張霄峙 陳麗華張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性研究*

張霄峙 陳麗華?張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

從經(jīng)典薄板理論出發(fā)，基于應(yīng)變梯度理論，綜合考慮尺寸效應(yīng)和壓電效應(yīng)的影響，利用哈密頓原理建立了微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型及其邊界條件.在選取符合其邊界條件的模態(tài)函數(shù)后，利用Ritz法分別研究四邊簡(jiǎn)支和懸臂條件下的微型壓電層合板的振動(dòng)特性，求解了前五階固有頻率并繪制了3D模態(tài)圖.分析了微尺度帶來的尺寸效應(yīng)對(duì)于固有頻率的影響，最后研究了外加電壓對(duì)于系統(tǒng)固有頻率的影響.

應(yīng)變梯度理論， Ritz法， 微型壓電層合板， 固有頻率， 振型

引言

近年來，微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）領(lǐng)域發(fā)展迅猛，整個(gè)業(yè)界都呈現(xiàn)出小型化、微型化、復(fù)雜化的趨勢(shì)［1-2］.這類新型設(shè)備具有一個(gè)普遍特點(diǎn)：其結(jié)構(gòu)及其變形所涉及的長(zhǎng)度尺寸都很小，和其材料特征長(zhǎng)度處于一個(gè)數(shù)量級(jí).而大量實(shí)驗(yàn)表明，微結(jié)構(gòu)所帶來的尺寸效應(yīng)會(huì)使結(jié)構(gòu)與材料的力學(xué)特性發(fā)生傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)不能解釋的顯著變化.例如，F(xiàn)leck［3］等利用微米量級(jí)的不同直徑的細(xì)銅絲，進(jìn)行了著名的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn).當(dāng)細(xì)銅絲的直徑由170μm減小到12μm，無量綱化的抗扭剛度增加了3倍.Stolken和Evans［4］利用鎳薄梁進(jìn)行彎曲實(shí)驗(yàn)，觀察到當(dāng)梁的厚度從50μm減小到12.5μm時(shí)，無量綱化的抗彎剛度也顯著增加.更能說明材料在微米尺度下具有尺度效應(yīng)的是微米及亞微米壓痕實(shí)驗(yàn)，壓入深度小于50μm時(shí)，壓痕硬度表現(xiàn)出非常強(qiáng)烈的尺寸效應(yīng).對(duì)于金屬材料，所測(cè)的材料硬度值隨著壓入深度的減小可達(dá)到傳統(tǒng)硬度值的2倍甚至3倍左右.

為了解釋這種尺寸效應(yīng)，從嘗試引入偶應(yīng)力的Cosserat兄弟開始.Toupin［5］，Yang［6］等學(xué)者均各自提出了不同的偶應(yīng)力理論.1964年，Mindlin［7］提出了彈性全應(yīng)變梯度理論，其理論認(rèn)為連續(xù)介質(zhì)中每一個(gè)物質(zhì)點(diǎn)從微觀角度可以看作一個(gè)胞元，這個(gè)胞元不僅跟隨連續(xù)介質(zhì)作宏觀運(yùn)動(dòng)和變形，而且自身還有微觀位移和微觀變形.因此，應(yīng)變能密度函數(shù)依賴于宏觀介質(zhì)的應(yīng)變，宏觀介質(zhì)應(yīng)變和微粒應(yīng)變之間的相對(duì)應(yīng)變，以及微觀變形梯度.

與此同時(shí)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用應(yīng)變梯度理論對(duì)各種微型結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.2008年，Papargyri-Beskou和Beskos［8］運(yùn)用應(yīng)變梯度理論分析了彈性梯度彎曲Kinchhoff微型板結(jié)構(gòu)的靜態(tài)變形、穩(wěn)定性和線性固有頻率.2009年，Lazopoulos［9］基于Aifantis提出的基于應(yīng)變梯度的應(yīng)變能密度方程，和表面能量帶來的附加值，建立了另一種Kinchhoff微型板結(jié)構(gòu)的模型.2011年，Reddy［10］研究了微結(jié)構(gòu)Euler-Bernoulli和Timoshenko功能梯度材料梁的非線性振動(dòng)問題.

