縱觀近幾年江蘇高考數(shù)學試卷，明顯加大了對應用題的考查力度，從2008年新高考以來，每年除了在填空有考查外，必有一道解答題，其中2008年、2010年、2011年、2012年、2015年都是放在試卷的第17題，2013年、2014年放在試卷的第18題，2009年放在試卷的第19題，考查的知識點都是B級考點的綜合應用，試題的難度屬于中檔題.

江蘇高考數(shù)學試題中，對數(shù)學應用于解決實際問題的考查已經趨于成熟，它主要考查函數(shù)、方程、三角、解三角形、導數(shù)、數(shù)列、基本不等式、解析幾何等基礎知識，考查數(shù)學建模能力、抽象概括能力、空間想象能力、數(shù)學閱讀能力和解決實際問題的能力.2008年考查了函數(shù)的應用，解三角形；2009年考查了函數(shù)的應用和不等式；2010、2013年考查了解三角形的知識、三角函數(shù)及不等式的應用；2012年考查了函數(shù)與方程；2014年考查了直線方程、直線與圓的位置關系和解三角形等基礎知識；2011、2015年考查函數(shù)的概念，導數(shù)等基礎知識.

高考數(shù)學應用題常見模型有：（1）函數(shù)應用模型：涉及最值問題；（2）三角應用模型：涉及測量問題；（3）不等式（組）應用模型：涉及優(yōu)化問題；（4）方程（組）及坐標系應用模型：涉及等量問題；（5）數(shù)列應用模型：涉及年代及預測問題；（6）立體幾何模型：涉及空間圖形問題；（7）概率、統(tǒng)計模型：涉及數(shù)據(jù)計算、預估等問題.

題型一通過建立函數(shù)模型來解應用題

例1（2011江蘇17）請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

解：（1）S=602-4x2-（60-2x）2=240x-8x2（0

（2）V=（2x）222（60-2x）=22x2（30-x）（0

當0

此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為22（60-2x）2x=12.

評注：本小題主要考查函數(shù)的概念、導數(shù)等基礎知識，考查數(shù)學建模能力、空間想象能力、數(shù)學閱讀能力以及解決實際問題的能力.

例2（2015江蘇17）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)y=ax2+b（其中a，b為常數(shù)）模型.

（1）求a，b的值；

（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.

①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.

解：（1）由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，2.5），

將其分別代入y=ax2+b，得a25+b=40a400+b=2.5，解得a=1000b=0.

（2）①由（1）y=1000x2（5≤x≤20），P（t，1000t2），

∴y′=-2000x3，∴kl=-2000t3，

∴切線l的方程為y-1000t2=-2000t3（x-t），

設在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B點，則A（3t2，0），B（0，3000t2），

∴f（t）=（3t2）2+（3000t2）2=32t2+4×106t4，t∈[5，20]；

②設g（t）=t2+4×106t4，則g′（t）=2t-16×106t5=0，解得t=102，

t∈（5，102）時，g′（t）<0，g（t）是減函數(shù)；

t∈（102，20）時，g′（t）>0，g（t）是增函數(shù)，

從而t=102時，函數(shù)g（t）有極小值也是最小值，

∴g（t）min=300，

∴f（t）min=153.

答：t=102時，公路l的長度最短，最短長度為153千米.

評注：本題考查利用數(shù)學知識，建立函數(shù)模型解決實際問題，考查了函數(shù)與方程、導數(shù)知識的綜合運用，確定函數(shù)關系，正確求導是關鍵.

題型二通過建立不等式模型來解應用題

例3（2009江蘇19）按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為mm+a；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為nn+a.如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h1和h2，則他對這兩種交易的綜合滿意度為h1h2.

現(xiàn)假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為mA元和mB元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h乙.

（1）求h甲和h乙關于mA、mB的表達式；當mA=35mB時，求證：h甲=h乙.

（2）設mA=35mB，當mA、mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

（3）記（2）中最大的綜合滿意度為h0，試問能否適當選取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時成立，但等號不同時成立？試說明理由.

解：（1）h甲=mAmA+12·mBmB+5，

h乙=mAmA+3·mBmB+20，（mA∈[3，12]，mB∈[5，20]），

當mA=35mB時，h甲=35mB35mB+12·mBmB+5=m2B（mB+20）（mB+5），

h乙=35mB35mB+3·mBmB+20

=m2B（mB+5）（mB+20），h甲=h乙.

