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有關(guān)三角形相似的討論

2016-05-14 07:20:50陳頌
讀與寫·教育教學(xué)版 2016年9期
關(guān)鍵詞:對(duì)頂角直角直角三角形

陳頌

摘 要:我們知道,相似三角形有幾種判定定理,這些定理形式各異,都需要我們好好的來(lái)理解。本文分別對(duì)這幾種判定定理進(jìn)行分析,并且梳理相關(guān)的知識(shí)點(diǎn),希望能夠?qū)ψx者有所啟發(fā)。

關(guān)鍵詞:相似 三角形

中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1672-1578(2016)09-0033-01

我們知道,相似三角形有幾種判定定理,這些定理形式各異,都需要我們好好的來(lái)理解。本文分別對(duì)這幾種判定定理進(jìn)行分析,并且梳理相關(guān)的知識(shí)點(diǎn),希望能夠?qū)ψx者有所啟發(fā)。

1 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

這種情況可以類比考慮以下情形:設(shè)直線AB與直線CD平行,直線l1與直線l2相交于點(diǎn)O,直線l1分別與直線AB、CD相交于點(diǎn)A、D,直線l2分別與直線AB、CD相交于點(diǎn)B、C,此時(shí)可以分為兩種情況:

(1)點(diǎn)O在直線AB與CD之間。此時(shí)三角形OAB與三角形OCD相似(對(duì)頂角相等,兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,且AO∶OD=BO∶OC)。

(2)點(diǎn)O在直線AB與CD之外(有兩種情況:在直線AB之外與在直線CD之外。由于對(duì)稱性,兩種情況是一致的,所以歸為一種)。此時(shí)三角形OAB與三角形OCD有一個(gè)公共的角O。又由于同位角相等,三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等。且OA∶OC=OB∶OD.三角形OAB與三角形OCD相似。這種情況可以與以下知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系:三角形的中位線。我們知道,三角形的中位線與底邊平行,且等于底邊長(zhǎng)的一半。此時(shí)兩個(gè)三角形相似,且邊長(zhǎng)之比即相似比為1∶2,面積之比為相似比的平方,為1∶4。

2 如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且?jiàn)A角相等,那么這兩個(gè)三角形相似

這種情況就是上述中的情況(2)。

3 如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似

我們知道如果兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例的話,那么我們可以將其中一個(gè)三角形平移,平移的位置可以是上述的情況(1),即有一對(duì)角是對(duì)頂角。也可以是情況(2),即有一對(duì)角重合。我們將之前的推理反過(guò)來(lái),由平行線的性質(zhì),可以得出兩個(gè)三角形相似的結(jié)論。具體如下:

假設(shè)三角形ABC與三角形A′B′C′對(duì)應(yīng)邊成比例,即AB∶BC∶AC=AB′∶BC′∶AC′,那么我們可以將三角形A′B′C′平移至點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合,且AB與A′B′在同一條直線上。此時(shí)由于AB∶AC=AB′∶AC′,故BC∥B′C′,故由于同位角相等,三角形ABC與三角形A′B′C′有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等。角A為兩個(gè)三角形的公共角。此時(shí)三角形ABC與三角形A′B′C′相似。

如果我們學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí),由余弦定理(已知三邊長(zhǎng),可以求出三個(gè)角的大?。┪覀兛梢缘玫剑鲜鰞蓚€(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等。于是三角形相似。

4 如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等(或三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等),則有兩個(gè)三角形相似

我們知道,三角形內(nèi)角和是180°,那么如果已知兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等,則第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等。我們假設(shè)三角形ABC與三角形A′B′C′對(duì)應(yīng)角相等,即∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,那么我們可以將三角形A′B′C′平移至點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合的位置,且點(diǎn)B′在邊AB或AB的延長(zhǎng)線上。此時(shí)由于∠B=∠B′,∠C=∠C′,故BC∥B′C′,故三角形ABC與三角形

A′B′C′三邊對(duì)應(yīng)成比例。故三角形與ABC三角形A′B′C′相似。

5 特殊的直角三角形相似的判定定理

直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。這種情況要利用余角的性質(zhì),得到有一對(duì)(或兩對(duì),一對(duì)也夠用)相同的銳角,由上述情況四知,直角三角形與原三角形相似。

如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似。由勾股定理可以得到,若上述已知條件成立,那么這兩個(gè)直角三角形另外一對(duì)直角邊也與斜邊對(duì)應(yīng)成比例,應(yīng)用上述情況三知,兩三角形相似。

另外,全等三角形是特殊的相似三角形,相似比為1∶1。同學(xué)們也可以把全等三角形和相似三角形的判定定理對(duì)比研究,相信會(huì)很有收獲。

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