孫艷君

長期以來，計算規(guī)則圖形的面積已經(jīng)達成共識. 但是現(xiàn)實生活中存在很多圖形，分割后仍難以找到基本的圖形，需要學(xué)生有較強的估計能力，會用各種方法相對準確地得到它的面積. 在以前的教材中，并沒有安排不規(guī)則圖形的面積問題. 因此北師版教材把這一內(nèi)容編入教材，要求學(xué)生掌握估計、計算不規(guī)則圖形的面積，這不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，同時也有助于提高學(xué)生解決問題的能力. 《成長的腳印》就是這一領(lǐng)域的一個內(nèi)容.

一、對學(xué)習(xí)內(nèi)容的分析

（一）學(xué)科本質(zhì)分析

關(guān)于不規(guī)則圖形的面積怎么求？吳正憲老師是這樣說的：首先要確定單位，也就是把圖形放到格子里去數(shù)去估. 其次就是要想清楚怎么去估？既然是去估測，就不是去找一個點，應(yīng)該找上限、下限，確定取值范圍. 關(guān)于估計，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》是這樣要求的：學(xué)段一：會選擇合適的單位去估計；學(xué)段二：會選擇合適的方法去估計. 估就是換一個思想解決問題，在生活中估比精更重要.

（二）教材分析

本節(jié)課教材原有的設(shè)計大部分是值得借鑒的，但經(jīng)過對課標的解讀，專家的講座的分析和對多個不同版本教材的對比之后，我們對教材進行了個性化處理.

首先，教材直接給出格子圖中的腳印，沒有讓學(xué)生體會到格子圖也就是確定測量單位的必要性. 而確定單位是求不規(guī)則圖形面積的重要一步，教材這樣直接給出是不合理的. 鑒于此，我們首先給出的腳印是不帶格子的，在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)規(guī)則圖形面積的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生知道求一個圖形的面積其實就是求這個圖形所包含的面積單位的個數(shù)，從而讓學(xué)生深刻地體會到要知道不規(guī)則圖形的面積也是求它所包含的面積單位的個數(shù)，也就是格子的數(shù)量.

其次，教材給出的兩個不同腳印面積的測量，用的格子都是1平方厘米，這樣不利于學(xué)生體會測量單位越小測量的結(jié)果越精準. 在讓學(xué)生用數(shù)格子的方法，估計不規(guī)則圖形的面積的同時，向?qū)W生提供大小不同的格子，這不僅可以豐富學(xué)生估計的策略和方法，更為關(guān)鍵的是可以讓學(xué)生體會到格子越小得到的面積越接近實際面積.

二、對學(xué)生認知的分析

在上課之前，為了確定學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)是否已經(jīng)有了良好的認知基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是否已經(jīng)部分或全部掌握了本節(jié)課的知識內(nèi)容，我進行了問卷調(diào)查.

前測試題共包括兩個部分：第一部分是本節(jié)課的知識基礎(chǔ)，即規(guī)則圖形的面積及面積計算方法，即問卷的第一題. 如果學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)或數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗比較薄弱，那么在課初我就應(yīng)該想辦法幫助學(xué)生補救經(jīng)驗，理清思路. 如果學(xué)生的認知方式非常成熟，已有的知識基礎(chǔ)扎實，那么在課初就可以一語帶過. 第二部分是本節(jié)課的新知，即不規(guī)則圖形的面積的定義及如何得到不規(guī)則圖形的面積，即問卷的第二題和第三題. 如果學(xué)生對本節(jié)課的新知覺得困難無以應(yīng)對，那么這節(jié)課應(yīng)該降低難度，減緩坡度，分解目標，讓學(xué)生可以拾級而上. 如果學(xué)生對新知已經(jīng)基本了解，并有一定的想法，那么這節(jié)課就可以提高難度，整合目標，讓學(xué)生獲得更大的發(fā)展和提升.

