高考命題年年相似，卻又年年不同.每年高考考點(diǎn)基本不變，而考題卻千變?nèi)f化.那么在行將到來的2016年高考中，數(shù)學(xué)命題有哪些熱點(diǎn)問題值得同學(xué)們倍加關(guān)注呢？本文作如下預(yù)測，供同學(xué)們參考.

熱點(diǎn)一、知識交匯性問題

在知識交匯處命題，高考命題的原則，因此以考查數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用的交匯性問題，永遠(yuǎn)是高考命題的熱點(diǎn).

預(yù)測題1.已知數(shù)列-2，y，x，u，-32成等比數(shù)列，且2a，3b（a<0，b<0）的等差中項(xiàng)為-12，則1a+2b-x的最大值是.

答案：-43.

解析：因?yàn)?2，y，x，u，-32成等比數(shù)列，所以x2=-2×（-32）=64，則x=±8，

由于等比數(shù)列間隔項(xiàng)符號相同，則x=-8，

由2a，3b的等差中項(xiàng)為-12，則2a+3b=-1，

故1a+2b-x=（1a+2b）（-2a-3b）+8

=-（4ab+3ba）≤-24ab·3ba=-43.

評注：本題將等比數(shù)列、等差數(shù)列和基本不等式等知識點(diǎn)綜合在同一題中，考查等比、等差數(shù)列的中項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式及應(yīng)用.

預(yù)測題2.已知向量a=（cos32x，sin32x），b=（cosx2，-sinx2），且x∈[0，π2].若f（x）=a·b-2λ|a+b|的最小值是-32，則λ的值為.

答案：12.

解析：a·b=cos32xcos12x-sin32xsin12x=cos2x，

|a+b|=（cos32x+cos12x）2+（sin32x-sin12x）2

=2+2cos2x=2|cosx|，

∵x∈[0，π2]，∴cosx≥0，因此|a+b|=2cosx，

∴f（x）=a·b-2λ|a+b|即f（x）=2（cosx-λ）2-1-2λ2，

∵x∈[0，π2]，∴0≤cosx≤1.

①若λ<0，則當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時，f（x）取得最小值-1，這與已知矛盾，

②若0≤λ≤1，則當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時，f（x）取得最小值-1-2λ2，

綜上所述，λ=12為所求.

評注：本題將向量，三角函數(shù)融合在一起，不僅考查了向量與三角函數(shù)的相關(guān)知識，而且也同時考查了函數(shù)思想和分類討論思想.

熱點(diǎn)二、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是歷年高考的命題熱點(diǎn)，重點(diǎn)考查分段函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用.

預(yù)測題3.已知函數(shù)f（x）=ax-1，x≤1loga1x+1，x>1 （a>0且a≠1），若f（3）=-2，則滿足f（x）>-34的x的取值范圍為.

答案：{x|-2

解析：由題意得loga14=-2，∴a=2，

當(dāng)x≤1時，f（x）=2x-1>-34，即2x>14，

∴x>-2，

此時x的取值范圍為-2

當(dāng)x>1時，f（x）=log21x+1>-34，即1x+1>1234，∴x<234-1<1，此時x的范圍不存在.

綜上所述，x的取值范圍為{x|-2

評注：與分段函數(shù)有關(guān)的不等式，一般可采用分段求解的方法，也可以利用圖象，從圖象中直接找到答案.

熱點(diǎn)三、創(chuàng)新性問題

歷年高考，數(shù)學(xué)創(chuàng)新題層出不窮，以新定義型創(chuàng)新題為主.

預(yù)測題4.對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），稱f（x）為“局部奇函數(shù)”.若f（x）=4x-m·2x+1+m2-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案：[1-3，22].

解析：∵f（x）為“局部奇函數(shù)”，

∴存在實(shí)數(shù)x滿足f（-x）=-f（x），

即4-x-2m2-x+m2-3=-4x+2m2x-m2+3，

令t=2x（t>0），則1t2+t2-2m（1t+t）+2m2-6=0，

（1t+t）2-2m（1t+t）+2m2-8=0在t∈（0，+∞）上有解，

再令h=1t+t（h≥2），則g（h）=h2-2mh+2m2-8=0在h∈[2，+∞）上有解.

函數(shù)關(guān)于h的對稱軸為h=m，

①當(dāng)m≥2時，g（h）≥g（m），∴g（m）=m2-2m2+2m2-8≤0，解得2≤m≤22；

②當(dāng)m<2時，則g（2）=4-4m+2m2-8≤0，即m2-2m-2≤0，解得1-3≤m<2.

綜合①②，可知1-3≤m≤22.

評注：本題將奇函數(shù)定義中的“任意”改成了“存在”，定義了“局部奇函數(shù)”的概念，使函數(shù)的整體性質(zhì)變成了局部性質(zhì)，使恒成立問題變成了方程有解問題.體現(xiàn)了高考“源于課本，又高于課本”的命題原則.

熱點(diǎn)四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題或方程根的問題，一直是江蘇高考數(shù)學(xué)命題的重要考點(diǎn).

預(yù)測題5.方程|ln|x||=2e|x|12的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是.

答案：4.

