在近幾年全國(guó)各地的高考試題中，加大了對(duì)運(yùn)用用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力的考查，而函數(shù)的思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心.從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題是函數(shù)思想的精髓.取值范圍問(wèn)題和最值問(wèn)題是我們經(jīng)常遇到的問(wèn)題，它更是高考考查的重要題型，這些問(wèn)題中都含有變化的圖形或變化的量，研究它們的變化過(guò)程和變化規(guī)律，是解決這類問(wèn)題的基本方法，這種從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)解決問(wèn)題常?？梢允菇忸}過(guò)程更加簡(jiǎn)捷直觀.

例1在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

分析：從條件看，四邊形ABCD的邊BC的長(zhǎng)度和四個(gè)角的大小是確定的，而其它三邊的長(zhǎng)度是變化的，我們可以讓點(diǎn)A、D動(dòng)起來(lái)，觀察它們的變化規(guī)律.

解：如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合于E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BCsin∠E=BEsin∠C，即2sin30°=BEsin75°，解得BE=6+2，平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，BFsin∠FCB=BCsin∠BFC，即BFsin30°=2sin75°，解得BF=6-2，又因?yàn)锳BCD是四邊形，所以AB的取值范圍為（6-2，6+2）.

例2已知OB=（2，0），OC=（2，2），CA=（2cosα，2sinα），則OA與OB夾角的取值范圍是.

分析：題中的點(diǎn)B、C是確定的，點(diǎn)A隨著α的變化而變化，故需研究點(diǎn)A的變化規(guī)律，即研究點(diǎn)A的軌跡.

解：因?yàn)閨CA|=2，所以點(diǎn)A在以C為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)原點(diǎn)作此圓的切線，那么得到兩條切線，這兩條切線的傾斜角分別為π4-π6=π12和π4+π6=5π12，從而向量OA與OB夾角的范圍是[π12，5π12].

例3滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積的最大值為.

分析：如果固定點(diǎn)A、B，讓點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后可求出點(diǎn)C的軌跡方程，再用數(shù)形結(jié)合的方法就能求出三角形ABC的面積的最大值.

解：以AB所在的直線x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），設(shè)點(diǎn)C（x，y），則由AC=2BC得C點(diǎn)的軌跡方程為：（x-3）2+y2=8（y≠0）.所以，點(diǎn)C在以M（3，0）為圓心，半徑r=22的圓上.從圖中看出，點(diǎn)C到x軸的最大距離為22.

所以，三角形ABC的面積的最大值為：12AB·r=12·2·22=22.

評(píng)注：設(shè)BC=x，從而AC=2x，可以求出三角形ABC的面積關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)的方法求出面積的最大值，但所用知識(shí)點(diǎn)較多，且不易得到正確結(jié)果.由AC=2BC聯(lián)想到點(diǎn)C的軌跡是圓，從而可用圓的有關(guān)知識(shí)去分析，直觀、簡(jiǎn)捷.

例4已知二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2在區(qū)間[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則a2+b2的最小值為.

分析：f（x）的零點(diǎn)就是關(guān)于x的方程ax2+（2b+1）x-a-2=0的根，這個(gè)方程的根隨著a、b的變化而變化，若將P（a，b）看成動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線l：（x2-1）a+2xb+x-2=0上，且a2+b2=OP2，從而當(dāng)OP⊥l時(shí)，a2+b2取最小值.

解：f（x）=0即ax2+（2b+1）x-a-2=0即（x2-1）a+2xb+x-2=0，這是一個(gè)關(guān)于a、b的方程，表示aOb平面上的一條直線，記為l.

設(shè)P（a，b），則點(diǎn)P在直線l：（x2-1）a+2xb+x-2=0上，從而當(dāng)OP⊥l時(shí)，a2+b2取最小值.

又OP⊥l時(shí)，

OP=|x-2|（x2-1）2+（2x）2

=|x-2|x2+1，

設(shè)t=x-2，∵3≤x≤4，∴1≤t≤2，

∴|x-2|x2+1=tt2+4t+5=1t+5t+4，

∵函數(shù)y=t+5t+4在[1，2]上是減函數(shù)，

∴172≤t+5t+4≤10，

∴|x-2|x2+1=1t+5t+4≥110，

∴當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=3時(shí)，a2+b2取最小值1100.

評(píng)注：如果先由條件求出a、b滿足的不等式組，再?gòu)牟坏仁浇M出發(fā)求a2+b2的最小值，將是非常復(fù)雜的.我們首先變換主變?cè)?，將這個(gè)關(guān)于x的方程，看成關(guān)于a、b的方程，再數(shù)形結(jié)合求解，就避開(kāi)了難點(diǎn)，使問(wèn)題迅速得到了解決.

（作者：卜以軍，江蘇省建湖高級(jí)中學(xué)）