任環(huán)

摘要：“數(shù)學實驗”是一種新的數(shù)學教學和數(shù)學學習模式，將數(shù)學實驗引入課堂教學，可以活躍課堂氣氛，減輕教學負擔，激發(fā)學生的探究欲望，培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的能力。本文試從介紹數(shù)學實驗的理論基礎入手，闡述將數(shù)學實驗引入數(shù)學課堂的一些做法。

關鍵詞：數(shù)學實驗；數(shù)學課堂；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）03-0072

數(shù)學家歐拉曾說：“數(shù)學這門科學，需要觀察，也需要實驗?！睌?shù)學實驗是一種最基本的數(shù)學學習活動，它能改變學生的數(shù)學觀和數(shù)學學習方式，在學生的數(shù)學學習中有著一種無可替代的作用?！秶一A教育課程改革綱要（試行）》要求教學活動要“逐步實現(xiàn)教學內容的呈現(xiàn)方式，學生的學習方式，教師的教學方法和師生的互動方式的改革”，改變“過于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力，獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。數(shù)學中的許多概念、定理、公式都是通過實驗而發(fā)現(xiàn)的，計算、作圖、測量等活動都是數(shù)學實驗中的重要手段。通過實驗可以再現(xiàn)數(shù)學概念、定理、公式的形成過程，把握題目的特征，發(fā)現(xiàn)解題的思路，使問題獲得簡捷解決。因此，在平時的教學中，教師可以根據(jù)新教材的特點，結合教學內容，設計出有利于學生主動參與的教學方案，讓學生能以一種主動參與的學習心態(tài)和合作探究的學習方式，構建新的認知結構，使學生的數(shù)學思維能力在實驗參與過程中得到提升和發(fā)展。

一、數(shù)學實驗教學的概念與理論基礎

1. 數(shù)學實驗教學的概念

“數(shù)學實驗”一詞，最早出現(xiàn)在波利亞的著作《數(shù)學與猜想》《怎樣解題》中波利亞在論述數(shù)學時說：“數(shù)學有兩個側面，它是歐幾里得式的嚴謹科學……是一門系統(tǒng)的演繹科學；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學?！币虼耍瑪?shù)學實驗可以界定為：為獲得某種數(shù)學理論，檢驗某個數(shù)學猜想，解決某類數(shù)學問題，實驗者運用一定的物質手段，在數(shù)學思維的參與下，在典型的實驗環(huán)境中或特定的實驗條件下所進行的一種數(shù)學探究活動。實驗教學就是恰當運用數(shù)學實驗，創(chuàng)設問題情境，引導學生參與實踐、自主探索、合作交流，進而發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗證猜想和創(chuàng)造性解決問題的教學活動。

2. 數(shù)學實驗教學的理論基礎

皮亞杰的“建構論”認為：主體認識的實質是主體利用其原有的知識結構對外界客體進行加工、改造、整合的過程。在整個過程中，主體的認知結構也得到不斷建構和發(fā)展?，F(xiàn)代建構意義下的數(shù)學實驗教學，應該是學生在教師的指導下輔以計算機的幫助，自主參與，具有高度的自主性、探索性的一種教學。

二、實施數(shù)學實驗教學的實踐

1. 運用實驗探索概念的形成

數(shù)學概念是客觀事物、現(xiàn)象的數(shù)量關系和空間形式在人們頭腦中的反映。大多數(shù)的數(shù)學概念在周圍環(huán)境中都有它們的現(xiàn)實原型，都可以用觀察、實驗方法發(fā)現(xiàn)得到。

如在引入橢圓定義前，讓學生動手操作到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為定值大于|F1F2|的動點軌跡的實驗，而構建橢圓的定義。

實驗用品：厚硬紙板、大頭針、彩筆、橡皮筋一條、不帶彈性的細繩一條（15厘米），兩根大頭針固定，兩個大頭針之間距離為10厘米。

實驗步驟及探究問題如右圖：

（1）將橡皮筋的兩端固定在大頭針上，用筆尖將橡皮筋拉緊（不松松垮垮的即可），畫圖形，可以得到橢圓嗎？

（2）把橡皮筋換成細繩，再按上述步驟做一遍，可以得到橢圓嗎？

（3）把大頭針的距離變?yōu)?5厘米，重復步驟（1）做一遍，能畫出橢圓嗎？

（4）把大頭針的距離變?yōu)?6厘米，重復步驟（1）做一遍，能畫出橢圓嗎？

通過實驗操作，學生體驗橢圓的形成，理解橢圓定義中的“到定點的距離”與“定長”的關系決定橢圓的形成。在實驗操作過程中，學生手動、眼看、心想、口說多方面學習數(shù)學，快樂學習數(shù)學，這比教師用幻燈片演示的效果要好，實驗過程中，學生還可以體會到橢圓定義外的性質、如對稱性等。

2. 通過實驗，發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理、公式

教科書的定理、法則、公式是數(shù)學家或者是數(shù)學教育家的發(fā)現(xiàn)結果，展現(xiàn)在學生面前的是一副經(jīng)過千錘百煉“完美無缺”的邏輯體系。這種完美的形式略去了曲折復雜的發(fā)現(xiàn)過程。教師可以根據(jù)實際情況，運用實驗手段和方法進行“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”。

