高艷影 郜舒竹

【摘 要】在目前的概念教學(xué)中，往往存在對概念的剖析不足和教學(xué)模式單一等問題，而教科書作為教師教學(xué)的主要依據(jù)，雖然能夠明確指出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，但也因其高度的概括性使學(xué)生對概念的理解存在一定的困難。面對這樣的問題，學(xué)生可以通過查閱詞典，然后用與教科書中的概念進行對比、分析的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，這樣不僅能夠輔助學(xué)生對其進行理解，還可以將課堂上以教師“講授”為主的教學(xué)活動，改變?yōu)橐詫W(xué)生自主“學(xué)習(xí)”為主的學(xué)習(xí)活動，變“教概念”為“學(xué)概念”，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的“變教為學(xué)”。這樣的概念學(xué)習(xí)模式對于學(xué)生的概念學(xué)習(xí)是有必要的、有益的。

【關(guān)鍵詞】漢語詞典 概念教學(xué) 變教為學(xué) 教科書

一、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中存在的問題

數(shù)學(xué)教學(xué)從數(shù)學(xué)知識的形態(tài)上進行區(qū)分，大體可分為數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)和數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)三個部分。[1]數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，數(shù)學(xué)概念的理解和掌握與學(xué)生數(shù)學(xué)知識技能的掌握、數(shù)學(xué)思考的啟發(fā)、解決數(shù)學(xué)問題能力以及數(shù)學(xué)情感態(tài)度的培養(yǎng)有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)在小學(xué)階段尤為重要，然而，在實際小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中卻存在一定的問題。

例如，在一節(jié)課題為“認(rèn)識周長”的公開課上，教師設(shè)計了三個教學(xué)活動。

活動一：用筆描一描圖形的一周。

活動二：觀察以下三個圖形有“一周”嗎。

活動三：估一估哪個圖形的一周最長，然后量一量。

該教師設(shè)計了三個教學(xué)活動，試圖讓學(xué)生通過親自描一描、看一看、量一量等一系列的學(xué)習(xí)活動，感受平面圖形的周長，了解只有封閉圖形才有周長以及規(guī)則與不規(guī)則圖形周長的測量方法。本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是“認(rèn)識周長”，可是關(guān)于什么是周長，學(xué)生并沒有深入的理解，只能根據(jù)教科書提供的周長的概念定義得知：封閉圖形一周的長度叫作周長。那么什么叫作“一周”呢？事實上，教師并沒有對周長的概念進行解讀與剖析，學(xué)生對周長概念的掌握也只是停留在“一周”上。

教科書是教師教學(xué)過程中主要的依據(jù)和參考材料，也是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的載體。教科書中數(shù)學(xué)概念的定義對于師生之間學(xué)習(xí)活動的展開有著重大的影響。通過整理人教版教科書中的概念定義發(fā)現(xiàn)：教科書中的概念定義雖然能夠明確指出概念的本質(zhì)，但是另一方面也因其高度的概括性不利于學(xué)生的理解與掌握。

二、詞典與教科書的結(jié)合

（一）詞典與教科書的關(guān)系

教科書是教師組織教學(xué)和學(xué)生展開學(xué)習(xí)的主要參考資料，詞典作為人們在實際生活中普遍應(yīng)用的工具書之一，給人們的生活和學(xué)習(xí)帶來便利。事實上，教科書與詞典之間有著緊密的聯(lián)系，兩者在概念定義方面有同也有異。兩者的相同之處在于，教科書與詞典都對概念進行了解釋說明，都有助于人們對概念的理解與解讀。與此同時，兩者也存在差異，首先，教科書與詞典的用處有所不同。教科書主要是供學(xué)生和教師使用，是用于教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的工具書。而使用詞典的人除了學(xué)生還有各行各業(yè)的工作者等其他社會人士，詞典的使用無論對于學(xué)習(xí)和工作都大有裨益。其次，是對于概念的定義，教科書中的數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)研究對象及其決定性屬性的思維形式，[2]是對一類數(shù)學(xué)研究對象的本質(zhì)屬性以及它們之間關(guān)系的高度概括。而詞典作為人們學(xué)習(xí)和工作必不可少的工具書之一，在對詞語的概念定義進行解釋的同時，還會對其意義或者用法進行解釋說明，這些都能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念。

