周軍

【摘要】 數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)命題的基本元素，數(shù)學(xué)概念里蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想及思維方法，所以透徹的掌握數(shù)學(xué)概念，就是抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì).為了減輕高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難，使高中生盡快進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的軌道，我們要對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行研究，從掌握方法這個(gè)本質(zhì)上，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的多種常見學(xué)習(xí)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣從而培養(yǎng)學(xué)生的雙基和思維能力，達(dá)到新課改的目的.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)概念；中心詞；關(guān)鍵詞；學(xué)習(xí)方法

一、研究數(shù)學(xué)概念的目的

進(jìn)入高中后，學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感覺困難，這種現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象是我研究數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的動(dòng)力；數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，數(shù)學(xué)概念永恒不變！數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)公理定理公式等命題的基本元素，所以透徹的掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)概念里蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想及思維方法，通過數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，即抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，既能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，又能起到綱舉目張和事半功倍的作用.

二、數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)

1.數(shù)學(xué)概念的含義

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映.所以，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，可以以現(xiàn)實(shí)生活為出發(fā)點(diǎn)，明確告訴學(xué)生，主要研究空間形式和數(shù)量關(guān)系及本質(zhì)屬性.

2.數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)

概念的結(jié)構(gòu)：在一個(gè)科學(xué)體系中，任何一個(gè)概念都反映事物的一定范圍和這個(gè)范圍內(nèi)食物的共同本質(zhì).概念所反映事物的范圍叫做這個(gè)概念的外延；這些事物的本質(zhì)屬性的總和，叫做這個(gè)概念的內(nèi)涵.

同樣，數(shù)學(xué)概念也有其外延和內(nèi)涵.數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵，對(duì)于中學(xué)生來講，顯得太理論化，學(xué)生不習(xí)慣，也容易感覺枯燥而失去興趣.我就換種說法，即數(shù)學(xué)概念的“外延”用“中心詞”來描述，數(shù)學(xué)概念的“內(nèi)涵”用“關(guān)鍵詞”來描述.“中心詞”往往出現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念的最后一個(gè)詞.“關(guān)鍵詞”，其實(shí)就是“中心詞”的定語(yǔ)，往往在“中心詞”的前面.

3.數(shù)學(xué)概念的方法

在數(shù)學(xué)中常用概念的限定與概念的概括這兩種方法，給出新的概念，前者體現(xiàn)了從一般到特殊，后者體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.

4. 數(shù)學(xué)概念中的漢語(yǔ)語(yǔ)言文字，有時(shí)可以看作無實(shí)在意義的符號(hào)，這樣反而更容易幫助學(xué)生接受概念，消除對(duì)數(shù)學(xué)抽象概念的恐懼感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.例如，充分條件的概念，高中學(xué)生總感覺是難點(diǎn).如果我們從純數(shù)學(xué)邏輯的角度去講解這個(gè)概念，學(xué)生反而不懂.我們把“充分條件和必要條件”看作兩個(gè)符號(hào)，A和B，這兩個(gè)符號(hào)代表或描述同一種狀態(tài)，是對(duì)同一種狀態(tài)的不同說法.同一種狀態(tài)，即pq；前者是后者的A，即充分條件，也可用另一種表述，即后者是前者的B，即必要條件.

三、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法

1.找出和把握數(shù)學(xué)概念的“中心詞”和“關(guān)鍵詞”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和核心，把握其“中心詞”和“關(guān)鍵詞”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本方法.