數(shù)值模擬中，當(dāng)自由振動(dòng)時(shí)，他們建立的模型相比經(jīng)典理論模型有更低的固有頻率.2012年，Ramezani［11］提出了基于標(biāo)準(zhǔn)彈性應(yīng)變梯度理論的一階剪切變形微型板結(jié)構(gòu)模型，主要研究了結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲和線性固有頻率，指出所謂的尺度效應(yīng)對(duì)于提升微型板結(jié)構(gòu)剛度的重要作用.2012年和2013年，Ramezani＆Rajabi［12-13］利用應(yīng)變梯度理論研究了微型梁結(jié)構(gòu)的非線性問題，并發(fā)現(xiàn)非線性是提升結(jié)構(gòu)固有頻率的主要原因.但在某些特殊的長(zhǎng)厚比情況下，尺度效應(yīng)也有明顯提升固有頻率的效果.

同時(shí)，微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）在與片上系統(tǒng)、無線通信和低功耗嵌入式技術(shù)不斷交流和融合中，孕育出無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的概念.隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)無線傳感器的需求迅速增長(zhǎng)，壓電結(jié)構(gòu)得到了越來越廣泛的應(yīng)用，尤其是壓電俘能器領(lǐng)域.目前對(duì)微型壓電結(jié)構(gòu)的研究大多沒有考慮尺寸效應(yīng)的影響［14-19］.僅有的考慮尺寸效應(yīng)的文獻(xiàn)［20］也只是對(duì)梁和圓板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.

本文從經(jīng)典薄板理論出發(fā)，基于應(yīng)變梯度理論，綜合考慮尺寸效應(yīng)和壓電效應(yīng)的耦合，利用哈密頓原理建立了微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型.分別針對(duì)四邊簡(jiǎn)支和懸臂兩種邊界條件，利用Ritz法求解了微型壓電層合板的固有頻率及模態(tài)函數(shù)，研究了其振動(dòng)特性.

1 應(yīng)變能表達(dá)式

對(duì)于微型結(jié)構(gòu)，考慮尺寸效應(yīng)，基于應(yīng)變能梯度理論，總的應(yīng)變能密度函數(shù)是應(yīng)變、應(yīng)力及應(yīng)變梯度、高階應(yīng)力的函數(shù).所以系統(tǒng)總的應(yīng)變能密度函數(shù)由兩部分組成：一部分為基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)得到的宏觀應(yīng)變能；另一部分是基于應(yīng)變梯度理論得到的微觀應(yīng)變能.

圖1 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structuremodel

微型壓電層合板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖1所示.結(jié)構(gòu)

由一層材質(zhì)為MEMS常見材料硅的基層，另一層為壓電材料層組成，層間無相對(duì)位移，每層的厚度都遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)和寬.基于經(jīng)典薄板理論由此可設(shè)板內(nèi)任一點(diǎn)的位移為：

w為該點(diǎn)垂直于中性面的撓度，x和y分別表示面內(nèi)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).不考慮剪切變形的影響，可得出板內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變?yōu)椋?/p>

為考慮壓電耦合效應(yīng)的影響，分別針對(duì)基層和壓電材料層，分別計(jì)算板的應(yīng)力.結(jié)果可表示為：

上標(biāo)S代表基層，P代表壓電層，Eξ及υξ分別為楊氏模量和莫松比，e31、e32為壓電常數(shù)，E3為電場(chǎng)強(qiáng)度，E3＝V／hP，hP為壓電層的厚度，V為電壓.

基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，系統(tǒng)宏觀變形的應(yīng)變能可寫為：

本文采用Ⅱ型應(yīng)變梯度表達(dá)式：

由（2）、（5）式，得ηijk各項(xiàng)表達(dá)式如下

基層和壓電層微觀部分應(yīng)變能密度表達(dá)式可寫為：

式中l(wèi)ξ為材料內(nèi)凜長(zhǎng)度系數(shù)，取決于具體材料，λξ和μξ為常見的拉梅常數(shù)，表達(dá)式為：

由微觀變形應(yīng)變能密度表達(dá)式（7），高階應(yīng)力張量χ可由下式求得：

公式（10）中δij為克羅內(nèi)克函數(shù).

基于應(yīng)變梯度理論，微型壓電層合板結(jié)構(gòu)微觀變形部分的應(yīng)變能為：

2 動(dòng)力學(xué)模型

本節(jié)將利用哈密頓原理來得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型及邊界條件.