全班共40人，全部參與前測，獲有效問卷40份，現(xiàn)分析如下：

1. 學(xué)生的認知基礎(chǔ)分析

第一題：“你會計算哪些規(guī)則圖形的面積？請分別寫出它們的算法. ”這是本節(jié)課的知識基礎(chǔ)部分，調(diào)查結(jié)果顯示40人全部做答并完全正確，個別同學(xué)沒有把學(xué)過的所有規(guī)則圖形的面積進行做答，但是只要做答的都完全正確. 這表明全班學(xué)生對于規(guī)則圖形的面積及面積計算方法都掌握的很扎實.

2. 學(xué)生對新知的理解情況分析

第二題：“你知道什么是不規(guī)則圖形嗎？請說明你的想法，可以寫一寫，畫一畫. ”該題主要是通過對學(xué)生的表征方式的分析與考察，來了解學(xué)生對新知的理解程度.

調(diào)查結(jié)果顯示：很多學(xué)生對能夠利用不同的表征方式去理解不規(guī)則圖形. 這說明學(xué)生對不規(guī)則圖形的內(nèi)涵或外延有了很好的理解.

調(diào)查結(jié)果顯示：大多數(shù)學(xué)生對不規(guī)則圖形有一定的認識，也有少部分同學(xué)出現(xiàn)了概念混淆，產(chǎn)生了錯誤的理解. 接下來的教學(xué)有必要對不規(guī)則圖形的定義進行界定.

3. 學(xué)生對新知的掌握情況分析

第三題：“請你想辦法得到下面不規(guī)則圖形的面積. ”該題主要是通過對學(xué)生的已經(jīng)掌握的方法的分析與考察，來了解學(xué)生對新知的掌握程度.

調(diào)查結(jié)果顯示：大多數(shù)學(xué)生對于一一拼湊數(shù)格子和轉(zhuǎn)化的方法有了很好的經(jīng)驗，而半格法和大于半格記為1格，小于半格記為0格，是絕大多數(shù)學(xué)生所不知道的，這就應(yīng)該是本節(jié)課在數(shù)格的方法策略研究的重點.

大多數(shù)學(xué)生對于得到答案本身沒有問題，因此通過不同方法策略的對比，引導(dǎo)學(xué)生得到一個相對合理的范圍，才是這節(jié)課的關(guān)鍵.

三、教學(xué)設(shè)計與意圖

本節(jié)課在前面的分析和思考的基礎(chǔ)上，形成以下設(shè)計：

（一）以求規(guī)則圖形的面積為基礎(chǔ)，認識不規(guī)則圖形及其面積的求法

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)有關(guān)面積的知識. 這些都是我們學(xué)過的由直線段圍成的什么圖形？它們的面積都是怎么算的？長方形的面積公式是什么？那長乘寬其實求的是什么？對了，是它所包含的面積單位的個數(shù).

師：其實所有這節(jié)規(guī)則圖形都是用公式很快地得到它多包含的面積單位的個數(shù)，也就是它的面積. 誰還記得面積單位都是怎么規(guī)定的了？都是以一定邊長的正方形的面積為標準. 師：其實生活中很多事物的形狀并不都是這樣規(guī)則的，它是由曲線圍成的不規(guī)則圖形. 什么??？猜猜看！野人的腳印. 有什么好辦法能得到這個腳印的面積呢？那你能直接計算出它們的面積嗎？我們要想知道它的面積究竟有多大，其實只需要知道它到底包含幾個面積單位？要數(shù)的這些格子其實就是一個一個的面積單位，通過數(shù)格子我們就可以知道這個不規(guī)則的圖形所包含的面積單位的個數(shù).

通過復(fù)習(xí)規(guī)則圖形的面積，讓學(xué)生知道所有規(guī)則圖形的面積其實都是用公式很快地得到它多包含的面積單位的個數(shù). 通過復(fù)習(xí)對面積單位的規(guī)定，讓學(xué)生知道不同的面積單位其實都是以一定邊長的正方形的面積的大小為標準. 在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)規(guī)則圖形面積的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生知道求一個圖形的面積其實就是求這個圖形所包含的面積單位的個數(shù)，從而讓學(xué)生深刻地體會到要知道不規(guī)則圖形的面積也是求它所包含的面積單位的個數(shù)，也就是格子的數(shù)量.

