曹秋鵬陳向煒

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，蘇州 215009）（2.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院，商丘 476000）

二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的奇點分析*

曹秋鵬1陳向煒2?

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，蘇州 215009）（2.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院，商丘 476000）

建立二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的微分方程.給出該系統(tǒng)的線性化方程，得到該線性方程轉(zhuǎn)化為梯度系統(tǒng)的條件，利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)對線性系統(tǒng)的奇點進行了分析，然后再利用Perron定理探討了相應(yīng)的非線性系統(tǒng)的奇點類型.結(jié)果表明，如果線性系統(tǒng)能成為梯度系統(tǒng)，那么相應(yīng)的非線性系統(tǒng)的奇點可能是結(jié)點或者鞍點.

廣義Birkhoff系統(tǒng)， 梯度系統(tǒng)， 奇點

引言

微分方程定性理論的研究，一直是非線性動力學(xué)的熱點問題［1］.迄今仍以二階微分力學(xué)方程為主，主要內(nèi)容是分析解的存在性，周期解，奇點性質(zhì)，極限環(huán)個數(shù)，分岔和混沌等［2］.Birkhoff系統(tǒng)是Hamilton系統(tǒng)的自然推廣，對Birkhoff系統(tǒng)定性理論的研究不僅具有理論意義還有實際應(yīng)用價值.目前，高階非完整系統(tǒng)的廣義Birkhoff表示以及Birkhoff框架下的變分算法的研究取得重要進展［3-4］.對Birkhoff系統(tǒng)定性理論的研究已取得了一些重要成果［5-7］.梯度系統(tǒng)特別適合用Lyapunov函數(shù)來研究穩(wěn)定性問題［8］.文獻［9］提出了四類常見的梯度系統(tǒng).如果力學(xué)系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成梯度系統(tǒng)，我們可以運用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來研究系統(tǒng)的積分及其解的穩(wěn)定性.梯度系統(tǒng)的研究已取得了一些重要成果，尤其是各類力學(xué)系統(tǒng)的通常梯度表示和斜梯度表示［10-12］.本文利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)對二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的奇點進行了分析，得到了該系統(tǒng)的奇點類型.

1 二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的微分方程

廣義Birkhoff系統(tǒng)微分方程為：

其中B＝B（t，a）是Birkhoff函數(shù)，Rμ＝Rμ（t，a）是Birkhoff函數(shù)組，Λμ＝Λμ（t，a）是附加項.對于二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)有形式：

這里的函數(shù)B，Rμ和Λμ都不顯含時間t.設(shè)系統(tǒng)是非奇異的即

本文只考慮二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)（0，0）點的奇點類型.若（0，0）點是系統(tǒng)（4）的奇點，將系統(tǒng)（4）寫成

2 線性化系統(tǒng)的奇點類型

2.1線性化系統(tǒng)

顯然系統(tǒng)（4）在其奇點（0，0）處的線性化方程為：

為方便我們的討論將（6）寫成

本文我們考慮

顯然當(dāng)且僅當(dāng)（9）式成立的時候，方程（7）有唯一的奇點（0，0）.

2.2 線性化系統(tǒng)的梯度表示

梯度系統(tǒng)有形式：

其中V＝V（x）稱做該系統(tǒng)的勢函數(shù).

由文獻［13］我們得到方程（7）成為梯度系統(tǒng)的條件.

性質(zhì)1如果（7）滿足條件

可以找到函數(shù)V使得

此時（7）成為一個梯度系統(tǒng).

證明：因為有（11）成立，將（7）式代入（11），得到

將（13）式代入（7），得到

這時我們?nèi)『瘮?shù)V（a）為

顯然

此時（7）成為一個梯度系統(tǒng).

梯度系統(tǒng)有一條重要的性質(zhì)，即

性質(zhì)2對于梯度系統(tǒng)（10），其任一平衡點的線性化系統(tǒng)只有實特征值.

我們可以用性質(zhì)2來研究化成梯度系統(tǒng)的各力學(xué)線性系統(tǒng)的原點的奇點類型.

2.3 線性化系統(tǒng)的奇點類型

由2.2中的性質(zhì)2可以得到下面的一條性質(zhì)，即

性質(zhì)3如果（7）為梯度系統(tǒng)，則其特征值只可能為同號實根或異號實根，不存在0根.

證明：由上面的性質(zhì)2，只需要證明（7）不存在實特征值0.方程（7）的特征方程為

假設(shè)（17）有0根則應(yīng)滿足顯然（18）與（9）矛盾，故（7）不可能有0特征值，性質(zhì)3成立.

由微分方程奇點類型的相關(guān)知識［12］，我們由性質(zhì)3得到以下結(jié)論：

性質(zhì)4如果（7）是一個梯度系統(tǒng)，其特征值同號則奇點（0，0）為結(jié)點，其特征值異號則奇點（0，0）為鞍點，奇點（0，0）不可能為中心.

3 非線性系統(tǒng)的奇點類型

由Perron第一定理［14］知：

性質(zhì)5 如果方程（5）中函數(shù)滿足

且在（0，0）鄰域內(nèi)存在連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，若方程（6）中（0，0）點為（6）的結(jié)點或鞍點，則（0，0）點也是非線性方程（5）的同類奇點.

4 算例

例1二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)

試判斷點（0，0）的奇點類型.

