黃冬冬，吳 杰，陳傳鐘

（海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 ?？?571158）

隨機市場下保險公司最優(yōu)投資策略:期望效用最大化

黃冬冬，吳 杰，陳傳鐘*

（海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 ?？?571158）

文章研究了保險公司在隨機市場下風險過程為Lévy過程且資本可以投資到風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)，應用鞅方法對二次效用函數(shù)得到均值—方差有效投資問題的顯示解.

均值-方差有效投資組合；向前向后隨機微分方程；跳擴散過程；鞅方法

最優(yōu)投資組合選擇問題一直是金融市場學者研究的重點.Perera［1］（2010）研究了在Lévy市場狀態(tài)轉換模型下投資者帶可保風險的最優(yōu)消費、投資和保險策略.Sotomayor［2］（2009）求得了體制轉換模型下最優(yōu)消費投資問題的顯示解.Wang［3］（2007）用鞅方法研究標準Black-Scholes模型下保險公司的最優(yōu)投資.Zhou［4］（2004）運用Markowitz均值-方差選擇連續(xù)時間市場狀態(tài)轉換模型的投資組合.Bin［5］（2014）于2014年研究了市場為帶跳擴散過程模型下HARA效用函數(shù)最優(yōu)投資和風險控制策略.本文在隨機市場下考慮保險公司最優(yōu)投資問題的均值-方差準則，應用鞅方法得到二次效用函數(shù)最優(yōu)投資策略的顯示解.

1 模型

在時間段［0，T］上考慮僅有兩種可交易資產(chǎn)的金融市場：一種是無風險資產(chǎn)如債券，其價格過程為Bt；另一種為風險資產(chǎn)如股票其價格過程為St.在概率空間（Ω，F(xiàn)，（Ft）0≤t≤T，P）上Bt和St滿足如下隨機微分方程rt，μt和σt為正的有界函數(shù)，為標準布朗運動.

保險公司的風險過程Rt為

假定索賠額Y=｛Yi，i≥1｝為獨立同分布的隨機變量序列，累計分布函數(shù)F滿足F（0）=0，且擴散項表示在保險公司t時刻不確定的剩余是一種二維布朗運動使得分支的相關系數(shù)為ρ.可以表示為為另一標準布朗運動獨立于W（1）.

進一步假設W（1），W（2），N和｛Yi，i≥1｝為相互獨立.若Lt表示補償泊松過程為F的均值，則風險過程（3）可以表示為

令c=α-λmF則

這里c和β為常數(shù)，W（1）和W（2）為兩個獨立的布朗運動，L為一維純跳Levy過程.它們都是定義在（Ω，F(xiàn)，（Ft），P）上，（Ft）由（W（1），W（2），L）生成且F=FT.W（1），W（2）和L相互獨立.設u表示L的跳的測度.它的對偶可料投影v的形式v（dt，dx）=dt×m（dx），m（｛0｝）=0且我們假設Levy測度m如下：

（A1）∫Rx2m（dx）＜∞

在假設（A1）下，Lt為平方可積且由Levy分解為（Cont and Tankov（2003））

注1：對風險模型（3），m（dx）=λF（dx）.

保險公司允許將資金投資到股票和債券上.交易策略可以表示為（Ft）-可料過程π=πt，πt表示在t時刻投資到股票的資產(chǎn).

所有容許交易策略組成的集合記為Π.相對于容許交易策略π和初始資本x0，保險公司的財富過程Xx0，π滿足如下隨機微分方程

即

假設保險公司最終財富的效用函數(shù)為U，則其目標為

效用函數(shù)U為嚴格凹，且在（-∞，∞）上連續(xù)可導.因為U為嚴格凹，則對保險公司來說至多存在唯一的最優(yōu)終端財富［8］.

對任意π*∈Π和π∈Π，由U的凹性可以得到

由式（10）我們可以得到如下性質，給出了最優(yōu)交易策略的充分條件.

性質1 若存在一策略π*∈Π使得在為常數(shù)，則π*為最優(yōu)交易策略.

引理1 對任意P-鞅Z，存在可料過程θ=（θ1，θ2，θ3）使得對所有有［10］

2 均值-方差準則

均值-方差投資組合的選擇問題是在π∈Π上最大化期望終端財富且同時最小化終端財富的方差.這是帶有兩個相矛盾準則的多目標最優(yōu)化問題.若不存在交易策略π∈Π使得這兩個不等式至少有一個嚴格成立，則交易策略π*∈Π稱為均值—方差有效.我們知道尋找均值—方差有效策略等價于最大化期望二次效用.下面對問題（9）考慮二次效用函數(shù)

2.1 有效策略

為常數(shù).

