孫保華

林崇德說(shuō)過(guò)：“不管是智力還是能力，其核心成分是思維，最基本特征是概括?！毙W(xué)數(shù)學(xué)的許多知識(shí)都是抽象概括的產(chǎn)物。學(xué)生認(rèn)識(shí)這些知識(shí)，必須經(jīng)歷一個(gè)“形象—表象—抽象”的復(fù)雜心理活動(dòng)過(guò)程，即要經(jīng)歷把外部形象的感知材料經(jīng)過(guò)頭腦的思維加工，轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理的認(rèn)識(shí)過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展水平和概念的發(fā)展過(guò)程，逐步發(fā)展學(xué)生的概括能力。

一、 認(rèn)清過(guò)程——成竹在心

概括能力是在對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)感知的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)相應(yīng)數(shù)量關(guān)系與空間形式本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行抽象概括而形成的。小學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力的形成與發(fā)展一般要經(jīng)歷以下四個(gè)心理過(guò)程。

1.感知事實(shí)

感知數(shù)學(xué)事實(shí)指通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的觀察、操作和實(shí)驗(yàn)等，對(duì)具體的數(shù)學(xué)事實(shí)獲得感性認(rèn)識(shí)的活動(dòng)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)事實(shí)具有直觀性的特點(diǎn)，一般包括具有數(shù)學(xué)題材的事物、圖像、文字、圖示及數(shù)學(xué)符號(hào)等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要對(duì)具體的數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行感知，為抽象概括提供依據(jù)。如在乘法結(jié)合律的學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的概括能力，首先必須對(duì)符合乘法結(jié)合律的一些算式進(jìn)行觀察感知，發(fā)現(xiàn)這些算式的共同特點(diǎn)，對(duì)其普遍規(guī)律獲得直觀體驗(yàn)，為抽象概括打下基礎(chǔ)。

2.分析抽象

數(shù)學(xué)中的分析抽象同概括聯(lián)系十分緊密，通常是通過(guò)分析個(gè)別事物的個(gè)別屬性獲得認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上對(duì)同一類事物的本質(zhì)屬性獲得認(rèn)識(shí)，并進(jìn)一步區(qū)分出哪些是事物共同的、本質(zhì)的屬性，為將這些本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去打下基礎(chǔ)。例如，認(rèn)識(shí)平行四邊形，首先要觀察生活中的平行四邊形物體，抽象出平行四邊形的幾何圖形，然后對(duì)平行四邊形進(jìn)行分析抽象，發(fā)現(xiàn)每個(gè)平行四邊形都有兩組對(duì)邊平行且相等，相對(duì)的角都相等。

3.概括結(jié)論

在分析抽象的基礎(chǔ)上，需要把具有相同本質(zhì)屬性的事物聯(lián)合起來(lái)形成數(shù)學(xué)結(jié)論（如概念、性質(zhì)、法則、公式等），并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言）表達(dá)出來(lái)，實(shí)現(xiàn)對(duì)事物本質(zhì)屬性的概括，同時(shí)為更高層次的概括提供分析抽象的基礎(chǔ)。如在認(rèn)識(shí)三角形的學(xué)習(xí)中，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)三角形都是由三條線段圍成的圖形，從而概括出“由三條線段首尾相接圍成的圖形叫三角形”這一數(shù)學(xué)結(jié)論。這一步不但揭示了三角形的本質(zhì)屬性，也促進(jìn)了學(xué)生概括能力的發(fā)展。

4.推廣遷移

概括能力的形成與發(fā)展是具有漸進(jìn)性和層次性的。當(dāng)學(xué)生通過(guò)對(duì)個(gè)別事物的分析抽象概括出事物的本質(zhì)屬性后，還會(huì)進(jìn)一步在更大范圍內(nèi)尋找同類事物的內(nèi)在聯(lián)系，并將這些本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去，進(jìn)行更加廣泛的遷移活動(dòng)，形成包容范圍更大、層次更高的概括化的數(shù)學(xué)結(jié)論，讓學(xué)生伴隨著這種過(guò)程促進(jìn)自身概括能力的形成與發(fā)展。如結(jié)合整數(shù)中加法和乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)概括出了加法交換律、結(jié)合律和乘法交換律、結(jié)合律及分配律，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中同樣可以應(yīng)用這些運(yùn)算定律，由此把這些運(yùn)算定律由整數(shù)運(yùn)算推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中去，從而實(shí)現(xiàn)更大范圍的概括。

