿不到滿分，這種現(xiàn)象應(yīng)引起我們一線教師的重視，在平時的教學(xué)中要尤其注意，力爭避免此類現(xiàn)象在考試中出現(xiàn)．

三、選考內(nèi)容教學(xué)誤區(qū)

1.三個模塊開設(shè)不全

有些學(xué)校為減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，節(jié)約高三復(fù)習(xí)時間，直接拋棄兩個模塊，只講一個模塊，其它模塊學(xué)生自學(xué)，教師總擔(dān)心遍地開花會加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)，希望學(xué)生一枝獨秀，精練一類選考題就能包打天下．事實上，考試時學(xué)生知識面狹窄，知識單一，對于試題沒有選擇余地，難易也只能碰運氣，不會的只能不得分．平時我們少開一本選考內(nèi)容，考試中學(xué)生就少一種選擇，多開一本選修，就多一次得高分的機會，況且知識之間是相互聯(lián)系的，同一學(xué)科內(nèi)的幾個模塊之間有千絲萬縷的聯(lián)系，選考內(nèi)容的延伸和拓展，對于做必考題也大有幫助．在必考題里面出現(xiàn)了選考部分的內(nèi)容，對于學(xué)過的學(xué)生來說是已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，而對于沒有學(xué)過的學(xué)生來說就是新材料、新信息，得分差別更大．

評注:利用不等式選講內(nèi)容中重要的柯西不等式，方法簡單、快捷．

例2(2015江蘇卷理科第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2-y2=1右支上一個動點，若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為.

評注:利用雙曲線參數(shù)方程求最值，通俗易懂，簡單明了．

圖1

例3(2015年湖北卷理科第14題)如圖1，圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點B，A(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

(2)過點A任作一條直線與⊙O:x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結(jié)論：

其中正確的結(jié)論的序號為(寫出所有正確的結(jié)論的序號)

評注:把平面幾何知識遷移到解析幾何中，減少了運算量，降低了試題的難度．

上述三道題足以顯示平面幾何，不等式選講以及極坐標(biāo)與參數(shù)方程選考內(nèi)容的重要性，其它非選考試題也可以用選考內(nèi)容的知識作答，且方法簡單，計算量小，能為考生在考場上贏得更多的答題時間．故所有選考內(nèi)容都有開設(shè)的必要，我們要堅信知識面越寬，解題自由度越大，靈活度越高，得分也會越高．

2.選考模塊講解太快

很多學(xué)校為了趕課，擠壓必修課與選修課時間，大部分學(xué)校在高二下學(xué)期五月底結(jié)束所有必修課與選修課，然后用一個月左右的時間完成不等式選講、平面幾何選講、極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講三本書的講授，基本上十天一本書，草草結(jié)束選考內(nèi)容，由于沒有與之匹配的消化時間和習(xí)題鞏固時間，學(xué)生是囫圇吞棗，一知半解，僅僅停留在知識的表層上，對知識的理解不到位，掌握不到位．到了高三一輪復(fù)習(xí)結(jié)束時再次復(fù)習(xí)選考內(nèi)容，相當(dāng)于熱夾生飯，學(xué)習(xí)效果可想而知．

圖2

從上述兩種解題方法中我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法仍然處在原始的解法中，不會利用新知識解題，而是轉(zhuǎn)了彎才得到結(jié)果，究其原因是課堂上知識的掌握不到位，知識還不能自由遷移．這在某種程度上也是新課講授過快，學(xué)生消化不良造成的．

3.試卷講評成擺設(shè)

很多教師講評試卷也不管學(xué)生選考內(nèi)容答題情況，不評講選考內(nèi)容．一方面，是因為教師對某些選修模塊不熟悉，所以課堂上是一句話帶過，或者根本不講；另一方面，教師從思想上認(rèn)為簡單，再加上學(xué)生做題情況不一樣，學(xué)生只聽他選做的那道試題，其它沒做的就不聽講，所以老師不愿意講評．久而久之，選考內(nèi)容被放在遺忘的角落，學(xué)生只能自己看答案．

(1)求直線l的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|．

4.學(xué)生掌握內(nèi)容單一

一般情況下，學(xué)生如果習(xí)慣于做三道題中的某道題，他們每次就選做該試題，這種偏好導(dǎo)致了學(xué)生放棄其它選考內(nèi)容，久而久之，對其它選考內(nèi)容越來越陌生，考試時一旦經(jīng)常選考的題目難度增加，就手忙腳亂，思維混亂，不知所措．知識單一不但不利于學(xué)生成績的提高，還為今后進一步學(xué)習(xí)埋下了隱患．

(2)過坐標(biāo)原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當(dāng)α變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

這道題的第2問在當(dāng)年的高考中難倒不少考生，如果考生平常只喜歡做極坐標(biāo)與參數(shù)方程這個模塊，那么高考中至少會失掉5分．

例7(2014年新課標(biāo)全國卷Ⅰ第24題)

(1)求a3+b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．

當(dāng)年很多考生看到這道題就懵了，平常都是考含絕對值不等式，這次卻換了頻道，學(xué)生很不適應(yīng)，再加上遇到三次方，學(xué)生更是無從著手．若考生平常習(xí)慣于做不等式，再去做其它題，心里沒底，思來想去，浪費了很多寶貴的時間，也失去了很多分?jǐn)?shù)．