（2）當mA=35mB時，

h甲=m2B（mB+20）（mB+5）

=1（1+20mB）（1+5mB）=1100（1mB）2+251mB+1，

由mB∈[5，20]得1mB∈[120，15]，故當1mB=120即mB=20，mA=12時，

甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為105.

（3）由（2）知：h0=105，

由h甲=mAmA+12·mBmB+5≥h0=105得：mA+12mA·mB+5mB≤52，

令3mA=x，5mB=y，則x、y∈[14，1]，

即（1+4x）（1+y）≤52.

同理，由h乙≥h0=105得：（1+x）（1+4y）≤52.

另一方面，x、y∈[14，1]，1+4x、1+4y∈[2，5]，1+x、1+y∈[54，2]，

（1+4x）（1+y）≥52，（1+x）（1+4y）≥52，當且僅當x=y=14，即mA=mB時，取等號.

所以不能適當選取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時成立，但等號不同時成立.

評注：本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎知識，考查數(shù)學建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學閱讀能力.

題型三通過建立三角模型來解應用題

例4（2013年江蘇18）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至C處有兩種路徑.一種是從沿A直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.

現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，cosA=1213，cosC=35.

（1）求索道AB的長；

（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

解：（1）∵cosA=1213，cosC=35，

∵0

∴sinA=513，sinC=45，

∵A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=513·35+1213·45=6365，

∴ACsinB=ABsinC=BCsinA，

∴AB=sinCsinB·AC=45·6563·1260=1040m.

（2）BC=sinAsinB·AC=500，

設乙出發(fā)t（t≤8）分鐘后，甲到了D處，乙到了E處，則有AD=50t+100，AE=130t，

根據(jù)余弦定理DE2=AE2+AD2-2AE·AD·cosA，

即DE2=7400t2-14000t+10000，

∴當t=140002·7400=3537時，DE2有最小值，即

DE=2507437.

（3）設甲所用時間為t甲，乙所用時間為t乙，乙步行速度為V乙，

由題意t甲=126050=1265min，

t乙=2+1040130+1+500V乙=11+500V乙min，

∴-3≤1265-（11+500V乙）≤3，

解不等式得125043≤V乙≤62514.

評注：本小題主要考查正弦定理、二次函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的基本關系、兩角和的正弦等基礎知識，考查數(shù)學閱讀能力和分析解決實際問題的能力.

題型四通過建立方程來解決應用問題

例5（2012江蘇17）如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-120（1+k2）x2（k>0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

（1）求炮的最大射程；

（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

解：（1）∵炮位于坐標原點，炮彈發(fā)射后的軌跡方程為y=kx-120（1+k2）x2（k>0），炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標，

∴令y=0，則炮的射程可表示為x=k120（1+k2），

∴炮的最大射程即x的最大值，

由題意得x>0，k>0，

∴x=k120（1+k2）=201k+k≤202=10km，當且僅當k=2時，等號成立，

∴炮的最大射程是10km.

（2）∵飛行物在第一象限內，其飛行高度為3.2千米，橫坐標為a，

∴飛行物的坐標為（a，3.2），

∴炮彈可以擊中它，即飛行物的坐標滿足炮彈的軌跡方程，

∴將飛行物坐標帶入炮彈的軌跡方程得：3.2=ka-120（1+k2）a2（k>0），

∴關于k的方程在k>0上有解，

∴a2k2-20ak+a2+64=0有正根，

∵a>0，∴只需Δ=（-20a）2-4a2（a2+64）≥0，

∴a≤6即a只需要不超過6km即可.

評注：本題主要考查函數(shù)、方程和基本不等式等基礎知識，考查數(shù)學閱讀能力和解決實際問題的能力.本題對變量與常量的辨別與理解至關重要，在審題中要關注好每個量的由來與界定，切實做到合理選擇，辨別清楚.

高考數(shù)學應用題，往往創(chuàng)意新穎，背景熟悉，貼近學生的生活實際，有助于培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識，是高考中熱點題型之一.數(shù)學應用題就是利用數(shù)學知識解決一些非數(shù)學領域中的問題.由于數(shù)學的高度抽象性，這就決定了數(shù)學應用的廣泛性，而應用題的非數(shù)學背景的多樣性，也就導致了解應用題往往是要在陌生的背景中去理解、分析所給出的有關問題，舍去與數(shù)學無關的非本質因素，把抽象轉化為相應的數(shù)學問題.

（作者：朱振華，江蘇省海門中學）