哈密頓原理的表達(dá)式為：

其中微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的勢(shì)能U由兩部分構(gòu)成：

系統(tǒng)的動(dòng)能由各層的動(dòng)能相加得到：

式中ρξ各層材料的密度.

本文研究自由振動(dòng)的情況，無外力做功，故W＝0.

將（14）式、（15）式代入哈密頓原理（13）式并計(jì)算后得到動(dòng)力學(xué)方程：

3 邊界條件

在得到動(dòng)力學(xué)方程的同時(shí)，微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的邊界條件歸納為如下幾種情況.

3.1 支撐情況為四邊簡(jiǎn)支時(shí)

（1）在x＝0（a邊）：

3.2 支撐情況為懸臂時(shí)

（1）在固定邊x＝0：

（2）在自由邊x＝a：

（3）自由邊y＝0、y＝b：

4 求解固有頻率和模態(tài)函數(shù)圖

本節(jié)采用Ritz法求解微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài).Ritz法基于能量變分原理，將泛函極值問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)極值問題來求解.

首先將板自由振動(dòng)解的形式設(shè)為：

（1）對(duì)于簡(jiǎn)支邊界條件，本文選取的模態(tài)函數(shù)為：

（2）對(duì)于懸臂板，選取梁函數(shù)為試函數(shù)，懸臂板模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式為：

在自由-自由方向，試函數(shù)可以選擇滿足邊界條件的梁函數(shù)：在固定-自由方向，相應(yīng)的梁函數(shù)為：

ki，kj，αi，βj的表達(dá)式見參考文獻(xiàn)［21］.

將（32）式代入到系統(tǒng)勢(shì)能、動(dòng)能的表達(dá)式中，再代入哈密頓原理后對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分，可得到：

其中aij為待定系數(shù)，也相當(dāng)于獨(dú)立的廣義坐標(biāo).于是，變分式（37）式可以簡(jiǎn)化為多元函數(shù)的極值條件：Umax-Tmax對(duì)待定系數(shù)aij的偏導(dǎo)數(shù)為零，即

經(jīng)過計(jì)算，可得關(guān)于aij的線性代數(shù)方程式.令方程組的系數(shù)行列式等于零即可得到固有頻率ω.將求出的ω值代入線性方程組式（38）中求出待定系數(shù)，便得到各階固有頻率相對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù).

利用前文所述的求解固有頻率和模態(tài)函數(shù)的方法，本節(jié)代入具體微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和材料參數(shù)進(jìn)行計(jì)算.材料參數(shù)如表1.

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

為了研究尺寸效應(yīng)對(duì)微型結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，下面分別選取幾組不同的幾何參數(shù)進(jìn)行計(jì)算：

本文算例中采用的板都為3層結(jié)構(gòu)，中間基層的厚度為h，上下壓電層的厚度為hp.

4.1 支撐情況為四邊簡(jiǎn)支時(shí)

選擇材料內(nèi)凜長(zhǎng)度為1μm，電壓V＝0.利用Ritz法，基于Maple軟件，求得的微型壓電四邊簡(jiǎn)支壓電層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率結(jié)果如表2.

表2 固有頻率計(jì)算結(jié)果Table 2 Numerical results of natural frequencies

考慮尺寸效應(yīng)的影響應(yīng)用梯度理論，本文得到的前五階固有頻率值較不考慮尺寸效應(yīng)時(shí)的值都有所提高.圖2給出了每一階固有頻率提高的百分比.

圖2 考慮尺寸效應(yīng)后各階固有頻率提升百分比Fig.2 Improvement percentage of natural frequencies considering the size effect

在得到各階固有頻率后，通過Maple軟件計(jì)算并繪制了振型函數(shù)圖，如圖3所示.

通過對(duì)固有頻率的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)由微結(jié)構(gòu)帶來的尺度效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)剛度有提升效果.且該效果隨著結(jié)構(gòu)尺寸的減小愈發(fā)顯著.由此表明在研究微型結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性時(shí)，不可忽略尺寸效應(yīng)的影響，需要利用微觀力學(xué)理論進(jìn)行分析.