四、選考內(nèi)容備考建議

1.開設(shè)齊全，自主選擇

三個選考模塊全部開設(shè).首先，學(xué)生說不定對哪一模塊感興趣，理解更快，掌握更熟練，多開一個模塊多一些選擇．其次，若其它學(xué)校開設(shè)，自己的學(xué)校不開設(shè)，沒參加考試在知識上就已經(jīng)輸了，還何談高考成績．故選考內(nèi)容要全部開設(shè)．一方面，給學(xué)生在考試時留下了選擇的余地；另一方面，擴大了學(xué)生的知識面，使學(xué)生可以觸類旁通，優(yōu)化解題方法，而且對選考內(nèi)容之外的試題有一定的幫助，各個模塊在解題時各有千秋，不等式內(nèi)容貫穿于整個高中，極坐標(biāo)與參數(shù)方程對求函數(shù)最值，以及圓錐曲線問題起到很大幫助，平面幾何的學(xué)習(xí)為立體幾何奠定了基礎(chǔ)．近幾年的教學(xué)實踐證明，選考內(nèi)容都開設(shè)效果更好．最后，新課標(biāo)的基本理念之一是提供多樣課程，適應(yīng)個性選擇，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)為學(xué)生提供選擇和發(fā)展的空間，為學(xué)生提供多層次，多種類的選擇，學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)下進行自主選擇，必要時還可以進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換、調(diào)整．

2.鉆研考綱，把握難度

隨著更多的省份加入新課標(biāo)全國卷Ⅰ，應(yīng)關(guān)注新課標(biāo)全國卷Ⅰ與各省市的高考題在命題上的差異，特別是選考內(nèi)容的差異．近幾年來，像福建卷考矩陣與變換，這是全國卷不考的內(nèi)容；廣東卷以填空題的形式考查選考內(nèi)容，而新課標(biāo)全國卷Ⅰ以解答題的形式考查；安徽卷理科只考極坐標(biāo)與參數(shù)方程，而文科不考選考內(nèi)容；四川卷文理都不考選考內(nèi)容，湖北卷不考不等式選講等.從中我們可以看出選考內(nèi)容考查的內(nèi)容不同，難易程度也不一樣．所以一線教師應(yīng)認(rèn)真鉆研新課標(biāo)全國卷Ⅰ的考試大綱，掌握命題方向和重難點．

3.認(rèn)真評講，提高效率

教師在試卷講評時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的答題情況，統(tǒng)計學(xué)生錯誤原因，有針對性講評，教師的重視方能引起學(xué)生的重視，教師的課上講評在一定程度上可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤并及時改正自己的錯誤．學(xué)生課下對答案的效果遠遠不如老師細致的點撥，此外，教師也可以規(guī)定考試答一道題，考完后再把其余兩道題以考試的標(biāo)準(zhǔn)做一做，即在教師的督促下完成三道選考題，從而有的放矢的加強對三道選考題的訓(xùn)練，確?？荚嚂r穩(wěn)拿滿分．

4.合理指導(dǎo)，有效解答

一般情況下，學(xué)生按試題順序解答試題，但學(xué)生往往會在第20題圓錐曲線和第21題導(dǎo)數(shù)題耗費大量時間，待做選考題時，可能到了最后15分鐘提示，學(xué)生更是手忙腳亂，沒有心思做下去，所以教師對學(xué)生答題順序的合理指導(dǎo)尤為重要，告訴學(xué)生一般情況下，完成第17題，第18題后就該轉(zhuǎn)移到選考題上．學(xué)生與其在第20，21題上花費時間也不會，不如解答時先做選考內(nèi)容，再按正常順序做，正像有人說的：考試成功就是把自己會做的題做對，我們正是改變了順序，做對了自己會做的題，這就叫成功．

5.夯實基礎(chǔ)，融會貫通

選考題中，平面幾何主要考查相似三角形，平行線截線段成比例定理，直角三角形射影定理，圓的基本性質(zhì)，圓冪定理，圓周角定理，切線等；極坐標(biāo)與參數(shù)方程主要考查參數(shù)方程的互化，直線、圓與橢圓的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義等；不等式選講主要考查含絕對值不等式的解法和不等式的證明方法等．

總之，三道題目在能力考查上各有千秋，思維能力強的學(xué)生可以選擇平面幾何試題，在平時訓(xùn)練中應(yīng)加強分析和推理能力的培養(yǎng)；運算能力強，且熟悉解析幾何的學(xué)生可以選擇極坐標(biāo)和參數(shù)方程試題，平時訓(xùn)練應(yīng)注意運算的準(zhǔn)確性；公式熟練，代數(shù)式處理能力較強的學(xué)生可以選擇不等式試題，平時應(yīng)加強轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)．當(dāng)然，不管選考那類題目，都必須有扎實的基礎(chǔ)知識，縝密的邏輯思維推理能力，以及良好運算求解能力.只有這樣，才能居高臨下，運籌帷幄，決勝千里．

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[6]教育部考試中心．高考理科試題分析(2014年版)[M]．高等教育出版社，2015．1．

本文為2015年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項目“新課改理念下高三數(shù)學(xué)高效復(fù)習(xí)策略研究”(課題批準(zhǔn)號：JCJYC150309115)的研究成果．