引理2 設π*∈Π，則π*滿足條件（11）當且僅當存在使得為下面向前-向后隨機微分方程（FBSDE）的解.

式（12）中P為由左連續(xù)（Ft）-適應過程生成的σ-代數(shù)表示為所有關于（Ft）-適應過程（Xt）且滿足的集合，L2（P）為所有關于（Ft）-可料的實值過程θ1滿足的集合為所有定義在可測實值函數(shù)θ3使得對所，為局部可積遞增過程，這里

證明 假設π*滿足條件（11）.Xx0，π*∈L2F為（12）中FBSDE的解為一平方可積鞅.對任意停時τ≤ T，設，則πτ∈Π.將πτ代入（11），對所有停時τ≤T，

為常數(shù).這說明

由Ito公式可得

則

設（X，π，Z，θ2，θ3）為FBSDE（12）的解，則必然有分別比較（19）式和（8）式的和 d（u-v）項，可以猜測有

即

將（21）式代入（19）式，且等式（8）我們有

若取

且

下面我們驗證上面的猜想.設

且

則SDE

會有解［12］

這里

令

最后由性質1和引理2結合上面的結論我們有如下定理

定理1 設π*定義為由（24）—（27）形式，則π*為二次效用函數(shù)的最優(yōu)交易策略.

3 結論

本文研究了保險公司在隨機市場下風險過程為Lévy過程且資本可以投資到風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)，通過選擇投資策略來最大化終端財富的期望效用.應用鞅方法對二次效用函數(shù)得到均值—方差有效投資問題的顯示解，可以得出最優(yōu)投資策略與市場的收益、風險及無風險利率有關，對實際的投資應用具有一定的理論指導意義.此外，還可以推廣到其他效用函數(shù)如對數(shù)效用函數(shù)來研究最優(yōu)投資問題的顯示解.

［1］Perera R.Optimal consumption，investment and insurance with insurable risk for an investor in a Lévy market［J］.Insurance Mathematics and Economics，2010，46：497-484.

［2］Sotomayor L，Cadenillas A.Explicit solutions of consumption investment problems in financial market with regime switching［J］. Math，F(xiàn)inance，2009，19：251-279.

［3］Wang Z，Xia J，Zhang L.Optimal investment for an insurer：the martingale approach［J］.Insurance Mathematics and Economics，2007，40：322-334.

［4］Zhou X Y，Yin G.Markowitz’s mean-variance portfolio selection with regime switching：a continuous-time model［J］.SIAM J，Control optim，2004，42：1466-1482.

［5］Bin Z，Abel C.Optimal investment and risk control policies for an insurer：Expected utility maximization［J］.Insurance Mathematics and Economics，2014，58：57-67.

［6］Eun J J，Jai H K.Optimal investment strategies for the HARA utility under the constant elasticity of variance model［J］.Mathematics and Economics，2012，51：667-673.

［7］Zhuo J，Yin G，Wu F.Optimal reinsurance strategies in regime-switching jump diffusion models：stochastic differential game formulation and numerical methods［J］.Insurance Mathematics and Economics，2013，53：733-746.

［8］胡華，胡若.雙曲絕對風險厭惡函數(shù)的最優(yōu)消費與投資組合的顯式解［J］.上海理工大學學報，2007，29（1）：42-44；78.

［9］張凌梅，徐偉.具有雙曲絕對風險厭惡函數(shù)類投資者的風險度量［J］.西北工業(yè)大學學報，2006，24（6）：741-744.

［10］葉中行，林建忠.數(shù)理金融資產(chǎn)定價與金融決策理論［M］.北京：科學出版社，1998.

［11］嚴加安.金融數(shù)學引論［M］.2版.北京：科學出版社，2012.

［12］詹森，王輝豐.構造雙偶數(shù)階空間更完美幻立方的四步法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2014，27（4）：389-395.

責任編輯：劉 紅

Optimal Investment Strategies for an Insurer in Stochastic Markets:Expected Utility Maximization

HUANG Dongdong，WU Jie，CHEN Chuanzhong*
（School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

In this paper we investigate mean-variance criterion of the optimal investment problem for an insurer.The insurer’s risk process is modeled by a Lévy process and the capital can be invested to the risky assert and the riskless assert. We obtain explicit solutions of the optimal investment strategy for the quadratic utility function by martingale approach.

Mean-variance efficient portfolio；Forward-backward stochastic differential equation（FBSDE）；Jump-diffusion process；Martingale approach

F 830

A

1674-4942（2016）02-0131-06

2016-02-27

國家自然科學基金（11361021）

*通訊作者