舉例來理解“中心詞”和“關(guān)鍵詞”.高中數(shù)學(xué)涉及的“角”很多，列舉如下：“向量之間的夾角，直線的傾斜角，異面直線所成角，斜線和平面所成的角，二面角的平面角”等，學(xué)生不容易準(zhǔn)確界定這些角的范圍，其原因就是對(duì)角的概念理解不準(zhǔn)確.這些角的定義中，最后一個(gè)詞都是“角”，是“中心詞”，合乎角的一般定義.所以我們引導(dǎo)學(xué)生，要找出“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”“旋轉(zhuǎn)量的大小”“ 旋轉(zhuǎn) 的方向”.在數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔性原則作用下，這些角的大小基本被限制在平角范圍內(nèi)，都用正角表示，都盡量用較小的角表示.所以當(dāng)我們將其他三個(gè)要素即“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”找到后，角的范圍也就出來了！而“角”前面的定語(yǔ)等描述，就是“關(guān)鍵詞”.向量之間的夾角，頂點(diǎn)是兩個(gè)向量共同的箭尾.特殊性在于，兩個(gè)向量有方向，分別充當(dāng)始邊終邊，所以可以既取0°又取180°，范圍即θ∈[0°，180°]；直線的傾斜角，頂點(diǎn)是直線與x軸的交點(diǎn)，始邊是x正方向，終邊是頂點(diǎn)向直線向上的方向.由于沒有方向，當(dāng)重合時(shí)，等于0°或180°，簡(jiǎn)潔性原則告訴我們，能用小的數(shù)表示就不用大的數(shù)表示，所以取0°而不等于180°，范圍即θ∈[0°，180°）；異面直線所成角，頂點(diǎn)是平移后的交點(diǎn)，由于異面，不等于0°，范圍即θ∈（0°，90°]；斜線和平面所成的角，頂點(diǎn)是斜足，一條邊是斜線，那另一條邊呢？所以要找出另一條邊！另一條邊一定經(jīng)過斜足！兩點(diǎn)確定一條直線，再找一個(gè)點(diǎn)！射影在不同的人手里，都是唯一的，所以作出垂線，垂足作為另一個(gè)點(diǎn).這樣找出了另外一條邊.范圍即θ∈[0°，90°]；二面角的平面角，“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”三者都沒有！都需要我們找出來！頂點(diǎn)是兩個(gè)半平面共有的，所以只能在兩個(gè)半平面的交線上作頂點(diǎn)O！角是兩個(gè)面形成的角，所以角的兩條邊應(yīng)該在兩個(gè)面內(nèi)分別找！過頂點(diǎn)O的邊有無數(shù)條，垂線在不同人的手里，都是唯一的！所以作垂線作為角的邊！兩個(gè)平面由重合到完全展開，對(duì)應(yīng)著邊由0°到180°，范圍即∠AOB∈[0°，180°].

2.利用概念的限定和概念的概括兩種方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

上述角的范圍的理解和學(xué)習(xí)，是采用一般的概念“角”來說明特殊的概念“向量之間的夾角，直線的傾斜角，異面直線所成角，斜線和平面所成的角，二面角的平面角”等，這種方法叫做概念的限定.我們?cè)诮虒W(xué)中，注意運(yùn)用這種方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，教學(xué)效果就會(huì)事半功倍.例如高中數(shù)學(xué)“函數(shù)概念”的學(xué)習(xí)程序，“作圖、通過圖像研究定義域、值域，通過自變量和因變量之間的變化關(guān)系，來研究函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性”等.“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)”都是“函數(shù)”，都是借助研究“函數(shù)概念“的模式來學(xué)習(xí)的；“等差數(shù)列、等比數(shù)列”都是“數(shù)列”，都體現(xiàn)了次序和次序?qū)?yīng)的數(shù)列的項(xiàng)；“運(yùn)算方法”通常指“加減乘除乘方”等，講到“向量的運(yùn)算”“數(shù)組的運(yùn)算”“復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算”時(shí)自然聯(lián)想到“加減乘除”；這是從一般概念來認(rèn)識(shí)特殊概念，等等.