（二）通過不同方法的比較，掌握拼湊和轉(zhuǎn)化兩種策略

1. 數(shù)估大格

（1）拼湊

師：他是怎么數(shù)的？也就是說他在數(shù)之前先對格子進行了分類，整格和不足一格. 老師想問問你在數(shù)的時候，什么樣的格子不好數(shù)？這不好數(shù)的你是用什么方法數(shù)的？

（2）轉(zhuǎn)化

割補畫長方形

師：他這是什么方法？把不規(guī)則的腳印轉(zhuǎn)化為規(guī)則的長方形. （板書：不規(guī)則 規(guī)則）我們都一個一個再數(shù)，你能算出來. 他把外面多的部分移給里面少的，其實也是在拼湊. 只不過剛才湊的是整格，現(xiàn)在湊的是長方形.

在外面畫長方形

師：你真厲害！我們都一直瞪著腳印在數(shù)，你沒數(shù)也沒湊，直接在腳印外面圈了一個長方形. 行不行？為什么不行？他得到的面積比腳印的面積大了. 有沒有優(yōu)點？可以很快地算出來，不用一個格一個格去數(shù)了. 如果我們對結(jié)果的精準度沒有那么高要求的時候，他這個是完全可以的.

2. 數(shù)估小格

師：看來，要想相對準確地得到腳印的面積，無論大格小格把不足一格拼湊成整格確實是一個好辦法！但是這個不足一格的和大格子比起來多多了，一個一個拼湊起來你們覺得怎么樣？有沒有不是一一拼湊，但也數(shù)出來的？

（1）拼湊

方法一：（板書：大于半格：1，小于半格：0）

師：少半格的都沒數(shù)，還準嗎？

方法二：（板書：÷2）

師：他把所有不足一格都加起來再除以2，相當于他把所有不足一格的都看成多大了？對了，半格. 然后再兩兩拼湊成整格. 數(shù)小格的有沒有用不一樣的方法了？

（2）轉(zhuǎn)化

方法一：大長方形、不足一格都看成一格

師：這回我們可以確定腳印的實際面積一定小于多少了？剛才我們確定腳印面積一定比那個小，現(xiàn)在又有這個小了？怎么回事？剛才大格子圈的旁邊空的地方大，現(xiàn)在小格子圈的空的地方小了，所以就更接近了，范圍也就小了.

方法二：小長方形、不足一格都不看

師：通過他的方法我們知道了腳印的面積一定比這個小，那腳印的面積一定比多大大呢？有沒有同學(xué)得到結(jié)論的？你看老師這樣畫行不行？（師用彩筆畫長方形）腳印的面積是不是一定比它大呢？

師：雖然我們沒有得到腳印的實際面積到底有多大，經(jīng)過大家的努力，我們確定了一個范圍，如果你數(shù)得的結(jié)果在這個范圍內(nèi)就更合理了.

根據(jù)學(xué)生的知識水平教給學(xué)生一些基本的估計方法，通過估數(shù)大格、小格不同方法的比較，使學(xué)生掌握拼湊和轉(zhuǎn)化兩種策略.

