我們在解決數(shù)學問題時，通常習慣于直接“背”住一些題型和方法，當再次遇見一個相似問題時，再用已有的方法去“套”.這種解題模式只是局限于把題目解出來，自己對題目一般不會產生新的看法和巧妙的解法.而由于數(shù)學問題千變萬化，自然決定了解題思路沒有固定不變的解題模式，況且同一問題的解決也會存在多種不同的解題思路.要想既快又準地解題，總用一套固定的方案是行不通的，只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，我們自身的數(shù)學頭腦和眼光才會變得更加開闊.下面就自己解題以及研題的心得和大家做一些分享，以期對同學們有所幫助.

一、善于觀察和聯(lián)想

任何一道數(shù)學題，其條件的結構特點以及數(shù)據(jù)特點之間都是有內在聯(lián)系的，若想快速準確地解決題目，就需要依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例1已知函數(shù)f（x）=ax3-3x-4，x>m（4-a）x+8，x≤m，若存在m，使得函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍為.

解析：此題乍一看很難找到思路，但是若對三次函數(shù)圖象熟悉的話就可知，三次函數(shù)在正無窮處必然為增函數(shù)且位于直線上方，故由題意可得，兩段函數(shù)在無窮處均為增函數(shù)即可，故a∈（0，4）.

例2已知函數(shù)f（x）=sinx-acosx+2+bx在R上有最大值1，則a+b=.

解析：看到這類題的第一想法往往是求導，但是這題用導數(shù)解的話非常困難，但若注意到當b≠0時，無窮處函數(shù)值必為無窮，與題意矛盾，即可得b=0.此時，f（x）=sinx-acosx+2，看作點（-2，a）與單位圓上一點（cosx，sinx）的連線斜率即可.作圖易得a=0.即a+b=0.

上述幾個題的方法有點“好做題不求甚解”的味道，在平時的解題訓練中，是不提倡這樣的做法的，但是在應試時，若能根據(jù)數(shù)據(jù)之間的關系或者式子的結構特點來快速的找到解題規(guī)律，是可以節(jié)省大量時間的，且能保證正確率.

二、靈活運用數(shù)學宏觀思想

數(shù)學思想是解題方法的靈魂，缺乏數(shù)學思想指導的解題方法是沒有“神韻”的.所以，融會貫通數(shù)學思想，理解透徹解題方法中所蘊含的思想本質，是提高解題效率的有效途徑.

下面以常見的幾種數(shù)學思想為例，談一談它們在解題時的靈活運用：

1.轉化與化歸的思想

轉化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題.在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關問題之后，就要尋求轉化關系.恰當?shù)霓D化使問題變得熟悉、簡單.

例3若a2+9-3a+b2+9-3b=a2+b2+ab，則ab最小值為.

解析：此題若按常規(guī)方程來理解，兩個變量之間的關系是不明朗的，故若按方程問題處理的話顯然不容易得到解題思路.但是觀察式子結構可知，根號內的三個式子恰符合三角形余弦定理.故原題轉化為：如圖在△ABC中，AC=b，BC=a，CD=3，∠BCD=∠ACD=π3，求ab最小值.則可由面積公式12absin2π3=12×3asinπ3+12×3bsinπ3，

即ab=3a+3b≥6abab≥36.

例4若實數(shù)a、b滿足a-4b=2a-b，則a的取值范圍是.

解析：此題和上題相仿，在處理含有根號的方程或不等式時，我們的期望往往是想辦法去掉根號，故可設b=x≥0，a-b=y≥0，則a=x2+y2.故原題轉化為：已知x2+y2-4x=2y（x≥0，y≥0），求x2+y2的取值范圍.由條件變形可得（x-2）2+（y-1）2=5（x≥0，y≥0），幾何意義為一段圓弧，而x2+y2的幾何意義為點（x，y）到原點距離的平方，結合圖象可知a=x2+y2∈{0}∪[4，20].

在解題中，每一個步驟的命題轉換就是一次轉化與化歸的過程，甚至把轉化與化歸的思想作為數(shù)學解題的首要思想也毫不為過.要想做到快速準確的轉化，我認為至少需要具備兩個先決條件：1.對教材概念和知識模型有足夠的熟悉；2.具備足夠的觀察和聯(lián)想能力.

2.數(shù)形結合的思想

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”.數(shù)學中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉化，相互滲透.

例5設函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），且當x∈[1，3）時，f（x）=lnx.若在區(qū)間[1，9）內，存在3個不同的實數(shù)x1，x2，x3，使得f（x1）x1=f（x2）x2=f（x3）x3=t，則實數(shù)t的取值范圍為.

