黃瑛瑋

[摘 要]

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》新增四大核心概念之一，通過課題立項加強(qiáng)教學(xué)實踐，經(jīng)過一年多的課程標(biāo)準(zhǔn)以及對應(yīng)教材的實施，學(xué)生“幾何直觀”能力是怎樣的？是否存在差異？以本校二年級的全體學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并進(jìn)行系列的數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生整體的情況良好，并從四個維度進(jìn)行具體的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生現(xiàn)有的運用“幾何直觀”的能力存在一定的差異。

[關(guān)鍵詞]

幾何直觀；能力發(fā)展；小學(xué)教學(xué)

“幾何直觀”是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的，經(jīng)過兩年的課程標(biāo)準(zhǔn)的實施以及配套教材的使用，老師們在教學(xué)實踐中有意識加強(qiáng)并踐行，學(xué)生們的幾何直觀運用的意識是否較強(qiáng)，思維能力是否得到發(fā)展，為促進(jìn)學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)？我們通過問卷調(diào)查對本校二年級的學(xué)生進(jìn)行了較深入的了解，進(jìn)而探討二年級學(xué)生現(xiàn)有的“幾何直觀”能力的現(xiàn)況，以便更好地開展相關(guān)的教學(xué)實踐研究。

一、小學(xué)“幾何直觀”的教學(xué)目標(biāo)

（一）幾何直觀的含義

“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。”

（二）幾何直觀的培養(yǎng)包含四個方面

1.在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖習(xí)慣；

2.重視變換——讓圖形動起來；

3.學(xué)會從“數(shù)”與“形”兩個角度認(rèn)識數(shù)學(xué)；

4.掌握、運用一些基本圖形解決問題。

（三）學(xué)段要求

在小學(xué)階段，可從學(xué)段目標(biāo)中，分辨出幾何直觀的學(xué)段要求如下。

1.新標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段提出：“感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象；認(rèn)識物體的相對位置；掌握初步的測量、識圖和畫圖的技能”“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想。”

2.第二學(xué)段提出：“掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”“初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用。”

查看新的人教版配套小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“幾何直觀”的教學(xué)內(nèi)容無處不在，外顯的有：如數(shù)的認(rèn)識過程中把具體的實物抽象為數(shù)學(xué)符號，繼而才抽象為數(shù)；識別幾何圖形、在數(shù)與代數(shù)的問題解決過程中，在“怎樣解答”“解答正確嗎”兩個步驟中已經(jīng)引入了“幾何直觀”等等，通過將近兩年的新教材的配套學(xué)習(xí)，學(xué)生在幾何直觀這一方面表現(xiàn)的情況如何，是我們所關(guān)注的。

二、研究方法

為了有效進(jìn)行研究，主要采用問卷調(diào)查法來搜集一手的資料。

（一）資料收集的方法：問卷調(diào)查法

1.問卷中題目的選編依據(jù)

根據(jù)人教版一、二年級課本中含有“幾何直觀”的內(nèi)容或解題思路的呈現(xiàn)，“幾何直觀”能力培養(yǎng)的四個方面，選取蘇教版和北師大版教材中相對應(yīng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的相關(guān)練習(xí)題為問卷調(diào)查的題目，并結(jié)合自己的教學(xué)實踐，編制了一些題目，設(shè)置了一個調(diào)查問卷。

2.問卷中題目的觀察維度

（1）會看圖并進(jìn)行簡單的描述（問卷中的第1、2、3題）

（2）圖形變換（問卷中的第7、8題）

（3）細(xì)致觀察情境圖并進(jìn)行推理的能力（問卷中的第4、6、11題）

（4）會自行運用圖形進(jìn)行描述與分析解決問題（問卷中的第5、9、10、12題）

3.問卷的搜集情況

本調(diào)查通過對我校二年級的學(xué)生發(fā)放問卷的方式，進(jìn)行全體測試。測試時間40分鐘。共發(fā)放問卷252份，各班發(fā)放的情況如下。

（二）資料整理的方法

對每一份調(diào)查問卷都進(jìn)行統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的批閱，記錄下相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)整體認(rèn)識和把握，再分不同的方面，對照《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