由（4）得該系統(tǒng)的微分方程

顯然點（0，0）為系統(tǒng)（16）的奇點.要判定（0，0）的奇點類型，首先判斷（0，0）為其線性化系統(tǒng)的何種奇點.由（6）得到系統(tǒng)（16）的線性化系統(tǒng)為：

明顯方程（21）滿足條件（11），則（21）是梯度系統(tǒng).方程（21）的特征方程是

可得特征值為±1，是異號實根，則由性質(zhì)4得對于線性化系統(tǒng)（21）其奇點（0，0）是鞍點.下面考慮帶有高次項的非線性系統(tǒng).對于系統(tǒng)（20）其高次項滿足性質(zhì)5的條件，則奇點（0，0）也是系統(tǒng)（20）的鞍點.

5 結(jié)論

梯度系統(tǒng)的性質(zhì)不但可以用來研究力學(xué)系統(tǒng)解的穩(wěn)定性及系統(tǒng)的積分，而且可以用來研究力學(xué)系統(tǒng)奇點的類型.本文給出了二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)奇點類型判定的梯度方法，如果二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的線性系統(tǒng)能成為梯度系統(tǒng)，那么相應(yīng)的非線性系統(tǒng)的奇點可能是結(jié)點或者鞍點.最后說明本文結(jié)論對于二階自治Birkhoff系統(tǒng)也成立.

1 劉秉正，彭建華.非線性動力學(xué).北京：高等教育出版社，2004（Liu B Z，Peng JH.Nonlinear dynamics.Beijing：Higher Education Press，2004（in Chinese））

2 Liu H T.Qualitative theory of differential equations.Hefei：University of Science and Technology of China Press，2009

3 宋端，崔金超，劉世興，郭永新.高階非完整系統(tǒng)的廣義Birkhoff表示.動力學(xué)與控制學(xué)報，2013，11（2）：97～101（Song D，Cui JC，Liu S X，Guo Y X.Generalized Birkhoffian representation of high-order nonholonomic systems.Journal of Dynamics and Control，2013，11（2）：97～101（in Chinese））

4 劉世興，李娜，劉暢.Birkhoff框架下Whittaker方程的離散變分算法.動力學(xué)與控制學(xué)報，2015，13（4）：246～249（Liu SX，Li N，Liu C.Discrete variational calculation of Whittaker equation in the Birkhoffian framework.Journal of Dynamics and Control，2015，13（4）：246～249（in Chinese））

5 陳向煒.Birkhoff系統(tǒng)的全局分析.開封：河南大學(xué)出版社，2002（Chen X W.Global analysis of Birkhoff system.Kaifeng：Henan University press，2002（in Chinese））

6 Li Y M，Mei F X.Stability formanifolds of equilibrium states of generalized Birkhoff system.Chinese Physics B，2010，19（8）：080302

7 李彥敏，陳向煒.二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性.云南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，35（5）：638～643（Li Y M，Chen XW.Global stability of second order autonomous generalized Birkhoff system.Journal of Yunnan University：Natural Sciences，2013，35（5）：638～643（in Chinese））

8 Hirsch M W，Smale S，Devaney R L.Differential equations，dynamical systems，and an introduction to chaos.Singapore：Elsevier，2008

9 Mc Lachlan R I，Quispel G RW，Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients.Philosophical Transactions of the Royal Society A，1999，357（1754）：1021～1045

10 梅鳳翔.分析力學(xué)（下卷）.北京：北京理工大學(xué)出版社，2013（Mei F X.AnalyticalmechanicsⅡ.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2013（in Chinese））

11 Chen XW，Zhao G L，Mei FX.A fractional gradient representation of the Poincaréequations.Nonlinear Dynamics，2013，73（1-2）：579～582

12 梅鳳翔.關(guān)于斜梯度系統(tǒng).力學(xué)與實踐，2013，35（5）：79～81（Mei F X.On the skew-gradient system.Mechanics in Engineering，2013，35（5）：79～81（in Chinese））

13 梅鳳翔.廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué).北京：科學(xué)出版社，2013（Mei F X.Dynamics of generalized birkhoff system.Beijing：Science Press，2013（in Chinese））

14 馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法.北京：科學(xué)出版社，2001（Ma Z E，Zhou Y C.Ordinary differential equation qualitative and stability theory.Beijing：Science Press，2001（in Chinese） ）

SINGULAR POINTS ANALYSIS FOR SECOND ORDER AUTONOMOUS GENERALIZED BIRKHOFF SYSTEMS*

Cao Qiupeng1Chen Xiangwei2?
（1.School of Mathematics and Physics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou215009，China）
（2.Department of Physics and Information Engineering，Shangqiu Normal University，Shangqiu476000，China）

The differential equations of the second order autonomous generalized Birkhoff systemswere firstly established.The linearized equations of this system were also given.The conditions for｀the translation of linearized system into a gradient system were put forward.The singular points for linearized system were analyzed by the characteristic of the gradient system.Moreover，the types of singular points for the corresponding nonlinear system were studied by Perron theorem.The results show that if the linearized system can be translated into a gradient system，the singular point for the corresponding nonlinear system is probably a node or a saddle point.

generalized Birkhoff system， gradient system， singular point

10.6052／1672-6553-2016-6

2015-9-10收到第1稿，2015-10-13收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目（11372169）和蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計劃（SKCX14_056）

?通訊作者E-mail：hnchenxw＠163.com

Received 10 September 2015，revised 13 October 2015.

*This project is supported by the National Natural Science Foundation of China（11372169）and the Innovation Program for Scientific Research of Suzhou University of Science and Technology（SKCX14_056）

?Corresponding author E-mail：hnchenxw＠163.com