例如：方程的根與函數(shù)的零點存在定理的發(fā)現(xiàn)教學

實驗用品：紙板與細繩制

實驗步驟：如右圖

學生把繩子的一端固定在P點，另一端在直線上Q 點或M 點，學生可以隨意擺放繩子并探究以下問題：

（1）另一端在Q點時，繩子在[a，b]上是否與x 軸一定有交點？

（2）另一端在 M 點時，繩子在[a，b]上是否與 x 軸一定有交點？

（3）把繩子看做是函數(shù)在[a，b]上的圖像，在什么情況下，函數(shù)必存在零點？

（4）如何用f（a），f（b）的值刻畫（3）中的情況？

（5）剪斷繩子，（3）中的結論是否還成立？

在此實驗中，學生積極動手、熱烈討論，用細繩代替函數(shù)圖像，學生通過對細繩的擺放實現(xiàn)圖像的變化，實現(xiàn)了抽象向具體的轉化，主動思索總結函數(shù)零點存在的條件，教師只需從旁引導學生用數(shù)學語言歸納并得到函數(shù)零點存在性定理即可。引入了數(shù)學實驗充分調動了學生數(shù)學課的積極性，并使得全體學生能活動起來，并在實驗中體驗數(shù)學理論的形成。數(shù)學實驗拉近了教師與學生的距離，也拉近了數(shù)學與學生的距離，數(shù)學實驗使數(shù)學課更有魅力，更吸引學生。

3. 借助數(shù)學實驗，引導探究學習

新教學大綱要求“教師要依據(jù)教材，又不囿于教材，把學生的知識、經(jīng)驗、生活世界作為重要的課程資源，鼓勵學生自主學習。在教學過程中，要充分發(fā)揮學生的自主性和創(chuàng)造性，鼓勵學生即興創(chuàng)造、超越預設的教學目標?！苯栌脭?shù)學實驗，不僅能打破沉寂的課堂氣氛，讓課堂教學有聲有色；還可以提高學生的學習興趣，激發(fā)學生的探索精神，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識和創(chuàng)新能力。

案例：已知a，b，m∈R+，a 。

常規(guī)的做法是通過作差來證明，這樣單純的就題證題不僅使學生感到枯燥乏味，同時也很難加深同學們的印象。我們可以拿一杯NaCl溶液（濃度為 ）和一小瓶NaCl，然后讓學生想如何把這些物品和這道題目聯(lián)系起來。如果學生不能想到，我們可以做如下實驗：往NaCl溶液（濃度為 ））中加一些（m克），如果學生還是想不到我們可以提示一下：在這個過程中，溶液的濃度發(fā)生了什么變化？學生的思維就很容易被激活，與案例中的不等式進行聯(lián)系。在上面問題的基礎上接著提出問題：若a1，a2，b1，b2∈R+且 < ，試比較 ， 和 的大小。學生在這時思維已被激活，很快想到可以和如下實驗進行聯(lián)系：兩杯質量相同，濃度分別為 ， 且 < 的NaCl溶液混合，混合后的溶液的濃度和混合前兩瓶溶液的濃度比如何？學生很快就可以得出： <混合后濃度 ，而混合濃度= ，于是我們就可以得出 < < 。由實驗的過程，學生又可以得出以下命題：若a1，a2，b1，b2∈R+，且 < ，則 < < 。靈活的引入，使學生領略了探索未知的甜頭，同時也加深了同學們的記憶。（86%的同學在一星期后能清楚地記得這兩個不等式）

4. 利用實驗，探索解題途徑

有不少數(shù)學問題，學生解答起來不知從何入手，但如果我們能夠合理創(chuàng)設一些實驗，通過實驗為學生解決問題提供一些直觀的思維背景，則常常能使學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的真諦，進而為找到問題解決的思路，為提出猜想提供直觀的依據(jù)。

如：已知a、b是方程μ2+ ·μ- =0的兩根。求證：不論θ為何值，過A（a，a2）、B（b，b2）的直線恒切于一定圓。

分析：過A、B的直線方程為y=（a+b）x-ab. ①

由韋達定理知a+b=- ，ab=- ，于是①

變形為

x·cosθ+y·sinθ=1. ②

要證②切于定圓，但因定圓未知，以下思路不明。

為此，不妨引導學生從實驗開始！不妨取θ=0， ，π， ，則分別得到特殊的直線x=1，y=1，x=-1，y=-1，它們恰好圍成一個正方形，據(jù)此不難猜測所找的定圓即圓心在原點的單位圓。

三、結束語

數(shù)學學習過程充滿著觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等豐富多彩的數(shù)學活動，而數(shù)學實驗是其中的一種最基本的數(shù)學學習活動。數(shù)學實驗體現(xiàn)出了數(shù)學知識感性的一面，并把數(shù)學學習從感性推向理性，讓學生真切地體驗如何“做數(shù)學，如何實現(xiàn)數(shù)學知識的“再發(fā)現(xiàn)”，并從中感受數(shù)學的力量。當數(shù)學實驗走進數(shù)學課堂，數(shù)學將不再抽象，不再難懂，數(shù)學因實驗而簡單，學生因實驗而快樂。因此，把數(shù)學實驗引入教學課堂，引入學生的數(shù)學學習中，是一種必然趨勢。

（作者單位：①浙江省浙江師范大學 321001；②浙江省蒼南中學 325800）