為研究材料內(nèi)凜長(zhǎng)度l對(duì)固有頻率的影響趨勢(shì)，選取板3為研究對(duì)象，考察不同材料內(nèi)凜長(zhǎng)度l和板厚度的比值下的固有頻率變化情況，結(jié)果如下，單位kHz.

圖3 前五階函數(shù)圖Fig.3 Mode shapes of the first five orders

圖4 各階固有頻率隨l／h變化圖Fig.4 Development of natural frequencies with differentl／h

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)隨著材料內(nèi)凜長(zhǎng)度與板厚度的比值的增大，固有頻率呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)，該趨勢(shì)表明尺寸效應(yīng)的影響愈發(fā)明顯.

4.2 支撐情況為懸臂時(shí)

選擇材料內(nèi)凜長(zhǎng)度為1μm，電壓V＝0，利用Ritz法，基于Maple軟件，求得的微型壓電懸臂壓電層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率結(jié)果如表3.

表3 固有頻率計(jì)算結(jié)果Table 3 Numerical results of natural frequencies

以上結(jié)果也可用折線圖的形式給出，可方便的觀察各階固有頻率的變化規(guī)律.

圖5 考慮尺寸效應(yīng)后各階固有頻率提升百分比Fig.5 Improvement percentage of natural frequencies considering the size effect

通過對(duì)比兩種不同邊界條件下的微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率，可以發(fā)現(xiàn)尺寸效應(yīng)對(duì)于微型壓電四邊簡(jiǎn)支板的固有頻率提升效果要大于微型壓電懸臂層合板.由于四邊簡(jiǎn)支相對(duì)于懸臂是一種約束更強(qiáng)的邊界條件，所以其本身的固有頻率也更高，該結(jié)論說明當(dāng)系統(tǒng)本身的固有頻率較高時(shí)，尺寸效應(yīng)對(duì)于固有頻率的影響更加明顯.

在得到微型壓電懸臂板各階固有頻率后，通過Maple軟件計(jì)算并繪制了振型函數(shù)圖，如圖6所示.

與微型壓電四邊簡(jiǎn)支板的計(jì)算結(jié)果類似，由微結(jié)構(gòu)帶來的尺度效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)剛度有提升效果，且該效果隨著結(jié)構(gòu)尺寸的減小愈發(fā)顯著.

圖6 前五階模態(tài)圖Fig.6 Mode shapes of the first five orders

為研究材料內(nèi)凜長(zhǎng)度l對(duì)固有頻率的影響趨勢(shì)，同樣選取板3為研究對(duì)象，考察不同材料內(nèi)凜長(zhǎng)度l和板厚度的比值下的固有頻率變化情況，結(jié)果如圖7，單位kHz.

圖7 各階固有頻率隨l／h變化圖Fig.7 Development of natural frequencies with differentl／h

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)隨著材料內(nèi)凜長(zhǎng)度與板厚度的比值的增大，固有頻率呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)，該趨勢(shì)表明尺寸效應(yīng)的影響愈發(fā)明顯.當(dāng)材料內(nèi)凜長(zhǎng)度與板的厚度接近同一量級(jí)時(shí)，尺寸效應(yīng)的影響已非常明顯.

5 電壓對(duì)于微型壓電層合板固有頻率的影響

因?yàn)閴弘姴牧弦泊嬖谥鎵弘娦?yīng)，即在施加外電壓時(shí)，壓電材料本身也會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變.所以在外電壓的影響下微型壓電層合板的剛度也會(huì)發(fā)生改變.本節(jié)為考查電壓對(duì)于微型壓電層合板做自由振動(dòng)時(shí)固有頻率的影響，選取懸臂支撐條件下的板3為研究對(duì)象，考察施加不同外電壓時(shí)系統(tǒng)的一二階固有頻率的變化的百分比.計(jì)算結(jié)果如圖8.

圖8 固有頻率隨電壓變化圖Fig.8 Development of natural frequencies with different voltage

通過圖8可看出隨著外加電壓由負(fù)到正的升高，固有頻率呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)，說明外加電壓可以提升微型壓電結(jié)構(gòu)的剛度.且高階固有頻率的提升幅度更大.

6 對(duì)比和驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所求得的動(dòng)力學(xué)模型及求解的固有頻率，下面選擇四邊簡(jiǎn)支的板3為對(duì)象，利用ANSYS軟件進(jìn)行了有限元模擬，ANSYS求得的前五階固有頻率如表4.