三、資料分析

（一）整體上學(xué)生運用“幾何直觀”的意識與能力良好

如下圖，從圖一可感知，學(xué)生能運用“幾何直觀”來解答題目，占據(jù)的比例明顯偏高，運用的意識總體上來說是比較好的；從圖二可以發(fā)現(xiàn)，在解答正確的學(xué)生中，能運用“幾何直觀”來解決問題，并正確解決問題的同學(xué)還是比較多的。即學(xué)生運用“幾何直觀”的意識強(qiáng)，且運用“幾何直觀”指導(dǎo)自己正確解決問題，幾何直觀的運用能力總體不錯。

（二）學(xué)生的“幾何直觀”運用情況的分類分析

1.學(xué)生看圖并進(jìn)行簡單描述的能力較強(qiáng)（問卷中的第1、2、3題）

這三題都是看圖寫出得數(shù)或列出算式，圖形比較簡單，圖形表達(dá)的數(shù)學(xué)關(guān)系清晰、簡單、明了。從圖三、圖四可以看出，學(xué)生看稍抽象圖形的能力相當(dāng)好，明確圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系，并能正確地用數(shù)學(xué)語言、符號表示出來。

學(xué)生會看圖形明確數(shù)與數(shù)量關(guān)系是學(xué)習(xí)運用幾何直觀的第一步，以后學(xué)生還要繼續(xù)如何畫圖、看更復(fù)雜的圖形……。會看蘊含簡單的數(shù)量關(guān)系的圖形為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)，達(dá)成會畫、會用圖形表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系，奠定良好的基礎(chǔ)。

2.圖形操作的能力較好（問卷中的第7、8題）

從圖五可以看出，這組題學(xué)生答題的正確率較高，但其實第七題的正確率為50%，學(xué)生都會分割，出錯的原因是因為：第一，學(xué)生剛學(xué)或有的班級還沒開始學(xué)習(xí)角，對于角的變式辨認(rèn)有一定的難度。第二，對于分割后圖形的變化、識別的能力較差（見例1）。若學(xué)生學(xué)了角的認(rèn)識，并加以適當(dāng)訓(xùn)練，相信學(xué)生是會有更出色的表現(xiàn)。但有個別的學(xué)生思維比較靈活，能打破剪一刀可以是剪曲線的想法（見例2）。

3.細(xì)致觀察情境圖并進(jìn)行推理的能力有待提高（問卷中的第4、6、11題）

從圖六可知，這組題回答的正確率較低，只有40%。也就是說，學(xué)生對于將直觀圖像進(jìn)行數(shù)學(xué)加工，進(jìn)行數(shù)學(xué)化思考，實現(xiàn)圖形與代數(shù)問題之間的互相轉(zhuǎn)化的能力有待加強(qiáng)。如第4題，學(xué)生對于情境圖中雪梨與蘋果的個數(shù)與整體的關(guān)系不明確，圖中，可看到：雪梨已經(jīng)顯示了2個，可推斷雪梨最少也要有2個，籃子里的可以全部是蘋果，即蘋果最多有13個，但能從情境圖中推理得出正確結(jié)果的人數(shù)極少。第6題也一樣，題目出示了數(shù)“23”的圖形表示，有不少的學(xué)生難以實現(xiàn)圖與數(shù)量的轉(zhuǎn)化，建立圖與數(shù)量的關(guān)系：1個大正方形表示10，1個小正方形表示1。

而且，從表二的統(tǒng)計可以發(fā)現(xiàn)，不少的學(xué)生是通過列式計算來解答，占的比例出乎了所有老師的意外，如：第6題，顯示的是圖，有的學(xué)生列式為：10+10+10+10+1=41。學(xué)生還是習(xí)慣性地用平時常用的方式“列式計算”來進(jìn)行思考問題。也有極個別的學(xué)生對第6題，會用文字來解答（見例3），也有的學(xué)生用平時學(xué)習(xí)用的小棒圖（見例4）、正方形（見例5）表示具體的量，而沒有讀懂題目建立形與數(shù)的聯(lián)系進(jìn)行推理。從這可見學(xué)生受常用數(shù)學(xué)知識的思維定勢還是很大的。

表二：第4、6兩題列式解答的情況統(tǒng)計一覽表

又如第11題，從圖七就可知，超過9成的學(xué)生能對圖形進(jìn)行推理補缺，但有近3成的學(xué)生雖然有畫圖補缺，也未能回答正確，究其原因，是因為學(xué)生補缺后出現(xiàn)數(shù)錯的情況（見例6）。也就是說，學(xué)生觀察不細(xì)致，混淆了已知與缺了的墻磚?？蓮南旅娴慕M圖例7、8、9中可知，孩子們觀察的能力差距還是挺大的，思維能力強(qiáng)的學(xué)生會用“數(shù)形結(jié)合”“推理”“幾何直觀”等思維策略幫助自己有效地進(jìn)行細(xì)致觀察、推理判斷，幾個策略同時運用的學(xué)生解答的正確率幾乎是100%的。

