陳頌

摘 要：我們知道，相似三角形有幾種判定定理，這些定理形式各異，都需要我們好好的來(lái)理解。本文分別對(duì)這幾種判定定理進(jìn)行分析，并且梳理相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，希望能夠?qū)ψx者有所啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：相似 三角形

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2016）09-0033-01

我們知道，相似三角形有幾種判定定理，這些定理形式各異，都需要我們好好的來(lái)理解。本文分別對(duì)這幾種判定定理進(jìn)行分析，并且梳理相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，希望能夠?qū)ψx者有所啟發(fā)。

1 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

這種情況可以類比考慮以下情形：設(shè)直線AB與直線CD平行，直線l1與直線l2相交于點(diǎn)O，直線l1分別與直線AB、CD相交于點(diǎn)A、D，直線l2分別與直線AB、CD相交于點(diǎn)B、C，此時(shí)可以分為兩種情況：

（1）點(diǎn)O在直線AB與CD之間。此時(shí)三角形OAB與三角形OCD相似（對(duì)頂角相等，兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，且AO∶OD=BO∶OC）。

（2）點(diǎn)O在直線AB與CD之外（有兩種情況：在直線AB之外與在直線CD之外。由于對(duì)稱性，兩種情況是一致的，所以歸為一種）。此時(shí)三角形OAB與三角形OCD有一個(gè)公共的角O。又由于同位角相等，三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等。且OA∶OC=OB∶OD.三角形OAB與三角形OCD相似。這種情況可以與以下知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系：三角形的中位線。我們知道，三角形的中位線與底邊平行，且等于底邊長(zhǎng)的一半。此時(shí)兩個(gè)三角形相似，且邊長(zhǎng)之比即相似比為1∶2，面積之比為相似比的平方，為1∶4。

2 如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似

這種情況就是上述中的情況（2）。

3 如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似

我們知道如果兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例的話，那么我們可以將其中一個(gè)三角形平移，平移的位置可以是上述的情況（1），即有一對(duì)角是對(duì)頂角。也可以是情況（2），即有一對(duì)角重合。我們將之前的推理反過(guò)來(lái)，由平行線的性質(zhì)，可以得出兩個(gè)三角形相似的結(jié)論。具體如下：

假設(shè)三角形ABC與三角形A′B′C′對(duì)應(yīng)邊成比例，即AB∶BC∶AC=AB′∶BC′∶AC′，那么我們可以將三角形A′B′C′平移至點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，且AB與A′B′在同一條直線上。此時(shí)由于AB∶AC=AB′∶AC′，故BC∥B′C′，故由于同位角相等，三角形ABC與三角形A′B′C′有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等。角A為兩個(gè)三角形的公共角。此時(shí)三角形ABC與三角形A′B′C′相似。

如果我們學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)，由余弦定理（已知三邊長(zhǎng)，可以求出三個(gè)角的大?。┪覀兛梢缘玫剑鲜鰞蓚€(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等。于是三角形相似。

4 如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等（或三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等），則有兩個(gè)三角形相似

我們知道，三角形內(nèi)角和是180°，那么如果已知兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，則第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等。我們假設(shè)三角形ABC與三角形A′B′C′對(duì)應(yīng)角相等，即∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，那么我們可以將三角形A′B′C′平移至點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合的位置，且點(diǎn)B′在邊AB或AB的延長(zhǎng)線上。此時(shí)由于∠B=∠B′，∠C=∠C′，故BC∥B′C′，故三角形ABC與三角形

A′B′C′三邊對(duì)應(yīng)成比例。故三角形與ABC三角形A′B′C′相似。

5 特殊的直角三角形相似的判定定理

直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。這種情況要利用余角的性質(zhì)，得到有一對(duì)（或兩對(duì)，一對(duì)也夠用）相同的銳角，由上述情況四知，直角三角形與原三角形相似。

如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。由勾股定理可以得到，若上述已知條件成立，那么這兩個(gè)直角三角形另外一對(duì)直角邊也與斜邊對(duì)應(yīng)成比例，應(yīng)用上述情況三知，兩三角形相似。

另外，全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1∶1。同學(xué)們也可以把全等三角形和相似三角形的判定定理對(duì)比研究，相信會(huì)很有收獲。