解析：∵f（x）=f（3x），∴f（x）=f（x3），當x∈[3，9）時，x3∈[1，3），∴f（x）=lnx3，在直角坐標系內作出函數(shù)f（x）的圖象，而f（x）x表示該圖象上的點與原點的連線的斜率.圖象上的點（9，ln3）與原點的連線的斜率為ln39；當過原點的直線與曲線f（x）=lnx3，x∈[3，9）相切時，斜率為13e（利用導數(shù)解決）.∴由圖可知，滿足題意得實數(shù)t的取值范圍為（ln39，13e）.

雖然數(shù)形結合是一個解決題目的有力武器，但也要注意，嚴格意義上來講，畫圖是為了找到代數(shù)思路，最終的求解一定要用嚴格的代數(shù)過程來驗證圖形特點.若直接用圖形的直觀感覺來代替代數(shù)論證，則易出現(xiàn)思維不嚴密或解題出錯，易犯“想當然”的錯誤.

例6已知函數(shù)f（x）=sinx，x∈（-π2，π2），g（x）=tanx，x∈（-π2，π2），則方程f（x）=g（x）的實數(shù)根的個數(shù)為.

解析：很多同學在解決此題時，容易畫出一個錯誤的圖象，如右圖，然后得到答案為3.事實上，令sinx=tanx，可解得sinx=0或cosx=1，故f（x）=g（x）在區(qū)間（-π2，π2）內有且僅有一個實根.畫出這個錯誤圖象的同學就犯了畫圖時“想當然”的錯誤，只注意圖象的直觀感覺，而忽視了代數(shù)論證過程.若對兩個函數(shù)求導不難發(fā)現(xiàn)，f′（0）=g′（0）=1，即兩個函數(shù)在x=0處是相切的，此時再由圖象就容易得到有且僅有一個根了.

3.分類與整合的思想

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性.進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論.其中最重要的一條是“不漏不重”.

例7三本不同的外語書，兩本不同的數(shù)學書，兩本不同的語文書，排成一排，要求相同科目的書不相鄰，問有幾種排法？

解析：分類討論年年考，但是年年考不好，歸根結底，是同學們對分類的標準把握不好，或者討論時易重易漏，排列組合就是一個典型的例子.如上題，由于外語書最多，所以先把外語書排好，排列種數(shù)為A33，數(shù)學書和語文書的排列方法分類討論如下：

1.若先用數(shù)學書把外語書隔開，排列數(shù)為A22種，此時語文書只要在六個空格中選兩個進行排列即可，故為A26，即此時排列數(shù)為A22·A26.

2.若只有一本數(shù)學書把英語書隔開，則選擇一本數(shù)學書為C12，英語書之間的兩個空選擇一個放數(shù)學，同樣為C12，英語書兩頭選擇一個放剩下的一本數(shù)學書，依然為C12，此時從兩本語文書中選擇一本隔開英語書的另外一個空，為C12，則剩下的一本語文書只需從五個空中選擇一個就可以，為C15，即此時排列種數(shù)為C12·C12·C12·C12·C15.

3.若兩本數(shù)學書都沒把英語書隔開，則兩頭放數(shù)學書，排列數(shù)為A22，此時需要用語文書隔開英語書，故為A22，即此時的排列數(shù)為A22·A22.

4.若兩本數(shù)學書全放在兩本英語書之間，則數(shù)學書排列數(shù)為A22，此時需要在英語書兩個空中選擇一個空放數(shù)學書，故為C12，此時需要用語文書把數(shù)學書和英語書的另外一個空隔開，故為A22，即此時排列數(shù)為A22·C12·A22.

綜上，排列總數(shù)為A33（A22·A26+C12·C12·C12·C12·C15+A22·A22+A22·C12·A22）.

4.整體與局部的思想

通過局部的性質來揭示整體的性質，又通過整體性質來研究局部性質，是一個經(jīng)常用到的重要方法.

例8已知圓O為單位圓，A、B為圓上兩點，以AB為邊作正方形ABCD，則OD的取值范圍為.

解析：此題方法較多，現(xiàn)介紹一種基于整體與局部思想指導下的解法.我們這樣考慮：在圓O上固定一點A，點B在圓O上運動，點D滿足AD⊥AB且AD=AB.故B點繞A點旋轉π2即可得到點D.蘇州陳兆華老師曾說：“當每一部分都在做一件事情時，當然是這個整體在做這件事情.”故把圓O繞繞A點旋轉π2得到的圓O′即為D點軌跡，如右圖.易得OD2≤OD≤OD1，即OD∈[2-1，2+1].

5.一般與特殊的思想

由特殊到一般，再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一.我們在平常的數(shù)學解題中，也經(jīng)常遇到一些通過構造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點、特殊位置，利用特殊值、特殊方程等由特殊到一般，或由一般到特殊的試題.

