王孝然 申永軍楊紹普

（石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊 050043）

接地式三要素型動力吸振器的Ｈ∞優(yōu)化*

王孝然 申永軍?楊紹普

（石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊 050043）

以一種接地式三要素型動力吸振器為對象，研究了基于H∞優(yōu)化準則的系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)解析解.首先，將串聯(lián)型粘彈性模型引入到接地式的動力吸振器中，并建立了運動微分方程，得到了系統(tǒng)的解析解.隨后，以系統(tǒng)的解析解為研究對象發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)存在著三個固定點，利用固定點理論將三個固定點調(diào)到了同一高度得到了動力吸振器的最優(yōu)調(diào)諧比和最優(yōu)剛度比設計公式，并依據(jù)H∞優(yōu)化準則通過最小化幅頻曲線的最大值得到了系統(tǒng)最優(yōu)阻尼比設計公式.最后，通過數(shù)值解與解析解的對比說明了解析解的正確性，并證明了接地式三要素型動力吸振器有較好的吸振效果.

動力吸振器， 固定點理論，H∞優(yōu)化， 參數(shù)優(yōu)化

引言

振動是生產(chǎn)和生活中的一種常見現(xiàn)象.隨著運動速度不斷提高，機械設備的振動問題越來越受到人們的關注.尤其在農(nóng)業(yè)機械領域，振動不僅容易引起農(nóng)業(yè)機械的疲勞損傷，影響設備的壽命，還會降低儀器儀表的測量精度，導致繼電器等電氣部件和自控系統(tǒng)工作失靈.同時振動還不可避免地產(chǎn)生噪音，影響操作人員的正常工作甚至危害健康.為了抑制有害的振動，長期以來人們開展了大量的研究，提出了緩沖隔振、阻尼減振、動力吸振等多種振動控制技術.文獻［1］研究了拖拉機前橋懸架參數(shù)匹配及其對振動特性的影響，能夠很好地降低拖拉機的振動.文獻［2］研究了懸掛農(nóng)具對電液懸掛系統(tǒng)拖拉機振動的影響，為拖拉機主動減振控制提供了理論依據(jù).文獻［3］研究了農(nóng)具質(zhì)量對拖拉機懸掛農(nóng)具系統(tǒng)振動特性的影響，為拖拉機減振系統(tǒng)的設計提供了重要參考.文獻［4］分析了行星排式混合動力汽車傳動系扭轉(zhuǎn)振動，為混合動力汽車的振動及噪聲性能改善提供參考.文獻［5］研究了車廂壁面振動對其內(nèi)部聲場的影響度分析與阻尼降噪，并試用阻尼減振方法，對以正影響度為主的壁面粘貼阻尼材料，使耳旁噪聲降低了2.2dB（A）.

動力吸振器又稱調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，自1909年Frahm［6］發(fā)明了第一個動力吸振器以來，人們對其研究已有一百多年的歷史.這種無阻尼的動力吸振器雖然當外激勵頻率與主系統(tǒng)頻率相等時會取得很好的減振效果，但在附加吸振器后，主系統(tǒng)會出現(xiàn)兩個新的共振頻率.一旦激勵頻率偏離主共振頻率時就有可能再次引起較大的共振幅值，所以說該模型適用頻率范圍非常窄.1928年，Den Hartog和Ormondroyd［7］發(fā)現(xiàn)在無阻尼動力吸振器中加入適當?shù)淖枘釙貙拕恿ξ衿鞯臏p振頻率.現(xiàn)在該模型通常被稱為Voigt型動力吸振器而且已經(jīng)被視為動力吸振器的經(jīng)典模型.

除了Voigt型動力吸振器，人們也研究了許多其他形式動力吸振器.典型的如2001年Ren等人［8］提出了一種接地式動力吸振器模型，該模型中阻尼器并不是連接在主系統(tǒng)和子系統(tǒng)之間，而是直接連接子系統(tǒng)和結構（或者地基）.Ren等人對其參數(shù)進行了優(yōu)化，與Voigt模型的對比說明了該模型具有更好的減振效果.2005年Liu［9-10］等人對該模型采用另一種方法進行了參數(shù)優(yōu)化，并在2010年對主系統(tǒng)含阻尼的情況通過固定點存在的假設得到了近似最優(yōu)參數(shù).由于振動控制工程中大量采用粘彈性材料，而粘彈性材料不僅具有阻尼性質(zhì)也具有剛度性質(zhì)，日本學者Asami等［11-12］提出了三要素動力吸振器模型并對其進行了優(yōu)化設計，發(fā)現(xiàn)在相同質(zhì)量比情況下，該模型具有更好的減振效果.文獻［13-14］研究了時滯對動力吸振器的影響，給出了如何利用時滯提高振動控制效果的思想.文獻［15-16］研究了四種半主動動力吸振器的近似解析解，并分析了半主動動力吸振器的參數(shù)設計和時滯對半主動控制規(guī)律的影響.文獻［17-18］研究了寬帶動力吸振器優(yōu)化設計.文獻［19］研究了連續(xù)型參數(shù)吸振器的優(yōu)化設計.文獻［20］研究了一種含負剛度元件的新型動力吸振器的參數(shù)優(yōu)化.