（三）通過大格和小格的對比，體會單位越小測量的結(jié)果越準

師：看看左邊的答案是我們數(shù)大格得到的，右邊的答案是數(shù)小格得到的. 你想說點什么？老師現(xiàn)在想問一下你們都誰數(shù)的大格？誰數(shù)的小格？都說說你為什么選它？

師：你們的直覺是小格子準，觀察這些數(shù)據(jù)的結(jié)果也是小格子的答案比較集中，好像挺準的，那小格子準的道理是什么呢？有道理，看來確實是格子越小數(shù)得的面積就越接近腳印的實際面積. 那如果格子再小呢？再小呢？那我還想再接近實際面積，怎么辦？

所有的格子平均分成4份，分成更小的格子，再平均分成4份，分成更小的格子，我們還以重新設(shè)定更小的格子為單位，這樣不斷地去逼近，這個時候探索出更逼近實際的那個準確值. 通過調(diào)查學(xué)生剛開始選卡的原因，知道學(xué)生的直覺是格子越小越準. 經(jīng)過后來討論和大小格子的數(shù)據(jù)的對比，讓學(xué)生明白格子越小越準的道理.

（四）積累活動經(jīng)驗，溝通知識聯(lián)系，突出面積及測量本質(zhì)

1. 溝通不規(guī)則圖形與規(guī)則圖形的聯(lián)系，理解求面積的通法通則

師總結(jié)：同學(xué)們，我們一起學(xué)習(xí)了不規(guī)則圖形的面積，其實無論是規(guī)則的圖形還是不規(guī)則的圖形，我們知道要想知道它的面積究竟有多大，其實就是要測量或計算出它所包含的面積單位的個數(shù).

數(shù)方格測量所有圖形面積的通性通法. 無論是規(guī)則的圖形還是不規(guī)則的圖形，我們知道要想知道它的面積究竟有多大，其實就是要測量或計算出它所包含的面積單位的個數(shù).

2. 溝通測量面積與長度、體積的相通之處，突出測量的本質(zhì)

師：提到測量，大家一定不陌生. 從一年級到現(xiàn)在，其實我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多測量的知識，比如測量長度，測量面積，還有即將學(xué)習(xí)的立體圖形的測量. 其實它們的道理都是一樣的，就根據(jù)實際的需要選擇合適的單位去量，要想保證測量結(jié)果的精準，就要選擇足夠小的單位.

由對二維面積的測量，溝通學(xué)生學(xué)過的一維長度的測量，后面即將學(xué)習(xí)三維體積的測量的聯(lián)系，突出測量的本質(zhì)就是測量長度、面積、體積所包含的單位的個數(shù). 根據(jù)實際的需要選擇合適的單位去量，要想保證測量結(jié)果的精準，就要選擇足夠小的單位.

四、教學(xué)效果與反思

（一）積累經(jīng)驗，促進學(xué)生思維發(fā)展

本節(jié)課學(xué)生完整經(jīng)歷了這樣一個發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，勇敢地去嘗試解決問題的過程. 這才是積極意義上的探索者，而不是亦步亦趨地跟著老師的偽探索，充其量是個操作工. 學(xué)生可能不懂什么是逼近，但是在這個過程中它體會著極限思想，在活動中積累著活動經(jīng)驗. 它今后遇到問題還能去等嗎？他一定是積極地去思考，去解決.

（二）尊重差異，促進個性發(fā)展

本節(jié)課我設(shè)計了兩種不同的獨立學(xué)習(xí)卡供學(xué)生選擇，分別是4平方厘米的大格和1平方厘米的小格. 性子急的學(xué)生追求速度，會選擇大格子的，思維嚴謹?shù)膶W(xué)生追求精準，會選擇小格子的. 尊重差異，開發(fā)不同的學(xué)習(xí)資源，更有利于促進學(xué)生的個性發(fā)展.

（三）保護天性，促進自主發(fā)展

本節(jié)課我試圖充分保護學(xué)生的天性. 具體表現(xiàn)在：1.創(chuàng)設(shè)有價值的情境，保護學(xué)生愛探究的天性. 2.保護學(xué)生愛問的天性. 3.保護學(xué)生愛表達的天性. 教師不用擔心講不完，不要擔心學(xué)生說不明白，要相信學(xué)生，下一名學(xué)生要表達的很可能正是你著急要說的. 長此以往，學(xué)生會越來越愛探究，越來越愛表達，結(jié)果是越來越喜歡數(shù)學(xué)課.