可見，在談及“幾何直觀”的同時，把數(shù)與數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合起來，而且能靈活運用多種思維策略思考問題、找到數(shù)、數(shù)量關(guān)系與問題之間的本質(zhì)聯(lián)系進(jìn)行解決問題是我們非常樂于看到的，是學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)思考的方法、數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的表現(xiàn)。

4.學(xué)生具有自行運用圖形進(jìn)行思維與分析問題的能力（問卷中的第5、9、10、12）

這組題的題目都是文字，學(xué)生可自行選擇不同的解決問題的方法來解決問題，從圖八、圖九可知，“幾何直觀”是學(xué)生思考問題時常用、自覺運用的思考方式，而且學(xué)生運用“幾何直觀”來準(zhǔn)確答題的學(xué)生是占較大的比例，可以看出，第一，“幾何直觀”是學(xué)生比較樂于運用的、比較容易接受的一種解決問題的方法、策略；第二，學(xué)生自覺運用的意識以及運用其準(zhǔn)確解題的能力較強(qiáng)；第三，“幾何直觀”對于學(xué)生來說是可以通過學(xué)習(xí)與訓(xùn)練獲得的。

從學(xué)生的答題來看，第12題在命題的時候就給學(xué)生造成了困擾，因為命題的目的就是要檢測學(xué)生運用“幾何直觀”解決問題的能力，從圖十可以看出，學(xué)生運用幾何直觀的方法解決問題，但由于題目中的細(xì)節(jié)，“每相隔兩棵樹之間”，大概有五分子一的學(xué)生看成是“每兩棵樹之間”而導(dǎo)致出錯（見例12）。

從上面的組圖可獲知，即使學(xué)生明確是“在兩棵樹之間”，但對“……之間”不理解（見例10、11），也就是說，學(xué)生對題目的正確理解有待老師在教學(xué)實踐中給予指導(dǎo)?？赡苓€有個別學(xué)生沒看懂題目，出現(xiàn)沒有解答，因此，本題的解答率也是所有題目中最低的?？山獯鹫_的學(xué)生中，大部分都是通過畫圖得出正確答案的，可以看出，幾何直觀確實能有效幫助學(xué)生解決問題。

解決問題的策略是多樣化的，而幾何直觀是最適合學(xué)生年齡心理特征的策略之一。自行運用幾何直觀，能把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，數(shù)學(xué)問題簡單化，進(jìn)行解決問題，不僅能幫助學(xué)生比較形象地分析問題、抓住信息與問題的關(guān)鍵，理解問題，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺、數(shù)學(xué)思考的能力。

四、結(jié)論與討論

（一）研究結(jié)論

根據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）的要求與調(diào)查的數(shù)據(jù)資料分析，本校二年級學(xué)生的幾何直觀運用的意識與能力不錯，在看圖并進(jìn)行簡單的描述、圖形變換后對圖形本質(zhì)的把握等方面表現(xiàn)良好，而運用幾何直觀進(jìn)行推理、預(yù)測結(jié)果、通過圖形描述問題與信息并確定問題本質(zhì)的能力有待加強(qiáng)，學(xué)生們能達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）對“幾何直觀”的學(xué)習(xí)要求，并能為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

（二）分析與討論

在批閱學(xué)生調(diào)查問卷的時候，對于學(xué)生們不同的思維策略的運用，我們非常激動，卻不能納入我們統(tǒng)計的范圍（見例13）。學(xué)生思考問題時的思考策略、思維層次的高低有必要劃分嗎？若要，如何劃分（見例13、14）？我們初步覺得，低年段的學(xué)生的思維是汲取的過程，開放的思維、引導(dǎo)、教學(xué)不同的思考策略，是每一個數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中都要努力做好做強(qiáng)的，順應(yīng)數(shù)學(xué)思維的特征，而不強(qiáng)加，豐富學(xué)生的思維角度、思維途徑，才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之本。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會組織編寫.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012（2）.

[3]王光明，范文貴.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo).小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012（7）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）