本文研究了一種接地式三要素型動力吸振器，應用H∞優(yōu)化方法對該動力吸振器進行動力學分析和參數(shù)優(yōu)化，得到了最優(yōu)調(diào)頻比、最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比的設計公式.并通過分析比較驗證了該吸振器的振動控制效果.

1 基本模型及解析解研究

如圖1所示為本文研究的接地式三要素型動力吸振器模型，其中，m1代表主系統(tǒng)質(zhì)量，m2代表動力吸振器質(zhì)量，k1和k2分別代表主系統(tǒng)和動力吸振器的剛度，ka和c分別是串聯(lián)型粘彈性模型的剛度和阻尼，F(xiàn)0和ω分別表示激振力振幅和頻率，x1、x2、x3分別表示主系統(tǒng)、動力吸振器以及串聯(lián)彈簧和阻尼分割點的位移.

圖1 接地式三要素型動力吸振器模型Fig.1 Model of grounded three-element type dynamic vibration absorber

根據(jù)牛頓第二定律可以得到系統(tǒng)的動力學方程

2 最優(yōu)頻率比和最優(yōu)剛度比

由式（6）通過簡單推導，可以證明其歸一化的幅頻曲線都將通過三個獨立于阻尼比的點，這三個點稱為該動力吸振器的固定點.為了直觀說明該結論，圖2給出了阻尼比為0、0.276和∞時的歸一化幅頻曲線.從圖中可以清楚地看出曲線均通過P、Q和R三點.因為固定點與阻尼比無關，為了解出固定點，只需令

圖2 不同阻尼比下幅頻曲線Fig.2 The amplitude-frequency curves under different damping ratios

當把三個固定點的縱坐標調(diào)到同一高度，就可以得到最優(yōu)調(diào)頻比.這個調(diào)整需要兩步完成.第一步把P點和R點的縱坐標調(diào)到同一高度，可以得到

把（15）式代入到（9）式可以得到

由（16）式解得

式（14）可以寫成

第二步，把P或R點與Q點的縱坐標調(diào)整到同一高度，可以得到最優(yōu)頻率比

把（19）式代入到（15）式得到

此時，

3 最優(yōu)阻尼比

當把三個固定點調(diào)整到同一高度后，如圖3所示.此時改變阻尼比，可以改變共振峰的高度，最優(yōu)阻尼比可以通過調(diào)整兩個共振峰為同一高度時實現(xiàn).

為了得到最優(yōu)阻尼比，需要知道在兩個共振峰處的橫坐標，即λ1，2.令

由上式可以得到ξ1和ξ2的值，然后得到但是這樣很難得到解析結果.

圖3 不同阻尼比下的幅頻曲線Fig.3 The amplitude-frequency curves under different damping ratios

由圖3我們可以清晰地觀察到當兩個共振峰在同一高度時，Q點的附近正好是幅頻曲線斜率為零的區(qū)域，Q點的橫坐標已經(jīng)求出，可以根據(jù)Q點的橫坐標得出近似的最優(yōu)阻尼比.

根據(jù)

從而得到近似最優(yōu)阻尼比

圖4給出了根據(jù)前述優(yōu)化結果得到的幅頻曲線，可以發(fā)現(xiàn)基本達到了優(yōu)化目的.

圖4 近似最優(yōu)阻尼比時的幅頻曲線Fig.4 The amplitude-frequency curve under approximate optimal damping ratio

4 數(shù)值驗算

為了驗證前文得到結果的正確性，任選激勵幅值為F＝1000，選取質(zhì)量比為μ＝0.1，從而根據(jù)前述結果得到其他系統(tǒng)參數(shù)為k＝0.632，v＝0.907，ξ＝0.2765.利用四階龍格庫塔法，選取計算時間為100倍的激勵周期，可以得到給定激勵頻率下系統(tǒng)響應的數(shù)值解.略去瞬態(tài)響應，取穩(wěn)態(tài)解的最大值為響應幅值可以得到歸一化的幅頻曲線，如圖5中圓圈所示.根據(jù)式（6），圖5中也同時用實線畫出了系統(tǒng)解析解的曲線.從圖中可以明顯看出，與圖3未優(yōu)化結果相比較，通過優(yōu)化使其兩個共振峰處于相等高度.同時數(shù)值解與解析解的吻合，也說明了本文求解過程的正確性.

圖5 數(shù)值解和解析解對比Fig.5 Numerical solution compared with analytical solution

5 結論

本文將串聯(lián)型粘彈性模型引入到接地式的動力吸振器中，并以其為研究對象根據(jù)固定點理論得到了系統(tǒng)取得最優(yōu)減振效果時的動力吸振器參數(shù)，通過數(shù)值解驗證了所得結果的正確性.證明了接地式三要素型動力吸振器有較好的吸振效果.