例9設函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a<0）的定義域為D，若所有點（s，f（t））（s，t∈D）構成一個正方形區(qū)域，則a的值為.

解析：由題意可知，若所有點（s，f（t））（s，t∈D）能構成一個正方形區(qū)域，則a的值為一個定值.不妨取f（x）=ax2+4，為了使得所有點（s，f（t））（s，t∈D）能構成一個正方形區(qū)域，易得a=-4.

把一般模型轉化為特殊模型進行求解，實際上是一次演繹推理的過程，這就要求題目中需要存在開放條件，即對任意的某個模型，都有這個確定的結果，那么對于某個特殊的符合條件的模型，也應是這個結果.若題目中沒有出現(xiàn)這樣的開放條件，則用特殊解決一般的做法在邏輯上是行不通的.

三、微觀探究，挖掘題目的本質及背景

解題如果僅限于把題目做出來，對于自身知識的儲備是沒有太大幫助的.深入探究一道題目的命題背景，更能讓自己對題目所蘊含的知識做更深刻透徹的了解，從而達到舉一反三的效果.

例10已知函數(shù)f（x）=exex，其導數(shù)記為f′（x）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)f（x）的極大值；

（2）解方程f（f（x））=x.

解析：（1）f′（x）=e（1-x）ex，列表易知f（x）極大=f（1）=1；

（2）①當f（x）=exex=x時，解得x=0或x=1；

②當f（x）≠x時，必有兩點M（m，n），N（n，m），（m≠n）位于函數(shù)y=f（x）圖象上，且兩點關于直線y=x對稱.又因為f（x）≤1，所以m，n≤1.因為當x≤1時，

f′（x）≥0，f（x）單調遞增.即對m，n≤1，f（m）-f（n）m-n>0≠-1，所以不存在兩點連線率為-1.

綜上，f（f（x））=x解為x=0或x=1.

探究：當f（f（x））=x時，滿足題意的x應符合什么條件？

1.當f（x）=x時，此時顯然f（f（x））=f（x）=x，即函數(shù)y=f（x）與直線y=x的交點滿足題意.

2.當f（x）≠x時，設f（m）=n，則必有f（f（m））=f（n）=m，即f（m）=n，f（n）=m.

也即兩點M（m，n），N（n，m）位于函數(shù)y=f（x）圖象上.又因為兩點連線斜率k=m-nn-m=-1，且中點（m+n2，n+m2）在直線y=x上，所以兩點關于直線y=x對稱.

綜上，當f（f（x））=x時，滿足題意的x的幾何意義為函數(shù)y=f（x）與直線y=x的交點橫坐標或函數(shù)y=f（x）圖象上關于直線y=x對稱的兩點的橫坐標（通常稱為穩(wěn)定點）.

四、獨立思考，敢于發(fā)表不同見解

很多人解題時過于依賴答案，喜歡說“標準答案”如何如何.我認為所謂“標準答案”的說法本身就不恰當.數(shù)學研究提倡推陳出新，且對題目不同的理解方式?jīng)Q定了不同的解題策略，何來“標準”之說？稱之為“參考答案”更為恰當，其作用只是限于參考，相當于學步工具，學會走路了，會跑了，自然就不需要了，當然也不是束之高閣，而是說不能依賴答案.我認為數(shù)學解題一定要有自己的見解和看法，不能書云亦云，人云亦云，學習和解題的過程應當提倡對知識和權威存疑，大膽假設，小心求證.

例11若關于x的不等式14x2+x-a2-a-3≤0（a∈[0，2]）在區(qū)間x∈[0，b]上恒成立，則實數(shù)b的最大值為.

錯解：易解得x∈[-2-2a2+a+4，

-2+2a2+a+4]，又因為不等式在區(qū)間x∈[0，b]上恒成立，所以b≤-2+2a2+a+4，又因為a∈[0，2]，所以b≤210-2.

解析：此題犯了不注意數(shù)學語言表達嚴密性的常見錯誤，此解也是對題目的錯解.為更清晰的展現(xiàn)題意，我們可以用模型簡化的方式進行理解.如：已知函數(shù)f（x）=x2+a2（a∈R），則函數(shù)f（x）的最小值為.顯然此題的答案為a2而不是0.在一道題目中，條件若對字母a無描述，則應視a為常量，而不是變量.在例1中，b的最大值應該是關于a的表達式，而不能把a視為變量繼續(xù)求最大值.

總之，數(shù)學問題靈活多變，對于解題，肯定遠遠不止這些做法，每個人都有自己的思維特點，對題目的不同角度的理解，會產生多種奇妙的解法，讓我們靜下心來，潛心鉆研，將解題研究進行到底.

（作者：陳志華，泰興市第二高級中學）