張建明

摘要：《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求“對于重要的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現(xiàn)”，這就要求我們教師在教學(xué)中應(yīng)注重對學(xué)生的觀察、操作、分析、思考能力的培養(yǎng)，更應(yīng)不斷地滲透數(shù)學(xué)思想方法，如何分類是我們初中數(shù)學(xué)應(yīng)該重點教育的內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：分類；初中數(shù)學(xué)；思維素質(zhì)

中圖分類號：G633.6文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）07-085-2

在自然科學(xué)的研究中，人們通常采用分類的思想方法，透過事物的各種表象，提示事物的本質(zhì)特征，從而達到真正認識該事物的目的。作為自然科學(xué)之一的數(shù)學(xué)，分類方法的運用尤其突出，可以說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最基本的方法，作為數(shù)學(xué)基石的初中數(shù)學(xué)，更是如此。因此，教學(xué)應(yīng)注重對學(xué)生分類思想的培養(yǎng)，讓他們獲取研究問題的“鑰匙”。在知識的接收和技能的形成過程中，更透徹、全面地認識數(shù)學(xué)概念、公式、定理等，以養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣，給問題的解決帶來方便。我在平時教學(xué)中，在學(xué)生分類思想的確立方面作了一些有益的探索，談點粗淺的看法。

縱觀現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材，不難發(fā)現(xiàn)，一到三年級的相關(guān)內(nèi)容里，多處出現(xiàn)分類討論的問題。分類定義絕對值的概念；一次函數(shù)y=kx+b、正比例函數(shù)y=kx、反比例函數(shù)y=k/x的性質(zhì)，分k>0與k<0兩種情況討論；關(guān)于一元二次方程的根的情況分Δ>0，Δ=0，Δ<0三種情況討論，關(guān)于點與圓的位置關(guān)系性質(zhì)，分點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外三種情況討論等。這些都充分體現(xiàn)了初、高中數(shù)學(xué)在知識與方法上的有機銜接，而且分類思想在中考與高考中也經(jīng)常出現(xiàn)，因此，在教學(xué)中，對學(xué)生適時地，有意識地加強引導(dǎo)，逐步滲透，強化分類討論意識是十分必要的。

一、按概念分類

初中數(shù)學(xué)課本里的有些數(shù)學(xué)概念是分類定義的。

例1實數(shù)a的絕對值，即分a>0，a=0，a<0三種情況定義的。所以，當(dāng)解決式子中含絕對值的題目時，就應(yīng)該分類處理。

設(shè)a是任意實數(shù)，求a與它的相反數(shù)的差的絕對值的2倍的值。

解：依題意，則：2|a-（-a）|=2|2a|，然后分a>0，a=0，a<0三種情況討論。

二、按運算分類

我們知道，在除法運算中規(guī)定：除數(shù)不能為0。因此，對一次方程，當(dāng)化為最簡形式ax=b后，若未知數(shù)系數(shù)含選定字母，則須就系數(shù)分a=0與a≠0進行討論。有些運算性質(zhì)，如：不等式的基本性質(zhì)2、3條，在使用是時，須分不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)與同一個負數(shù)，來決定不等號的方向是否改變。所以，對一次不等式，在化為最簡形式后，若未知數(shù)系數(shù)中含待定字母，須分系數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況討論。

例2解關(guān)于y的不等式：m（2y-m）>2（y-3m）+5

解：原不等式變形為：2（m-1）y>（m-1）（m-5）；

（1）當(dāng)m>0時，不等式解集為y>（m-5）/2；

（2）當(dāng)m=0時，不等式無解；

（3）當(dāng)m<0時，不等式的解集為y<（m-5）/2，通過這類題目的練習(xí)，讓學(xué)生感受邏輯思維的層次性與知識的系統(tǒng)性，培養(yǎng)嚴(yán)謹、全面處理問題的能力。

三、按不確定分類

教學(xué)中，常遇到一些幾何命題，題目本身并沒有給出圖形，依據(jù)條件及結(jié)論，若題圖的位置或形狀不止一種可能，則應(yīng)全面考慮，逐個分類討論。如：（1）直角三角形的三邊為3、4、x，求x。即應(yīng)分x作斜邊與4作斜邊兩種情況求解。（2）等腰三角形周長為15，一邊長為7，求另兩邊的長。即應(yīng)分已知邊作腰與作底邊兩種情況求解。（3）⊙O的半徑是5，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，求AB與CD之間的距離。即要分弦AB、CD在圖⊙O的兩側(cè)與同側(cè)兩種情況求解。（4）兩圓相切，一圓的半徑是2cm，圓心距是5cm，求另一圓的半徑。應(yīng)分內(nèi)切與外切兩種情況考慮。