表4 固有頻率驗(yàn)證Table 4 Verification of the natural frequencies

從表4可看出本文所求不考慮尺寸效應(yīng)影響的固有頻率與ANSYS所得出的結(jié)果相符.但當(dāng)考慮尺寸效應(yīng)的影響時(shí)兩者的結(jié)果已有較大出入，說明在研究微結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性時(shí)ANSYS等有限元軟件已不適合作為參考.

7 結(jié)論

針對(duì)微型壓電層合板結(jié)構(gòu)建立了模型，綜合考慮壓電效應(yīng)和尺寸效應(yīng)的影響，得到了動(dòng)力學(xué)方程及其邊界條件.并利用Ritz法分別對(duì)四邊簡(jiǎn)支和懸臂支撐情況下的算例進(jìn)行了振動(dòng)特性分析.

通過分析發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)尺寸在低于毫米量級(jí)之后，尺寸效應(yīng)的影響開始變得顯著，具體表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)尺寸的減小提高了系統(tǒng)的固有頻率.隨著結(jié)構(gòu)尺寸的進(jìn)一步減小，該趨勢(shì)快速增大.而且尺寸效應(yīng)對(duì)高階固有頻率的影響更加顯著.與ANSYS軟件有限元模擬結(jié)果的對(duì)比也表明了尺寸效應(yīng)已不可忽略，傳統(tǒng)理論也已不再適用，微結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性需要專門的微觀力學(xué)理論來分析.

同時(shí)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)材料內(nèi)凜長(zhǎng)度與板厚度的比值l／h是影響固有頻率的重要參數(shù)，當(dāng)該比值較小時(shí)，尺度效應(yīng)的影響也較小.而當(dāng)材料內(nèi)凜長(zhǎng)度與厚度兩者接近同一量級(jí)時(shí)固有頻率將出現(xiàn)非常大的提升.

通過對(duì)比兩種不同邊界條件下的微型壓電層合板結(jié)構(gòu)的固有頻率，可以發(fā)現(xiàn)，尺寸效應(yīng)對(duì)于四邊簡(jiǎn)支板的固有頻率提升效果要大于懸臂板.例如四邊簡(jiǎn)支板的固有頻率最大提升了87.3%，而懸臂板的固有頻率最大提升了59.2%.由于四邊簡(jiǎn)支相對(duì)于懸臂是一種約束更強(qiáng)的邊界條件，所以其本身的固有頻率也更高，該結(jié)論說明當(dāng)系統(tǒng)本身的固有頻率較高時(shí)，尺寸效應(yīng)對(duì)于固有頻率的影響更加明顯.

最后，研究發(fā)現(xiàn)外加電壓由負(fù)到正對(duì)于固有頻率也有提升的作用，說明外加電壓可以提升微型壓電結(jié)構(gòu)的剛度.且高階固有頻率的提升幅度更大.

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VIBRATION ANALYSISOFTHE M ICRO PIEZOELECTRIC LAM INATED PLATE BASED ON THE STRAIN GRADIENT THEORY*

Zhang Xiaozhi Chen Lihua?ZhangWei
（Beijing Key Laboratory of Nonlinear Vibrations and Strength of Mechanical Structures College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing100124，China）

The dynamic model of the micro laminated plates is developed with its boundary conditions through Hamilton＇s principle，based on the classical thin plate theory and taken into consideration of the size effect caused by themicro scale using the strain gradient theory.After choosing the propermode functions for the boundary conditions of both simple-support and cantilever，the first five orders of natural frequencies and the corresponding 3D mode shapes are achieved by the Ritzmethod，respectively.The effect of size effect on natural frequencies is studied.Eventually，the influence of the external voltage on the natural frequency is also examined.

strain gradient theory， ritzmethod， vibration analysis， natural frequency， mode shape

10.6052／1672-6553-2015-79

2015-4-29收到第1稿，2015-6-11收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11472019）

?通訊作者E-mail：chenlihua＠bjut.edu.cn

Received 29 April 2015，revised 11 June 2015.

*The project Supported by the National Natural Science Foundation of China（11472019）

?Corresponding author E-mail：chenlihua＠bjut.edu.cn