反之，從特殊概念認(rèn)識(shí)一般概念.例如高中數(shù)學(xué)“數(shù)組”是“向量”的一般形式，“向量”是“數(shù)組”的特例，高中數(shù)學(xué)教材先講“向量”，再講“數(shù)組”，即先講特例再講一般概念；在學(xué)習(xí)“數(shù)組”時(shí)，可以介紹兩者的關(guān)系，讓學(xué)生感覺到“數(shù)組”的親切感，從而對(duì)“數(shù)組”不陌生、不恐懼，即可以類比“向量”來學(xué)習(xí)“數(shù)組”.高中“函數(shù)”概念，在初中一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)基礎(chǔ)上，再抽象概括，也是一種概念的概括方法，等等.

3.借助表達(dá)式來學(xué)習(xí)概念，即將概念中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出來，有的可以形成等量或不等量的關(guān)系，進(jìn)而來研究.

1）將數(shù)學(xué)概念用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出來，即用等式或不等式表示數(shù)學(xué)概念.

比如等差數(shù)列的概念，將其表達(dá)式進(jìn)一步抽象得

例如：求函數(shù)y= 8-2x2+2x 的定義域一題，就是將二次函數(shù)的值域，充當(dāng)指數(shù)函數(shù)自變量，再充當(dāng)冪函數(shù)的自變量.

7.數(shù)學(xué)概念可以放在生活里研究

在現(xiàn)實(shí)生活里，學(xué)生有其自己的生活世界和社會(huì)實(shí)踐，有自己的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn).以學(xué)生生活為背景來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，可以激發(fā)學(xué)生在生活里應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣和習(xí)慣.香港教材“公說公有理婆說婆有理”的題目，股東、工會(huì)領(lǐng)導(dǎo)人、某工人三人，針對(duì)同一個(gè)公司里的紅利和工資，在xoy直角坐標(biāo)系中畫了三種直線的圖像，表達(dá)了三種心聲！

8.借助于電腦這個(gè)現(xiàn)代化的工具來研究

高中數(shù)學(xué)《數(shù)據(jù)表格信息處理》《線性規(guī)劃初步》等，都可以放在電腦里學(xué)習(xí)研究，生動(dòng)形象可操作.

四、讓學(xué)生大膽參與到數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中

新課程發(fā)展的核心理念：為了每一名學(xué)生的發(fā)展.我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，讓學(xué)生大膽參與進(jìn)來，從其自己的生活經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)概念.

例如，在進(jìn)行“角”的概念教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生說出生活里，他們接觸到的“角”的詞，語(yǔ)文學(xué)得好的學(xué)生，很快說出魯迅故鄉(xiāng)里的楊二嫂，站成了圓規(guī)；有很多學(xué)生會(huì)說出各種經(jīng)驗(yàn)體驗(yàn)，牛角羊角等，不要輕視這些不著邊際的例子，要鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生找這些角的共性，有尖端，經(jīng)過尖端，空間越來越大.把這個(gè)空間用鋸子鋸開，讓被鋸開的部分，在一個(gè)平面上蓋章，即得到角的輪廓，尖端可以抽象為點(diǎn)，輪廓可以抽象為兩條射線，即角的兩條邊再引導(dǎo)學(xué)生觀察擰螺絲、鐘表，擰螺絲時(shí)，螺絲刀在一定的方向下，旋轉(zhuǎn)了不止一周.時(shí)針和分針之間的角的大小超過一周，并有一定方向，進(jìn)而引進(jìn)任意角…也體會(huì)了高中角的形成過程，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的角.

五、結(jié) 語(yǔ)

通過數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)方法的研究，可以讓高中生盡快擺脫數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困境.學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法后，可以把這種方法遷移到數(shù)學(xué)公式等命題的學(xué)習(xí)，遷移到其他學(xué)科如物理化學(xué)等的學(xué)習(xí)中，激發(fā)了學(xué)生們的數(shù)學(xué)興趣.也能夠有效、高效的培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)、技能、能力，培養(yǎng)出更多有能力去為人民服務(wù)的社會(huì)主義建設(shè)者.