（二）教科書與詞典結(jié)合使用的好處

1.幫助學(xué)生更精確地理解數(shù)學(xué)概念

《數(shù)學(xué)辭海（第六卷）》[3]中指出數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容之一，主要包括以下三點：

（1）要透徹理解數(shù)學(xué)概念，就是說要咬文嚼字、逐字逐句地推敲。

（2）要注意概念隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而拓展，給予它新的定義。

（3）注意使用概念解題，在使用中加深理解。

數(shù)學(xué)概念是對某一類事物特征和本質(zhì)的高度總結(jié)，是由語句組成，而語句又是由一個個詞語組成，那么對數(shù)學(xué)概念的剖析與理解就需要適當(dāng)?shù)摹白终寰渥谩?，詞典作為高權(quán)威性工具書之一，其合理使用對學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解有著積極的影響。

2.有效地增加學(xué)生的學(xué)習(xí)活動

詞典的有效使用不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，還可以適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生的學(xué)習(xí)活動，把“以教為主”的課堂教學(xué)變?yōu)椤耙詫W(xué)為主”的課堂教學(xué)，實現(xiàn)教與學(xué)的易位，打造“變教為學(xué)”理念的理想課堂：“讓每一位學(xué)生受到關(guān)注，讓每一位學(xué)生都有活動，讓每一位學(xué)生都有機會”，[4]最終實現(xiàn)“讓每一位學(xué)生獲得發(fā)展”的目標(biāo)，這樣的數(shù)學(xué)課堂對于學(xué)生來說毫無疑問是有益的。

以“周長”的教學(xué)為例，詞典中“周長”的定義是“周長即圓、橢圓或其他封閉圖形的周界的長度”。因此學(xué)生在理解“什么是周長”之前，首先要知道什么叫作“周界”。根據(jù)詞典中的釋義，所謂“界”就是指：“邊境，一個區(qū)域的邊限，常用來表示兩個地區(qū)分界的線；某些事物的邊緣；盡頭處，限度?！蹦敲磳τ谝粋€封閉圖形來說，可以把封閉曲線圍成的部分叫作內(nèi)部，其余的部分叫作外部，那么內(nèi)部和外部之間的界限就叫作這個封閉圖形的周長（如圖1所示）。

為了將“界”形象化，教師可以在設(shè)計教學(xué)時結(jié)合《西游記》中孫悟空為了保護唐僧而畫的一個圓圈輔助學(xué)生理解，這里的“界”其實就是圓圈的周長。這樣的教學(xué)設(shè)計不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能夠?qū)ⅰ敖纭薄爸荛L”現(xiàn)實化，這種將抽象的幾何知識具體化、現(xiàn)實化的教學(xué)模式對于處于初級認(rèn)知階段的小學(xué)生來說無疑是有利的。

對“界”概念的理解不僅有助于學(xué)生掌握“周長”的概念，還能夠幫助學(xué)生認(rèn)識“直線”“射線”“線段”。在幾何領(lǐng)域，一維圖形的界是點；二維圖形的界是周長；三維圖形的界是表面積。線作為一維圖形，根據(jù)有無端點以及端點的個數(shù)被分為直線、射線和線段三種類型。根據(jù)詞典中“界”的第三種釋義“盡頭處，限度”來進行理解，直線沒有端點，相當(dāng)于沒有盡頭，因此可以向兩端任意的無限延長；射線只有一個端點，那么射線便可以向“無界”，也就是沒有端點的方向無限延長；而線段有兩個端點，兩邊都有“界”，因此是無法無限延長的。

三、“平行”概念的“變教為學(xué)”

相交與平行是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系，正確認(rèn)識“平行”的概念，不僅對理解平行四邊形、梯形等平面圖形起著至關(guān)重要的作用，小學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何、平移等數(shù)學(xué)知識的掌握同樣離不開“平行”。教科書中將平行定義為：在同一平面不相交的兩條直線叫作平行線，也可以說這兩條直線互相平行。即平行是通過是否相交來進行判定的。

如圖3所示，經(jīng)過延長之后的兩條不相交的直線就一定平行嗎？除了延長之外是否存在其他的方法可以簡便準(zhǔn)確地判定兩條直線是否平行？

（一）“距離”與“平行”

