陳開懋 幸芹

橢圓中面積的最值問題，一般分為兩種情況：一是題目直接考查某直線或某圖形與已知橢圓所圍成陰影部分的面積；二是考查橢圓中的其他問題，但可以轉(zhuǎn)化為該橢圓中某特定面積問題加以計(jì)算解答. 解決此類問題的常規(guī)方法是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)變量后利用韋達(dá)定理以及點(diǎn)到直線距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，將面積問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，應(yīng)熟練掌握.

[橢圓中的三角形面積最值]

例1 已知橢圓C：[x24+y23=1]，若經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F2作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△ABF1面積的最大值.

解析 設(shè)直線AB的方程為[x=my+1][m∈R]，

把[x=my+1]代入[x24+y23=1]得，

[（3m2+4）y2+6my-9=0]，

顯然[Δ>0]，設(shè)A[x1，y1]，B[x2，y2]，

則[S=12×2×y1-y2=][y1-y2]，

又[y1+y2=-6m3m2+4]，[y1?y2=-93m2+4]，

[（y1-y2）2=][（y1+y2）2-4][y1?y2=483m2+3（3m2+4）2]，

令[t=3+3m2]，則[t≥3，][（y1-y2）2=48t+1t+2]，

由于函數(shù)[y=t+1t]在[3，+∞]上單調(diào)遞增，

所以[t+1t≥103]，故[（y1-y2）2≤9]，即[S≤3]，

故△ABF1面積的最大值等于3.

例2 已知橢圓[x22+y24=1]，過橢圓上的點(diǎn)P（1，[2]）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

解析 設(shè)直線AB的方程為：[y=2x+b]，

代入[x22+y24=1]，得[4x2+22bx+b2-4=0]，

所以[Δ=8b2-16（b2-4）>0]，解得[b2<8].

設(shè)A[x1，y1]，B[x2，y2]，

則|AB|=[1+22][x1+x22-4x1x2]=[34-b22]，

點(diǎn)P到直線AB的距離[d=b3]，

∴ [SΔPAB=12AB?d=12b?][4-b22]

=[122-b2-42+16][≤][2]，

當(dāng)且僅當(dāng)b=±2時(shí)取等號(hào)，所以△PAB面積的最大值是[2].

總結(jié) （1）選擇合適的三角形面積表達(dá)式：①直接法：[SΔABC=12×底×高]，其中求底一般用到弦長公式，求高一般用到點(diǎn)到直線的距離公式；②割補(bǔ)法：用垂直于坐標(biāo)軸的線段進(jìn)行分割，并將垂直于坐標(biāo)軸的線段當(dāng)三角形的底邊，高用點(diǎn)坐標(biāo)表示.

（2）關(guān)于面積目標(biāo)函數(shù)中變量的選擇：①選擇點(diǎn)坐標(biāo)作為變量；②選擇直線的斜率作為變量；③選擇直線的截距作為變量；④同時(shí)選擇直線的斜率和截距作為變量.

（3）關(guān)于直線方程形式的設(shè)法：①[y=kx+b]；②[x=my+n]. 選擇不同直線方程的形式，可以起到減少分類討論和簡化運(yùn)算的效果.

（4）面積目標(biāo)函數(shù)最值的常見求法：一元函數(shù)法、基本不等式法、線性規(guī)劃、三角換元法、代數(shù)換元法.

[橢圓中的四邊形面積最值]

例3 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），C（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線[y=kx（k>0）]與橢圓相交于B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值.

[O][y][x][B][A][D][C]

解析 因?yàn)辄c(diǎn)A（2，0），C（0，1）是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，所以橢圓的方程為[x24+y2=1].由橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)B，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)B（x0，y0）（x0>0），則[x204+y20=1]，即[x20+4y20=4]. 設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則S=S△ABD+ S△BCD

=2S△AOB+2S△COB=|OA|[?]y0+|OC|[?]x0=2y0+x0. 接下來可以用兩種方法處理：

方法一（三角換元）：

∵ [x204+y20=1]，可設(shè)x0=2cos[θ]，y0=sin[θ]，

∴ S=2y0+x0=2sin[θ]+2cos[θ]=2[2]，

sin（[θ]+45°）≤2[2]，當(dāng)且僅當(dāng)[θ]=45°時(shí)取等號(hào). 故四邊形ABCD面積的最大值是2[2].

方法二（利用基本不等式）：

[S=2y0+x0=（x0+2y0）2]=[x20+4y20+4x0y0]

=[4+2?x0?2y0≤][x20+4y20+4]=2[2]，

當(dāng)且僅當(dāng)2y0=x0=[2]時(shí)取等號(hào).

故四邊形ABCD面積的最大值是2[2].

總結(jié) 橢圓中的四邊形面積常見處理技巧是將四邊形分割成若干個(gè)三角形的面積之和，再利用前面所講的三角形面積計(jì)算技巧來處理. 此題將四邊形ABCD的面積表示成關(guān)于點(diǎn)B的坐標(biāo)（x0，y0）的二元函數(shù)，再利用基本不等式或參數(shù)求最大值，是本題的解題技巧，若將四邊形ABCD的面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，則運(yùn)算量要大許多. 當(dāng)然，本題還可以以AC為分割線，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形△ACB和△ACD的面積之和.

[與橢圓面積有關(guān)的其他問題]

例4 已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓E：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）的離心率為[32]，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為[233]，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

解析 （1）設(shè)F（c，0），由條件知，[2c=233]，得[c=3].

又[ca=32]，所以a=2，b2=a2-c2=1.

故E的方程為[x24+y2=1].

（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故可設(shè)l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

將y=kx-2代入[x24+y2=1]，

得（1+4k2）x2-16kx+12=0，

當(dāng)Δ=16（4k2-3）>0，

即k2>[34]時(shí)，x1，2=[8k±24k2-34k2+1]，

從而|PQ|=[k2+1]|x1-x2|=[4k2+1·4k2-34k2+1].

又點(diǎn)O到直線l的距離d=[2k2+1].

所以△OPQ的面積S△OPQ=[12]d·|PQ|=[44k2-34k2+1].

設(shè)[4k2-3]=t，則t>0，S△OPQ=[4tt2+4]=[4t+4t].

因?yàn)閇t+4t]≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=±[72]時(shí)等號(hào)成立，滿足Δ>0，

所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，k=±[72]，

l的方程為y=[72]x-2或y=-[72]x-2.

通過以上幾個(gè)例子，我們發(fā)現(xiàn)解決橢圓中的面積最值問題往往采取割補(bǔ)法表示圖形的面積，再利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)最值，以及利用函數(shù)的單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決. 同時(shí)分割方法的不同、設(shè)未知元的不同，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算的繁簡不同，在解題時(shí)應(yīng)注意方法的優(yōu)化.