四、按取值分類

對于有些具體的數(shù)學(xué)問題，如：圖象位置、不等式的解集、代數(shù)式的值等，它們的結(jié)果會因題中字母的不同取值而各異，此時，需對字母的取值分類討論，方可得到正確的答案。如：

（1）已知一次函數(shù)y=（k-3）x-9，試判斷直線經(jīng)過的象限，就要分k>3與k<3進行討論。

（2）在同一直角坐標(biāo)系中，表示函數(shù)y=k/x，y=k（x2-1）的圖象大致位置。這類圖象的位置與k的符號有關(guān)，依題意需分兩種情況討論。通過作這幾類的題目，讓學(xué)生感受思維的深刻性與廣闊性，從而培養(yǎng)他們合理、靈活地解決問題的能力。

五、按幾何位置分類

1.與線段有關(guān)的問題，如：線段AB=7cm，在直線AB上畫線段BC=3cm，則線段AC=。

2.與等腰三角形有關(guān)的問題。

例3已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點A（4，0）、B（0，-3），試在坐標(biāo)軸上找一點P，使△PAB為等腰三角形。求出P點的坐標(biāo)。

析：本題中△PAB由于P點位置不確定而沒有確定，而且等腰三角形中哪兩條是腰也沒有確定?！鱌AB是等腰三角形有幾種可能呢？我們可以按腰的可能情況加以分類：

（1）∠A為頂角則AP=AB；以A為圓心以AB為半徑畫圓可以得到除B以外的三個交點；

（2）∠B為頂角則BA=BP；以B為圓心以BA為半徑畫圓可以得到除A以外的三個交點；

（3）∠P為頂角則PB=PA；P在AB的垂直平分線上畫圖可以得到與坐標(biāo)軸的兩個交。綜上所述可以得到坐標(biāo)軸上符合條件的八個P點。

3.與直角三角形有關(guān)的問題，如：在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，1），點B的坐標(biāo)為（11，1），點C到直線AB的距離為4，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的點C有（）個。

4.與圓有關(guān)的問題，如：點與圓、直線與圓、兩圓的位置關(guān)系。

（1）半徑分別為10、17的兩圓相交，公共弦長為16，求圓心距。

析：本題極易漏解，原因是沒有想到本題要分類討論。實際上本題的圖形是不確定的，有兩種可能：①兩個圓心分別在公共弦的兩側(cè)；②兩個圓心在公共弦的同側(cè)。分類畫出圖形，利用勾股定理，可分別解得圓心距為21或9。

（2）點M到⊙O的最長距離為5，最短距離為1，則圓的半徑為。

（3）⊙O半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，則AB和CD的距離為cm。

（4）相切的兩圓半徑分別為3cm和2cm，則兩圓的圓心距為cm。

六、按應(yīng)用分類

例4某批商品，一個月僅能月初進貨一次，如月初售出可獲利潤1000元，再將成本和利潤一起投資，月末可得05%回報，如月末售出可獲利1100元，但需付50元保管費，問這批貨物是月初還是月末售出好？

析：應(yīng)用題中的分類討論都是在解題過程中的討論，這時應(yīng)有分類討論的意識，需認真分析產(chǎn)生不同影響的因素，明確討論對象，使題目解答完整。由本題意可知，利潤與成本有關(guān)，因此有必要對成本進行討論，當(dāng)成本x=9000元時，兩者均可，當(dāng)成本x>9000元時，月初出售好，當(dāng)成本x<9000元時，月末售出好。

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而并不是問題中一出現(xiàn)含參數(shù)問題就一定得分類討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡化分類討論，從而達到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。

數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)對學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠的影響?？傊?，在初中各個模塊的教學(xué)中，逐步滲透用分類討論等數(shù)學(xué)思想的去解決問題。分類討論覆蓋的知識點較多，有利于考查學(xué)生的知識面、分類思想方式多樣，具有較高的邏輯性和較強的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏地分析討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果。綜上所述，應(yīng)將分類討論思想貫穿于教學(xué)始終，針對初中生的年齡特點，在充分發(fā)揮形象思維的同時，嘗試引導(dǎo)他們多運用抽象思維，去解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，久之，便會形成高級創(chuàng)造性思維，獲得研究問題的科學(xué)思維方法，讓學(xué)生更得心應(yīng)手地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

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