柯淑芳

橢圓中的離心率最值問題是解析幾何中的重點和難點，往往借助于圖形的性質(zhì)、橢圓的范圍、正余弦函數(shù)的有界性、均值不等式等來構(gòu)造關于a，b，c的不等式，從而達到求解的目的. 本文主要研究如何利用橢圓焦點三角形中的角求解橢圓中的離心率最值問題.

首先給出一些關于橢圓焦點三角形的相關概念和性質(zhì)如下：

橢圓上任意一點P與兩焦點所構(gòu)成的三角形，稱為焦點三角形.

性質(zhì)1 若[F1，F(xiàn)2]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩個焦點，[P]是橢圓上一點，且[∠F1PF2=θ]，則[SΔF1PF2=b2tanθ2].

[P][F1][F2][x][y][θ] [O]

證明 設[PF1=m]，[PF2=n]，

由余弦定理得[m2+n2-2mncosθ=F1F22=4c2，]

由橢圓定義得[m+n=2a，]

由上得：[mn=2（a2-c2）1+cosθ=2b21+cosθ]，

[∴][SΔF1PF2=12mnsinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2].

性質(zhì)2 已知橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]兩焦點分別為[F1，F(xiàn)2，]設焦點三角形[PF1F2]中[∠F1PF2=θ，]則[cosθ≥1-2e2]（當且僅當動點為短軸端點時取等號）.

證明 在[△F1PF2]中，由余弦定理可知

[cos∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1?PF2]

[=（PF1+PF2）2-2PF1?PF2-4c22PF1?PF2]

[=2a2-2c2PF1?PF2-1≥2a2-2c2PF1+PF222-1]

[=2a2-2c2a2-1=1-2e2].

性質(zhì)3 已知[B]為橢圓短軸的端點，[F1，F(xiàn)2]為橢圓的兩個焦點，[O]為坐標原點. ①[sin∠F1BO=ca=e]，②[P]為橢圓上任意一點，當[P]位于短軸端點時[∠F1PF2]達到最大值即[∠F1BF2≥∠F1PF2].

[P][B][F1][F2][x][y][θ] [O]

例1 [F1，F(xiàn)2]為橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦點，若橢圓上存在點[P]，使得[∠F1PF2=π2]，求橢圓離心率[e]的取值范圍.

解法一 設[B]為橢圓短軸上的一個端點，

則[∠F1BF2≥∠F1PF2=π2].

所以，[∠F1BO≥π4].

所以，[sin∠F1BO=ca=e≥22].

又因為[0解法二 利用余弦定理，∵[∠F1BF2≥90°]，

∴[cos∠F1BF2=a2+a2-4c22a2≤0]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法三 由焦點三角形的性質(zhì)可知

[S△F1PF2=b2tan45°]，

∴[b2≤S△F1PF2=12?2c?b=bc]，即[b≤c]，

∴[b2≤c2]，∴[a2-c2≤c2]，

∴[e∈22，1].

解法四 由焦半徑公式得

[PF1=a+ex0]，[PF2=a-ex0]，

由勾股定理得[（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2]，

即[x02=2a2-a2c2≥0]，

∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法五 利用均值不等式，設[PF1=m，PF2=n]，

∴[m2+n2=4c2]，

又[2a=m+n]，

∴[4a2=m2+n2+2mn≤2（m2+n2）=8c2]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1] .

點評 在這五種解題方法中，主要從兩個方向構(gòu)造不等式最終得到橢圓離心率的最值，一個是角度（如解法一、二、三），另一個是長度（如解法四和五）. 顯然，用長度構(gòu)造計算量稍大些；用角度構(gòu)造，特別是利用焦點三角形的性質(zhì)直接計算簡單方便得多.

下面看看利用橢圓焦點三角形的角度求離心率最值的應用.

例2 已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩焦點分別為[F1，F(xiàn)2，]若橢圓上存在一點[P，]使得[∠F1PF2=120°，]求橢圓的離心率[e]的取值范圍.

解析 由橢圓焦點三角形性質(zhì)可知

[cos120°≥1-2e2，] 即[-12≥1-2e2]，

于是得到[e]的取值范圍是[32，1].

例3 [F1，F(xiàn)2]為橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦點，[P]是橢圓上一點，且[SΔPF1F2=33b2]，求橢圓離心率[e]的取值范圍.

解析 由焦點三角形的性質(zhì)得

[SΔPF1F2=b2×tan12∠F1PF2]，可以得到[∠F1PF2=π3]，

∴[cosπ3≥1-2e2]，

即[12≥1-2e2]，

∴[e∈12，1].

總之，利用橢圓焦點三角形中的角求橢圓中的離心率最值可以更加簡便，為我們節(jié)省了解題的時間，而歸根到底橢圓焦點三角形的角的特殊性質(zhì)還是抓住課本——橢圓的定義[PF1+PF2=2a][2a>F1F2]，再結(jié)合正余弦定理或勾股定理，由邊的關系找出a與c的關系，從而求出離心率的最值或取值范圍.