解析：由于函數(shù)y=|ln|x||與y=2e|x|12都是偶函數(shù)，只須求當(dāng)x>0的情形，設(shè)f（x）=|lnx|-2ex12=-lnx-2ex12（0

因?yàn)閒′（x）=-e+x12ex（0

當(dāng)00；當(dāng)x>e2時，f′（x）<0.

所以f（x）的減函數(shù)區(qū)間為（0，1）和（e2，+∞）；增函數(shù)區(qū)間為（1，e2）.

又由于f（1e）=1-2e32>0，f（1）=-2e<0，所以f（x）在（0，1）中存在一個零點(diǎn)；又f（e2）=0，所以f（x）在（1，+∞）只有零點(diǎn)x=e2.故方程|ln|x||=2e|x|12的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是4個.

評注：本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象，函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù).具有一定難度.

熱點(diǎn)五、解析幾何中的定點(diǎn)或定值問題

在江蘇新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)中，由于定點(diǎn)或定值能考查考生的探究能力和計(jì)算能力，故一直是解析幾何命題的熱點(diǎn)題型.

預(yù)測題6.已知動點(diǎn)M（x，y）到定直線l′：x=-955和定點(diǎn)E（-5，0）的距離的比為355，直線l：2x+3y=30.

（1）求動點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向橢圓C引切線PQ，PR，判斷直線QR是否通過定點(diǎn)，證明你的結(jié)論.

解析：（1）依題意，|x+95|（x+5）2+y2=35，平方得，59（x+95）2=（x+5）2+y2，

化簡整理得，動點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的軌跡方程為x29+y24=1.

（2）設(shè)P（a，b），Q（x1，y1），R（x2，y2），由（1）知

以Q（x1，y1）為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為4x1x+9y1y-36=0， ①

因?yàn)辄c(diǎn)P（a，b）在直線PQ上，則4ax1+9by1-36=0， ②

②式說明了點(diǎn)Q在直線4ax+9by-36=0上，

同理點(diǎn)R也在直線4ax+9by-36=0上，

所以直線QR的方程為4ax+9by-36=0，

又因?yàn)辄c(diǎn)P（a，b）在直線l上，則3b=30-2a，

所以直線QR的方程為4ax+3（30-2a）y-36=0，

即a（4x-6y）+90y-36=0，由于a是任意實(shí)數(shù)，

所以2x-3y=05y-2=0，得x=35，y=25，

故直線QR經(jīng)過定點(diǎn)（35，25）.

評注：解析幾何問題重點(diǎn)考查考生的計(jì)算能力.懼怕計(jì)算，就無法完成此題.當(dāng)然，我們還要講究解題方法.解析幾何定點(diǎn)定值問題，一般可采用設(shè)而不求與方程思想求解.

熱點(diǎn)六、圖形類實(shí)際應(yīng)用型問題

在江蘇新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)，應(yīng)用題必考，從近幾年高考命題看，由于圖形類實(shí)際應(yīng)用型問題更能考查數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用，因而受到命題者的青睞.

預(yù)測題7.如圖，陰影部分為古建筑物保護(hù)群所在地，其形狀是以O(shè)1為圓心，半徑為1km的半圓面.公路l經(jīng)過點(diǎn)O，且與直徑OA垂直.

現(xiàn)計(jì)劃修建一條與半圓相切的公路PQ（點(diǎn)P在直徑OA的延長線上，點(diǎn)Q在公路l上），T為切點(diǎn).

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：

評注：本題要求同學(xué)們用兩種方法建立函數(shù)式，并利用其中一種方法解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的多樣性和互容性，同時也體現(xiàn)數(shù)學(xué)命題的開放性.

熱點(diǎn)七、存在性探索題

探索性問題一直是高考命題的熱點(diǎn)，尤其是存在性探索題，在2016年的高考中仍炙手可熱.值得大家關(guān)注.

預(yù)測題8.如圖，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，過點(diǎn)P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為22.

（1）求橢圓E的方程；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解析：（1）由已知，點(diǎn)（2，1）在橢圓E上，

因此，2a2+1b2=1，a2-b2=c2，ca=22.解得a=2，b=2.

所以橢圓E的方程為x24+y22=1.

（2）當(dāng)直線l與x軸平行時，設(shè)直線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn).

如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則有|QC||QD|=|PC||PD|=1，則|QC|=|QD|.

所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y0）.

當(dāng)直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，

則M，N的坐標(biāo)分別為（0，2），（0，-2）.

由|QM||QN|=|PM||PN|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為（0，2）.

下面證明：對任意直線l，均有|QA||QB|=|PA||PB|.

當(dāng)直線l的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）.

聯(lián)立x24+y22=1，y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.

其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，

所以x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.因此1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k.

易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-x2，y2）.

又kQA=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1，

kQB′=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k+1x2=k-1x1，

所以kQA=kQB′，即Q，A，B′三點(diǎn)共線.

所以|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|.

故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.

評注：這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）是否存在或某一結(jié)論是否成立.解決這類問題的基本策略是：通常假定題中的數(shù)學(xué)對象存在（或結(jié)論成立）或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.其中反證法在解題中起著重要的作用.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學(xué)）