1 伊力達爾·伊力亞斯，朱思洪，徐剛，袁加奇.拖拉機前橋懸架參數(shù)匹配及其對振動特性的影響.農(nóng)業(yè)工程學報，2015，31（10）：29～36（Yilidaer Y L Y S，Zhu SH，Xu G，Yuan JQ.Front axle suspension parametersmatch and its impacton vibration characteristics of tractor.Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering，2015，31（10）：29～36（in Chinese））

2 承鑒，遲瑞娟，毛恩榮.懸掛農(nóng)具對電液懸掛系統(tǒng)拖拉機振動的影響.農(nóng)業(yè)工程學報，2015，31（7）：24～32（Cheng J，Chi R J，Mao E R.Influence of hanging farm implement on vibration of tractor with electro-hydraulic hitch system.Transactionsof the Chinese Society of Agricultural Engineering，2015，31（7）：24～32（in Chinese））

3 朱思洪，徐剛，袁加奇，馬佳富，伊力達爾，李科.農(nóng)具質(zhì)量對拖拉機懸掛農(nóng)具系統(tǒng)振動特性的影響.農(nóng)業(yè)工程學報，2014，30（24）：30～37（Zhu SH，Xu G，Yuan JQ，Ma JF，Yi Lidaer，Li K.Influence of implement′smass on vibration characteristics of tractor-implement system.Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering，2014，30（24）：30～37（in Chinese））

4 于海生，張彤，馬智濤，王瑞平.行星排式混合動力汽車傳動系扭轉(zhuǎn)振動分析.農(nóng)業(yè)工程學報，2013，29（15）：57～64（Yu H S，Zhang T，Ma Z T，Wang R P.Torsional vibration analysis of planetary hybrid electric vehicle driveline.Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering，2013，29（15）：57～64（in Chinese））

5 劉紅光，陸森林，曾發(fā)林.車廂壁面振動對其內(nèi)部聲場的影響度分析與阻尼降噪.農(nóng)業(yè)工程學報，2002，18（2）：62～64（Liu H G，Lu S L，Zeng F L.Influence of wall vibration on the sound in a cab and noise reduction with damping.Transactionsof the Chinese Society of Agricultural Engineering，2002，18（2）：62～64（in Chinese））

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18 肖和業(yè)，盛美萍，吳偉浩.新型寬帶動力吸振器優(yōu)化設計.振動與沖擊，2011，30（1）：98～101（Xiao H Y，Sheng M P，Wu W H.Optimization analysis of new type of broadband dynamic vibration absorber based on particle swarm optimization.Journal of VIibration and Shock，2011，30（1）：98～101（in Chinese））

19 肖和業(yè)，盛美萍，雷燁.連續(xù)參數(shù)型吸振器吸振分析及優(yōu)化.振動，測試與診斷，2012，32（3）：447～451（Xiao H Y，Sheng M P，Lei Y.Analysis and optimization of continuous parameter type dynamic vibration absorber.Journal of Vibration，Measurement＆Diagnosis，2012，32（3）：447～451（in Chinese））

20 彭海波，申永軍，楊紹普.一種含負剛度元件的新型動力吸振器的參數(shù)優(yōu)化.力學學報，2015，47（2）：320～327（Peng H B，Shen Y J，Yang SP.Parameters optimization of a new type of dynamic vibration absorber with negative stiness.Chinese Journalof Theoretical and Applied Mechanics，2015，47（2）：320～327（in Chinese））

H∞OPTIM IZATION OF THE GROUNDED THREE-ELEMENT TYPE DYNAM IC VIBRATION ABSORBER*

Wang Xiaoran Shen Yongjun?Yang Shaopu
（Department of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang050043，China）

Taking a new type of the grounded three-element type dynamic vibration absorber as the research object，the optimal analytical solution is studied based on H∞optimization principle in this paper.Firstly，a series viscoelasticmodel is introduced into the grounded dynamic vibration absorber，and the analytical solution of the system is obtained based on the established motion differential equation.Three fixed points are found in the amplitude-frequency curves of the primary system.Moreover，the design formulae for the optimal tuning ratio and the optimal stiffness ratio of the dynamic vibration absorber are developed by adjusting the three fixed points to the same height according to the fixed point theory.Then，the optimal damping ratio is obtained by minimizing the maximum value of the amplitude-frequency curves according to H∞optimization principle.In addition，the comparison between the numerical solution and the analytical solution is investigated.It verifies the correctness of the analytical solution，and illustrates that the grounded three-element type dynamic vibration absorber exhibites better performance of vibration absorption.

dynamic vibration absorber， fixed point theory， H∞optimization， Parameter optimization

10.6052／1672-6553-2015-82

2015-11-11收到第1稿，2015-11-16收到修改稿.

*國家自然科學基金（11372198）、河北省高等學校創(chuàng)新團隊領軍人才計劃（LJRC018）、河北省高等學校高層次人才科學研究項目（GCC2014053）、河北省高層次人才資助項目（A201401001）

?通訊作者E-mail：shenyongjun＠126.com

Received 11 November 2015，revised 16 November 2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11372198），the Cultivation plan for Innovation team and leading talent in Colleges and universitiesof Hebei Province（LJRC018），the Program for advanced talent in the universitiesofHebei Province（GCC2014053），and the Program for advanced talent in Hebei Province（A201401001）

?Corresponding author E-mail：shenyongjun＠126.com