程曉云

摘 要：本文引入了關(guān)于超BE-代數(shù)上的超BE-同態(tài)的概念， 重點(diǎn)研究了超BE-代數(shù)的超子代數(shù)、超BE-同態(tài)核及 （弱） 超濾子等在超同態(tài)作用下的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：超BE-代數(shù) 超BE-同態(tài) （弱）超濾子 超同態(tài)核

一、 引言

超理論由Marty[5]在1934年第八屆Scandinavian數(shù)學(xué)家大會上引入，自那以后，超理論被廣泛地研究最近，學(xué)者Radfar將超理論應(yīng)用到BE-代數(shù)上，引入了超BE-代數(shù)，它是BE-代數(shù)及對偶超K-代數(shù)的一個(gè)推廣。本文在已有文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，引入并研究了超BE-代數(shù)的超BE-同態(tài)，得到了一些重要結(jié)論。

二、預(yù)備知識

定義2.1設(shè)H是一個(gè)非空集合，是一個(gè)超運(yùn)算。若，滿足：

（HBE1） ；（HBE2） ；（HBE3） ；（HBE4） ，則稱為超BE-代數(shù)。

在超BE代數(shù)中，定義二元關(guān)系為：當(dāng)且僅當(dāng)。且，A=B指，使得a≤b。此外，。

例2.2設(shè)H={1，a，b}，在H上定義超運(yùn)算O1和O2如下：

則（H；O1，1）和（H；O2，1）是超BE-代數(shù)。

性質(zhì)2.3設(shè)（H；O.1）是一個(gè)超BE-代數(shù)，則，下列結(jié)論成立：

（1） ；（2） ；（3） ；（4） A=B當(dāng)且僅當(dāng)；（5） ；（6） 。

定義2.4一個(gè)超BE代數(shù)（H；O1，1）被稱為：

（1）R超BE-代數(shù)，若，有；（2）C超BE-代數(shù)，若，有；（3）D超BE-代數(shù)，若，有；（4）RC超BE-代數(shù)，若H既是R超BE-代數(shù)，又是C超BE-代數(shù)；（5）RCD超BE-代數(shù)，若H既是R超BE-代數(shù)、C超BE-代數(shù)及D超BE-代數(shù)。

定義2.5一個(gè)超BE代數(shù)（H；O1，1）的一個(gè)非空子集S被稱為H的超子代數(shù)，若，都有。

定義2.6設(shè)F是超BE代數(shù)（H；O1，1）的一個(gè)非空子集，且。則F被稱為

（1）H的弱超濾子，若，；（2）H的超濾子，若，。

三、超BE-同態(tài)

定義3.1 設(shè)H1和H2是兩個(gè)超BE-代數(shù)，稱映射為H1到H2的超BE-同態(tài)，若下列條件成立：，

（1） f（1）=1；（2），。

若f是單射，則f被稱為超BE-單同態(tài)；若f是滿射，則f被稱為超BE-滿同態(tài)；若f既是超BE-單同態(tài)，又是超BE滿同態(tài)，則f被稱為超BE-同構(gòu)。

例3.2（1） 設(shè)H1和H2是兩個(gè)超BE-代數(shù)，則恒等映射映射是H1到H2的超BE-同態(tài)； 若H2滿足，定義映射為f（x）=1，，則f是H1到H2的超BE-同態(tài)。

例3.3 在例2.2中，在超BE-代數(shù)（H；O1，1）上定義映射為：，則f不是H到H的超BE-同態(tài)， 因?yàn)?。若在超BE-代數(shù)（H；O2，1）上定義映射為：，則f是H到H的超BE-同態(tài)。

定理3.4 設(shè)H1和H2是兩個(gè)超BE-代數(shù)，是超BE-同態(tài)。

（1）若S是H1的超子代數(shù)，則f（S）是H2的超子代數(shù)；（2）若S是H2的超子代數(shù)，則f-1（S）是H1的超子代數(shù)；（3）若H1是R超（C超，D超，RC超，RCD超）BE-代數(shù)，則F（H1）是同類型的超BE-代數(shù)；（4）若f是單同態(tài)，H2是R超（C超，D超，RC超，RCD超）BE-代數(shù)，則f-1（H2）是同類型的超BE-代數(shù)。

證明（1）顯然1=f（1）∈f（S）。設(shè)x，y∈f（S），則使得f（x1）=x，f（y1）=y。因此，。這就證明了f（S）是H2的超子代數(shù)。（2）注意到1=f（1），我們有。設(shè)x，y∈f-1（S），則。因而，，也就是。這表明f-1（S）是H1的超子代數(shù)。（3）若H1是R超BE-代數(shù)，即。由（1）知，f（H1）是超BE-代數(shù)。設(shè)，則使得y=f（x）。因而。故f（H1）也是R超BE-代數(shù)。其他情形證明類似。（4）若H2是C超BE-代數(shù)，由（2）知，f-1（H2）是超BE-代數(shù)。設(shè)x∈f-1（H2），我們有f（x）∈H2。因而。因?yàn)閒是超BE-同態(tài)，從而。這表明f-1（H2）是C超BE-代數(shù)。其他情形證明類似。

定理3.5 設(shè)是超BE-同態(tài)。

是H1的（弱）超濾子；

若F是H2的（弱）超濾子，則f-1（F）是H1的（弱）超濾子，且。

證明 （1） 情形1：若，。則f（x）=1且，因而f（a）=1。注意到，我們得到，也就是1≤f（y）。因此f（y）=1，進(jìn)而y∈Kerf。這表明Kerf是H1的超濾子。

情形2：若，。則f（x）=1且，因而使得。故有a∈xoy且a∈Kerf。剩下的證明同情形1，這證明了Kerf是H1的弱超濾子。

（2）顯然

情形1：若F是H2的超濾子，則1∈f-1（F）。設(shè)，則。由，我們得到：。這意味著f（y）∈F，進(jìn)一步，y∈f-1（F）。這表明f-1（F）是H1的超濾子。

情形2：若F是H2的弱超濾子，我們有1∈f-1（F）。若，。則f（x）∈F且使得a∈xoy且a∈f-1（F），因而f（a）∈F且。故且f（x）∈F。因此，f（y）∈F。進(jìn)一步，y∈f-1（F）。這就證明了f-1（F）是H1的弱超濾子。

定義3.6 一個(gè)超BE-代數(shù)H稱滿足反對稱性，我們指H滿足條件（S）。

例3.7 在例1.2中，（H；O2，1）不滿足反對稱性，因?yàn)閍≤b，b≤a，而a≠b；（H；O1，1）滿足反對稱性。

定理3.8 設(shè)是超BE-同態(tài)。若H1滿足條件（S），則f是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf={1}。

證明 必要性 設(shè)f是單同態(tài)。由于1∈H1且f（1）=1，故Kerf={1}。

充分性 設(shè)且f（x）=f（y），則1∈f（x）of（y）=f（xoy）。因而使得。這意味著a∈Kerf={1}，進(jìn)而，a=1。因此，y≤x。同理，我們能證明x≤y。由于H1滿足條件（S），于是x=y，故f是單同態(tài)。

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