二、 尋求策略——有的放矢

概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心，沒(méi)有數(shù)學(xué)上的概括就無(wú)法獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，也就不能促進(jìn)其他數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。教師在教學(xué)過(guò)中必須遵循小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，耐心尋求最科學(xué)、最準(zhǔn)確、最有效的策略，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生參與抽象概括的全過(guò)程。

1.典型材料，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

小學(xué)生概括能力的形成與發(fā)展是以對(duì)感性材料的觀察、操作為基礎(chǔ)，通過(guò)不斷抽象概括而逐步形成與發(fā)展的，為學(xué)生提供有利于抽象概括的典型材料是概括能力形成與發(fā)展的重要條件。因此，在教學(xué)中，要為學(xué)生提供充分反映事物本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系的典型材料，獲得對(duì)這些典型材料的感知和理解，引導(dǎo)學(xué)生探究，從而發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性和聯(lián)系。如學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法后，出示如下這道題：

先計(jì)算，再觀察每組算式的得數(shù)，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

將上面兩組算式（左右對(duì)應(yīng)的兩個(gè)算式為一組）作為感性材料，讓學(xué)生在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：分母是相鄰的非零自然數(shù)，而分子都是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，它們的差等于它們的積。

教學(xué)中要注意兩點(diǎn)：一是力戒一例一結(jié)，不要僅舉一個(gè)例子就總結(jié)出一個(gè)結(jié)論，而應(yīng)盡量多舉幾個(gè)有代表性的例子，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)其共同屬性再下結(jié)論。二是力避一展就收，不要一展示出事物的本質(zhì)屬性，就馬上下結(jié)論，而應(yīng)讓其本質(zhì)屬性充分展示出來(lái)，甚至要故意夸張，讓學(xué)生充分感知，再下結(jié)論，這樣才能水到渠成。

2.掌握方法，準(zhǔn)確概括

（1）提問(wèn)法——概括的邏輯性。數(shù)學(xué)概念具有一定的邏輯結(jié)構(gòu)和順序。給概念下定義，通常用“屬加種差”的方法。一般是先找到它鄰近的屬，再找到其特有的種差。例如，教學(xué)梯形，可設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考：這些圖形是幾邊形？對(duì)邊是怎樣的？有幾組對(duì)邊分別平行？在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生把這些結(jié)論合起來(lái)，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括歸納出梯形的定義：只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形。通過(guò)這樣的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，準(zhǔn)確地概括出梯形的定義。

（2）歸并法——概括的簡(jiǎn)潔性。有些概念、原理是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的方面概括而成的，教學(xué)時(shí)可先逐一敘述，然后再引導(dǎo)學(xué)生將其合并起來(lái)，成為一個(gè)全面概括、語(yǔ)言簡(jiǎn)潔的定義。例如，教學(xué)比的基本性質(zhì)，可引導(dǎo)學(xué)生分別概括出“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘相同的數(shù)（0除外），比值不變”，“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），比值不變”，然后將兩句合并為一句：“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變”。這樣，不僅使學(xué)生深刻理解了比的基本性質(zhì)，而且使概括出來(lái)的語(yǔ)言非常簡(jiǎn)潔。

（3）選詞法——概括的準(zhǔn)確性。數(shù)學(xué)概念要準(zhǔn)確，敘述的語(yǔ)言就必須準(zhǔn)確。在引導(dǎo)學(xué)生概括時(shí)，要通過(guò)相近詞的選擇，幫助學(xué)生形成準(zhǔn)確用詞的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。例如，教學(xué)方程的概念，引導(dǎo)學(xué)生概括、揭示概念時(shí)，可這樣板書(shū)：含有未知數(shù)的（ ）叫做方程。讓學(xué)生從“式子、算式、等式”三個(gè)詞中選填一個(gè)。又如，教學(xué)小數(shù)的性質(zhì)，可這樣板書(shū)：小數(shù)的（ ）添上或去掉“0”，小數(shù)的大小不變。讓學(xué)生從“末尾、最后、后面”三個(gè)詞中選填一個(gè)。這樣做，既能準(zhǔn)確概括，使學(xué)生正確地理解概念的意義，體會(huì)用詞的準(zhǔn)確性，又能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)推敲，養(yǎng)成用詞謹(jǐn)慎的習(xí)慣。

（4）填充法——概括的完整性。有些概念用語(yǔ)言表達(dá)，句子較長(zhǎng)，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，有一定的難度。教學(xué)時(shí)，我們可以只要求學(xué)生能夠理解，如要用語(yǔ)言完整表達(dá)，可以讓學(xué)生填寫(xiě)部分關(guān)鍵詞語(yǔ)。例如，教學(xué)乘法結(jié)合律，可讓學(xué)生填空：三個(gè)數(shù)相乘，可以先把前兩個(gè)數(shù)（ ），再（ ）；或者先把后兩個(gè)數(shù)（ ），再（ ），它們的積（ ），叫做乘法結(jié)合律。這樣做，既減少了冗長(zhǎng)的敘述，降低了學(xué)生概括的難度，又突出運(yùn)算方法的變化，加深了學(xué)生對(duì)公式的理解。