事實上，詞典中“平行”的概念定義是：兩條線或者兩個平面之間的距離相等，始終不相交。如果可以結(jié)合詞典中給出的“平行”定義，學(xué)生便可以通過測量兩條直線之間的垂線段也就是“距離”來判斷兩條直線是否平行，而不是僅僅根據(jù)所謂的“無限延長”或者直接觀察去判斷平行。如此一來，學(xué)生對于平行的概念便有了更加準(zhǔn)確、深入的認(rèn)識，與此同時也深刻地感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。

值得強調(diào)的是，對于平行線的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生不僅要掌握平行線的概念，了解平行線的性質(zhì)，還需要掌握平行線的畫法，這樣的話僅憑“同一平面內(nèi)，兩條直線不相交”這一概念去畫平行線明顯是不準(zhǔn)確的。事實上，在學(xué)生畫平行線的時候就已經(jīng)運用到“距離恒等的兩條直線互相平行”這一定義了。

如圖4所示，蘇教版教科書中給出的平行線的畫法實際上就是根據(jù)“兩條直線間距離相等，兩直線平行”來畫平行線的，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)平行的概念時對詞典給出的平行的定義有所了解，那么根據(jù)教科書與詞典的結(jié)合使用，學(xué)生無論是對平行的概念定義還是平行線的畫法都能夠很好地掌握了。

事實上，早在古代的《墨經(jīng)》中便曾指出：“平，等高也”。[5]以地平面為基準(zhǔn)，如果一條直線到地面的距離恒相等，那么便可以斷定這條直線與地面平行。而在現(xiàn)實生活中經(jīng)常用來衡量物體質(zhì)量的儀器——天平，判斷兩端物體質(zhì)量是否相等的依據(jù)就是觀察天平的橫梁是否與水平面平行，也就是橫梁兩端到平面的距離是否相等（如圖5）。除此之外，著名的捷克教育家Comenius在其著作《Geometria》中給出的平行線的畫法如圖6所示，已有直線AB，分別以A、B兩點為圓心，定長為半徑畫半圓，那么兩個半圓的切線CD平行于AB。若連接AC、BD便可以發(fā)現(xiàn)，AC、BD的長度即兩個半圓的半徑，而兩個半圓的半徑是相等的，即AC=BD，因此根據(jù)兩條直線間距離相等，兩直線平行，得出AB與CD互相平行。

可見，“距離”的學(xué)習(xí)與學(xué)生理解“平行”的概念有著緊密的聯(lián)系。

（二）平行的教學(xué)設(shè)計

“距離”的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生更好地理解平行，而“距離”作為兩條直線之間的垂線段，是在“垂直”的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，因此，在學(xué)習(xí)平行之前應(yīng)該將“垂直”與“距離”的教學(xué)編排在先，因為垂直可以通過測量相交的角的度數(shù)進行判定，是可度量的，學(xué)生在掌握“垂直”與“距離”的概念之后便可以通過測量兩條直線之間的距離是否相等對平行進行判定，使得平行也具有了可度量性，有助于學(xué)生更加準(zhǔn)確地掌握平行的概念。

教學(xué)活動要根據(jù)知識屬性進行設(shè)計，數(shù)學(xué)課程中知識的屬性有兩種：發(fā)現(xiàn)（discover）和發(fā)明（invention），知識屬性不同，學(xué)習(xí)的方式自然也存在差異。發(fā)現(xiàn)過程的核心環(huán)節(jié)是“觀察與比較”，“發(fā)明”的過程重在“需求與創(chuàng)造”。[7]數(shù)學(xué)概念是對一類事物本質(zhì)屬性的高度概括，其知識屬性是一種“發(fā)明”，因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念首先要感受需求，然后讓學(xué)生經(jīng)歷自主創(chuàng)造的過程，從而掌握數(shù)學(xué)概念。

任何人學(xué)習(xí)任何知識都不可能“看見就會，聽見就懂”。就一節(jié)課的學(xué)習(xí)過程來說，應(yīng)當(dāng)是“感知、思考、交流”等環(huán)節(jié)的“循環(huán)往復(fù)，螺旋上升”的過程。[8]首先，學(xué)習(xí)過程起始階段的“感知”實際上就是感受需求，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，讓學(xué)生愿意去學(xué)。然后，學(xué)生具有了學(xué)習(xí)動機便會主動進行思考，從而嘗試通過各種方法解決問題。學(xué)生在思考問題、解決問題之后便可以與同伴或者師生之間進行交流。需要注意的是，在交流的過程中要尊重每個學(xué)生的意見，然后就目前的疑惑繼續(xù)進行“感知—思考—交流”的學(xué)習(xí)過程，直至問題得以解決。