（5）反例法——概括的嚴(yán)密性。許多數(shù)學(xué)概念都是有條件限制的，而小學(xué)生概括概念時(shí)往往疏忽有關(guān)條件，說(shuō)出諸如“直徑是半徑的兩倍”“兩條不相交的直線叫做平行線”“三角形的面積是平行四邊形面積的一半”等錯(cuò)誤判斷來(lái)。因此，教學(xué)時(shí)必須適時(shí)舉出反例，提醒學(xué)生在概括時(shí)加上必要的限制條件。如，教學(xué)圓的直徑與半徑的關(guān)系，可以用兩個(gè)大小不同的圓的直徑和半徑作比較，說(shuō)明“在同一個(gè)圓里”的條件必不可少。

3.類比遷移，以舊識(shí)新

概括與遷移具有密切的聯(lián)系，遷移的實(shí)質(zhì)就是概括。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中，要溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，突出知識(shí)間的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，以此促進(jìn)學(xué)生概括能力的發(fā)展。

（1）學(xué)習(xí)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的下位知識(shí)時(shí)，讓學(xué)生用已有的知識(shí)去同化下位知識(shí)，將新知識(shí)納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的概括與整合。例如，認(rèn)識(shí)了三角形后再學(xué)習(xí)三角形的分類，將三角形按角分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，按邊分為等腰三角形和不等邊三角形，從而建立一個(gè)相對(duì)完整的三角形概念系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)各種三角形的全面概括。

（2）學(xué)習(xí)已有知識(shí)的上位知識(shí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不同內(nèi)容之間的共同要素，從而建立一個(gè)能包容新舊知識(shí)的上位知識(shí)結(jié)構(gòu)。將筆算整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法通過(guò)進(jìn)一步概括形成更加概括的上位規(guī)則，即凡是加減法都必須是相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減。

（3）在綜合應(yīng)用中，讓學(xué)生對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有知識(shí)重組，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)重組性遷移。例如，有這樣一道練習(xí)題：有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)和寬都是5分米，高是10分米，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方分米？解答這道題時(shí)，學(xué)生有多種解題方法，其思考過(guò)程如下：第一，因?yàn)殚L(zhǎng)方體相對(duì)面的面積相等，因此只要算出其中三個(gè)面的面積，再乘以2即可。算式：（5×5+5×10+5×10）×2=250（平方分米）。第二，因?yàn)樯稀⑾聝蓚€(gè)面積相當(dāng)于一個(gè)前面面積，求6個(gè)面積只要求出5個(gè)前面面積。算式：5×10×5=250（平方分米）。第三，因?yàn)榍?、后、左、右四個(gè)面的面積分別都等于2個(gè)上面的面積，底面面積等于上面面積，因此，求6個(gè)面積只要求出10個(gè)上面面積。算式：5×5×10=250平方分米。同時(shí)，學(xué)生通過(guò)相互交流，開(kāi)闊了思路，受到啟發(fā)，活躍了課堂氣氛，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，促進(jìn)了學(xué)生概括能力的發(fā)展。

4.引導(dǎo)梳理，溝通聯(lián)系

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，就是在某一階段的學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)的有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行回憶與梳理，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生從更加概括的層面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，在這樣的活動(dòng)中促進(jìn)學(xué)生概括能力的發(fā)展。

（1）突出整理的層次性。在某一階段某個(gè)知識(shí)系統(tǒng)學(xué)習(xí)結(jié)束后，都要及時(shí)對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與已有知識(shí)之間的聯(lián)系，喚起學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與商不變規(guī)律的聯(lián)系，從而有效地幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（2）抓住相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。突出不同內(nèi)容之間的本質(zhì)聯(lián)系，讓學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。如對(duì)平面圖形面積的復(fù)習(xí)，不但要鞏固各種平面圖形面積的計(jì)算方法，還要讓學(xué)生理解各種平面圖形面積計(jì)算方法間的聯(lián)系，感悟面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)其內(nèi)容獲得更加概括的認(rèn)識(shí)。

總之，只有具備良好的概括能力，才能獲得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，才能使數(shù)學(xué)對(duì)象的感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)，使認(rèn)識(shí)發(fā)生質(zhì)的飛躍，從而為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移、知識(shí)的運(yùn)用提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】