“認(rèn)識平行”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，實際上引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三次“感知—思考—交流”這樣的學(xué)習(xí)過程，最終得以全面的認(rèn)知“平行”。

第一次“感知—思考—交流”：觀察生活中“不相交”的現(xiàn)象，通過認(rèn)知沖突引出對“不相交”的位置關(guān)系的思考。此前學(xué)生已經(jīng)得知同一平面內(nèi)的兩條直線存在相交與不相交的兩種位置關(guān)系，當(dāng)兩條直線相交夾角為90°時，兩條直線互相垂直，那么當(dāng)兩條直線不相交時，又該如何描述這種位置關(guān)系呢？學(xué)生可以自由地對其進行定義，各抒己見。但是，數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)知識的特點是其通用、精確、簡約的科學(xué)語言。[9]因此需要統(tǒng)一命名這種位置關(guān)系，從而引發(fā)了第二次“感知—思考—交流”的過程。

第二次“感知—思考—交流”：學(xué)生通過仔細觀察這種不相交的位置關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)這種位置關(guān)系的特點，即沒有交點而且兩直線之間的距離相等，結(jié)合《墨經(jīng)》中的“平，等高也”以及生活中常見的天平，將這種不相交的位置關(guān)系叫作“平行”。

第三次“感知—思考—交流”：對平行概念的深入理解，學(xué)習(xí)畫平行線。根據(jù)目前對“平行”的理解，判斷下圖中的兩條直線是否平行。

學(xué)生可能會通過延長兩條直線觀察是否相交來進行判定，但是需要延長很長的一段距離。此時應(yīng)鼓勵學(xué)生思考：有沒有其他的方法可以迅速準(zhǔn)確地判斷這兩條直線是否平行。學(xué)生帶著問題查詢詞典中定義的“平行”的概念，獨立思考、理解詞典中“平行”的概念定義然后進行組內(nèi)交流，根據(jù)詞典中給出的定義驗證這兩條直線是否平行。最后根據(jù)對“平行”的完整的認(rèn)識動手畫一組平行線，同學(xué)之間互相交流畫法，說說為什么這么畫。通過判定兩直線是否平行以及動手畫平行線的活動再次鞏固對“平行”概念的理解，最終掌握“平行”這一數(shù)學(xué)知識。

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解至關(guān)重要。在實際教學(xué)中，詞典的合理使用對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)有著積極的輔助作用，不僅能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，還可以使學(xué)生經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)、解決問題的過程，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，真正地讓學(xué)生去“學(xué)概念”而不是教師“教概念”。學(xué)生的學(xué)習(xí)取決于他自己做了什么，而不是教師做了什么，[10]在教學(xué)過程中，要讓“每個學(xué)生都有活動，每個學(xué)生都有機會，每個學(xué)生受到關(guān)注”，這樣才能使得“每個學(xué)生獲得發(fā)展”。因此，數(shù)學(xué)概念的“變教為學(xué)”是有必要的、有益的。

參考文獻：

[1] 張英伯，曹一鳴.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：北京師范大學(xué)，2010.

[2] 《數(shù)學(xué)辭海》委員會.數(shù)學(xué)辭海（第六卷）[M].中國科學(xué)技術(shù)出版社，東南大學(xué)出版社，山西教育出版社，2002.

[3] 《數(shù)學(xué)辭?！肺瘑T會.數(shù)學(xué)辭海（第六卷）[M].中國科學(xué)技術(shù)出版社，東南大學(xué)出版社，山西教育出版社，2002.

[4] 郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

[5] 劉潔民.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的平行線[J].自然科學(xué)史研究，1992（01）.

[6] Michael，Delaney.Drawing Parallel Lines：A Bohemian Approach[J].Mathematics in School，2006（11）.

[7] 郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M]上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

[8] 郜舒竹.“變教為學(xué)”需要螺旋上升的學(xué)習(xí)活動[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（10）.

[9] 張奠宙，唐瑞芬，劉鴻坤.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[10] 施良方.課程理論——課程的基礎(chǔ)、原理與問題[M].北京：教育科學(xué)出版社，1996.